河北广平第一中学高三数学 函数的单调性学案

2011-2012学年高三数学复习课导学案2.函数的单调性基础导学提纲 一、自主梳理 1.单调性的定义（叙述出） 2.判断函数单调性的方法(1)定义法.（写出步骤）(2)利用基本函数的单调性,举例说明.(3)利用复合函数同增异减这个结论判断，举例说明。(4)利用函数图象上升增下降减进行判断. （指出函数单调性图像特征）（5）利用导数值的符号也能判断函数的单调性.（写出操作过程和判断依据）3. 如何说明某函数在其定义域内不单调？二、点击高考1. 2011课标全国卷 下列函数中，既是偶函数又在(0，)单调递增的函数是()Ayx3 By|x|1 Cyx21 Dy2|x|2. 2011江苏卷 函数f(x)log5(2x1)的单调增区间是_3下列函数中，在区间(0，2)上为增函数的是( )A.y=-x+1 B.y= C.y=x2-4x+5 D.y=4函数y=loga(x2+2x-3)，当x=2时，y0，则此函数的单调递减区间是( )A.(-，-3) B.(1，+) C.(-，-1) D.(-1，+)5若函数f(x)=,则该函数在(-,+)上是( )A.单调递减无最小值 B.单调递减有最小值C.单调递增无最大值 D.单调递增有最大值三、课堂诱思实例点拨 【例1】 如果二次函数f(x)=x2-(a-1)x+5在区间(，1）上是增函数，求f(2)的取值范围.剖析:由于f(2)=22-(a-1)2+5=-2a+11,求f(2)的取值范围就是求一次函数y=-2a+11的值域，当然就应先求其定义域.解:二次函数f(x)在区间(，1)上是增函数，由于其图象(抛物线)开口向上，故其对称轴x=或与直线x=重合或位于直线x=的左侧，于是,解之得a2,故f(2)-22+11=7,即f(2)7.【例2】 讨论函数f(x)=(a0)在x(-1,1)上的单调性.解:设-1x1x21, 则f(x1)-f(x2)= = =. -1x1x20,x1x2+10,(x12-1)(x22-1)0. 又a0， f(x1)-f(x2)0,函数f(x)在(-1，1)上为减函数.【例3】 求函数y=x+的单调区间.剖析:求函数的单调区间(亦即判断函数的单调性)，一般有三种方法: (1)图象法；(2)定义法；(3)利用已知函数的单调性.但本题图象不易作，利用y=x与y=的单调性(一增一减）也难以确定，故只有用单调性定义来确定，即判断f(x2)-f(x1)的正负.解:首先确定定义域:x|x0, 在(-,0)和(0，+)两个区间上分别讨论.任取x1、x2(0,+)且x1x2,则f(x2)-f(x1)=x2+-x1-=(x2-x1)+=(x2-x1)(1-)，要确定此式的正负只要确定1-的正负即可. 这样，又需要判断大于1，还是小于1.由于x1、x2的任意性，考虑到要将(0，+)分为(0，1)与(1，+)(这是本题的关键). (1)当x1、x2(0,1)时，1-0, f(x2)-f(x1)0, f(x2)-f(x1)0为增函数. 同理可求(3)当x1、x2(-1,0)时，为减函数;(4)当x1、x2(-,-1)时，为增函数.讲评:解答本题易出现以下错误结论:f(x)在(-1，0）(0，1）上是减函数，在(-,-1)(1,+)上是增函数，或说f(x)在(-,0)(0,+)上是单调函数.避免错误的关键是要正确理解函数的单调性概念:函数的单调性是对某个区间而言的，而不是两个或两个以上不相交区间的并.链接拓展 求函数y=x+(a0)的单调区间. 提示:函数定义域x0，可先考虑在(0,+)上函数的单调性，再根据奇偶性与单调性的关系得到在(-,0)上的单调性. 答案:在(-,-)，(,+)上是增函数，在(0,),(-,0)上是减函数.【例4】 （2004北京东城模拟） 已知定义在R上的函数f(x)对任意的实数x1、x2满足关系f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)+2.(1)证明f(x)的图象关于点(0,-2)成中心对称图形;(2)若x0,则有f(x)-2,求证:f(x)在(-,+)上是增函数.剖析:对于(1),只要证明=-2即可;对于(2),注意到f(x)是抽象函数,欲证单调性,需对f(x)进行适当的变形.证明:(1)令x1=x2=0,则f(0+0)=f(0)+f(0)+2, 所以f(0)=-2. 对任意实数x,令x1=x,x2=-x,有f(x-x)=f(x)+f(-x)+2, 即f(0)-2=f(x)+f(-x),得=-2.又=0, 这表明点M(x,f(x)与点N(-x,f(-x)的中点是(0,-2),即点M1N关于点(0,-2)成中心对称. 由点M的任意性知:函数f(x)的图象关于点(0,-2)成中心对称. (2)对任意实数x1、x2,且x10,有f(x2-x1)-2. 于是f(x2)=f(x2-x1)+x1=f(x2-x1)+f(x1)+2. 所以f(x2)-f(x1)=f(x2-x1)+2-2+2=0, 即f(