全国高考数学第二轮复习 四 数 列第1讲 等差数列、等比数列 理

专题四数列第1讲等差数列、等比数列真题试做1(2012福建高考，理2)等差数列an中，a1a510，a47，则数列an的公差为()A1 B2C3 D42(2012安徽高考，理4)公比为2的等比数列an的各项都是正数，且a3a1116，则log2a10()A4 B5C6 D73(2012浙江高考，理7)设Sn是公差为d(d0)的无穷等差数列an的前n项和，则下列命题错误的是()A若d0，则数列Sn有最大项B若数列Sn有最大项，则d0C若数列Sn是递增数列，则对任意nN*，均有Sn0D若对任意nN*，均有Sn0，则数列Sn是递增数列4(2012课标全国高考，理5)已知an为等比数列，a4a72，a5a68，则a1a10()A7 B5C5 D75(2012江苏高考，20)已知各项均为正数的两个数列an和bn满足：an1，nN*.(1)设bn11，nN*，求证：数列是等差数列；(2)设bn1，nN*，且an是等比数列，求a1和b1的值考向分析高考中等差(等比)数列的考查主客观题型均有体现，一般以等差数列、等比数列的定义或以通项公式、前n项和公式为基础考点，常结合数列递推公式进行命题，主要考查学生综合应用数学知识的能力以及计算能力等，中低档题占多数考查的热点主要有三个方面：(1)对于等差、等比数列基本量的考查，常以客观题的形式出现，考查利用通项公式、前n项和公式建立方程组求解，属于低档题；(2)对于等差、等比数列性质的考查主要以客观题出现，具有“新、巧、活”的特点，考查利用性质解决有关计算问题，属中低档题；(3)对于等差、等比数列的判断与证明，主要出现在解答题的第一问，是为求数列的通项公式而准备的，因此是解决问题的关键环节热点例析热点一等差、等比数列的基本运算【例1】(2012福建莆田质检，20)设数列an的前n项和为Sn，已知a11，等式anan22an1对任意nN*均成立(1)若a410，求数列an的通项公式；(2)若a21t，且存在m3(mN*)，使得amSm成立，求t的最小值规律方法此类问题应将重点放在通项公式与前n项和公式的直接应用上，注重五个基本量a1，an，Sn，n，d(q)之间的转化，会用方程(组)的思想解决“知三求二”问题我们重在认真观察已知条件，在选择a1，d(q)两个基本量解决问题的同时，看能否利用等差、等比数列的基本性质转化已知条件，否则可能会导致列出的方程或方程组较为复杂，无形中增大运算量在运算过程中要注意消元法及整体代换的应用，这样可减少计算量特别提醒：(1)解决等差数列前n项和常用的有三个公式Sn；Snna1d；SnAn2Bn(A，B为常数)，灵活地选用公式，解决问题更便捷；(2)利用等比数列前n项和公式求和时，不可忽视对公比q是否为1的讨论变式训练1(2012山东青岛质检，20)已知等差数列an的公差大于零，且a2，a4是方程x218x650的两个根；各项均为正数的等比数列bn的前n项和为Sn，且满足b3a3，S313.(1)求数列an，bn的通项公式；(2)若数列cn满足cnnN*，求数列cn的前n项和Tn.热点二等差、等比数列的性质【例】(1)在正项等比数列an中，a2，a48是方程2x27x60的两个根，则a1a2a25a48a49的值为()A B9 C9 D35(2)正项等比数列an的公比q1，且a2，a3，a1成等差数列，则的值为()A或 BC D规律方法(1)解决此类问题的关键是抓住项与项之间的关系，项的序号之间的关系，从这些特点入手选择恰当的性质进行求解；(2)应牢固掌握等差、等比数列的性质，特别是等差数列中“若mnpq，则amanapaq”这一性质与求和公式Sn的综合应用变式训练2(1)(2012江西玉山期末，3)已知等差数列an的前n项和为Sn，且满足S1525，则tan a8的值是()A B C D(2)(2012广西桂林调研，7)已知数列an是等比数列，其前n项和为Sn，若公比q2，S41，则S8()A17 B16 C15 D256热点三等差、等比数列的判定与证明【例】(2012山东淄博一模，20)已知数列an中，a15且an2an12n1(n2，且nN*)(1)证明：数列为等差数列；(2)求数列an的前n项和Sn.规律方法证明数列an为等差数列或等比数列有两种基本方法：(1)定义法an1and(d为常数)an为等差数列；q(q为常数)an为等比数列(2)等差、等比中项法2anan1an1(n2，nN*)an为等差数列；aan1an1(an0，n2，nN*)an为等比数列我们要根据题目条件灵活选择使用，一般首选定义法利用定义法一种思路是直奔主题，例如本题中的方法；另一种思路是根据已知条件变换出要解决的目标，如本题还可这样去做：由an2an12n1，得an12an122n，所以an12(an11)2n，上式两边除以2n，从而可得1，由此证得结论特别提醒：(1)判断一个数列是等差(等比)数列，还有通项公式法及前n项和公式法，但不作为证明方法；(2)若要判断一个数列不是等差(等比)数列，只需判断存在连续三项不成等差(等比)即可；(3)aan1an1(n2，nN*)是an为等比数列的必要而不充分条件，也就是判断一个数列是等比数列时，要注意各项不为0.变式训练3在数列an中，an1an2n44(nN)，a123.是否存在常数使数列ann为等比数列，若存在，求出的值及数列的通项公式；若不存在，请说明理由思想渗透1函数方程思想等差(比)数列通项与前n项和的计算问题：(1)已知等差(比)数列有关条件求数列的通项公式和前n项和公式以及由通项公式和前n项和公式求首项、公差(比)、项数及项等，即主要指所谓的“知三求二”问题；(2)由前n项和求通项；(3)解决与数列通项，前n项和有关的不等式最值问题2求解时主要思路方法：(1)运用等差(比)数列的通项公式及前n项和公式中的5个基本量，建立方程(组)，进行运算时要注意消元的方法及整体代换的运用；(2)数列的本质是定义域为正整数集或其有限子集的函数，数列的通项公式即为相应的函数解析式，因此在解决数列问题时，应用函数的思想求解【典型例题】在等比数列an中，an0(nN*)，公比q(0,1)，且a1a52a3a5a2a825，a3与a5的等比中项为2.(1)求数列an的通项公式；(2)设bnlog2an，数列bn的前n项和为Sn，当最大时，求n的值解：(1)a1a52a3a5a2a825，a2a3a5a25.又an0，a3a55.又a3与a5的等比中项为2，a3a54.而q(0,1)，a3a5.a34，a51，q，a116.(2)bnlog2an5n，bn1bn1，bn是以4为首项，1为公差的等差数列Sn，当n8时，0，当n9时，0，n9时，0，当n8或9时，最大1(2012河北冀州一模，5)在等差数列an中，a9a126，则数列an前11项的和S11等于()A24 B48 C66 D1322在等比数列an中，an0，若a1a516，a48，则a5()A16 B8 C4 D323(2012广东汕头质检，2)已知等比数列an的公比q为正数，且2a3a4a5，则q的值为()A B2 C D34(2012河北衡水调研，6)等差数列an前n项和为Sn，满足S20S40，则下列结论中正确的是()AS30是Sn中的最大值BS30是Sn中的最小值CS300DS6005已知正项等比数列an满足a7a62a5，若存在两项am，an，使得4a1，则的最小值为_6(原创题)已知数列an为等差数列，数列bn为等比数列，且满足a1 000a1 013，b1b132，则tan_.7若数列an满足a11，an1pSnr(nN*)，p，rR，Sn为数列an的前n项和(1)当p2，r0时，求a2，a3，a4的值；(2)是否存在实数p，r，使得数列an为等比数列？若存在，求出p，r满足的条件；若不存在，说明理由8设an是公比大于1的等比数列，Sn为数列的前n项和已知S37，且a13,3a2，a34构成等差数列(1)求数列an的通项公式；(2)令bnln a3n1，n1,2，求数列bn的前n项和Tn.参考答案命题调研明晰考向真题试做1B2B3C4D5解：(1)证明：由题设知an1，所以，从而1(nN*)，所以数列是以1为公差的等差数列(2)因为an0，bn0，所以ab(anbn)2，从而1an1.(*)设等比数列an的公比为q，由an0知q0.下证q1.若q1，则a1a2，故当nlogq时，an1a1qn，与(*)矛盾；若0q1，则a1a21，故当nlogq时，an1a1qn1，与(*)矛盾综上可知，q1，故ana1(nN*)，所以1a1.又bn1bn(nN*)，所以bn是公比为的等比数列若a1，则1，于是b1b2b3.又由得，所以b1，b2，b3中至少有两项相同，矛盾所以a1，从而.所以a1b1.精要例析聚焦热点热点例析【例1】解：(1)anan22an1对nN*都成立，数列an为等差数列设数列an的公差为d，a11，a410，a4a13d10，d3.ana1(n1)d3n2.数列an的通项公式为an3n2.(2)a21t，公差da2a1t.ana1(n1)d1(n1)t.Snna1dnt.由amSm，得1(m1)tmt，(m1)t(m1)t.t1t.t.m3，2t0.t的最小值为2.【变式训练1】解：(1)设an的公差为d(d0)，bn的公比为q(q0)，则由x218x650，解得x5或x13.因为d0，所以a2a4，则a25，a413.则解得a11，d4，所以an14(n1)4n3.因为解得b11，q3.所以bn3n1.(2)当n5时， Tna1a2a3ann42n2n；当n5时，TnT5(b6b7b8bn)(2525)，所以Tn(nN*)【例2】(1)B解析：依题意知a2a483.又a1a49a2a483，a250，a1a2a25a48a49a259.(2)C解析：因为a2，a3，a1成等差数列，所以a3a1a2.q21q.又q0，解得q，故.【变式训练2】(1)B(2)A【例3】(1)证明：设bn，b12，bn1bn(an12an)1(2n11)11，数列是首项为2，公差为1的等差数列(2)解：由(1)知，(n1)1，an(n1)2n1.Sn(2211)(3221)(n2n11)(n1)2n1，Sn221322n2n1(n1)2nn.设Tn221322n2n1(n1)2n，则2Tn222323n2n(n1)2n1.由，得Tn221(22232n)(n1)2n1n2n1，Snn2n1nn(2n11)【变式训练3】解：假设an1(n1)(ann)成立，整理得an1an2n12，与an1an2n44比较，得.数列是以为首项，1为公比的等比数列故ann(1)n1，即ann(1)n1.创新模拟预测演练1D2A3B4D567解：(1)由a11，an1pSnr，当p2，r0时，an12Sn，a22a12，a32S22(a1a2)2(12)6，a42S32(a1a2a3)2(126)18.(2)an1pSnr，anpSn1r(n2)an1