电子工程数学方法-复变函数论第3章

电子工程数学方法,任课教师：陈其科,联系方式：E_mail：qkchen办公电话：61830311,2,函数有精确表示和近似表示。精确表示（解析表示）：表示为初等函数通过四则运算近似表示：通过逼近，近似表示为初等函数通过四则运算级数表示：近似表示的一种，表示为一个函数级数,第三章幂级数展开,3,第三章幂级数展开,3.2幂级数,3.3泰勒级数展开,3.5洛朗级数展开,3.1复数项级数,3.6孤立奇点的分类,4,复数项无穷级数,前n项之和,若：,则称级数收敛于F，此时实部和虚部对应的两个级数,也是收敛的。,3.1复数项级数,（一）复数项级数的收敛与柯西判据,实数项级数性质可移用于复数项级数,1、复数项级数的收敛的定义,5,3.1复数项级数,（一）复数项级数的收敛与柯西判据,2、柯西收敛判据,复数项级数收敛的充要条件是：对于任意小的正数，必存在N使得nN时有,式中p为任意正整数。,柯西收敛判据,6,3.1复数项级数,（一）复数项级数的收敛与柯西判据,3、绝对收敛,若复数项级数各项的模组成的级数,收敛，则称级数绝对收敛。,1）绝对收敛的复数项级数必然收敛。,注：,2）两个绝对收敛级数的和或积仍绝对收敛。,7,复级数的每一项都是复数的函数，即为复变函数项级数：,3.1复数项级数,（二）复变函数项级数,由柯西判据，知复变项级数在区域B中收敛的充要条件：,对于任意小的正数，必存在N(z)使得nN(z)时有,式中p为任意正整数。,若N与z无关，则称该复变函数项级数在B内一致收敛。,注：,8,3.1复数项级数,（二）复变函数项级数,复变函数项级数相关性质：,1、若复变函数项级数在区域B（或路径l)上一致收敛，且每一项都在区域B(或路径l）上连续，则级数和也是区域B(路径l）内连续函数。,2、在区域B内，若复变函数项级数的各项的模,而常数项级数收敛，则称在区域B上绝对且一致收敛。,9,3.2幂级数,（一）幂级数定义,幂级数是指各项都是幂函数的复变函数项级数。,称为以z0为中心的幂级数。其中，各系数项均为复常数。,10,3.2幂级数,（二）幂级数的收敛性判别达朗贝尔判别法,1、达朗贝尔收敛判据（比值判别法）,由正项级数的比值判定法可知，若模级数,考察幂级数各项的模组成的级数,则模级数收敛。由绝对收敛定义，知幂级数,绝对收敛。,11,3.2幂级数,2、收敛圆,由前可知，幂级数绝对收敛条件为：,引入，则幂级数绝对收敛条件变为：,收敛圆：以z0圆心，半径为R的圆。R称为收敛半径。,幂级数在收敛圆内绝对收敛，而在圆上和圆外可能发散。圆外仍可能有区域是收敛的。,（二）幂级数的达朗贝尔收敛性判据,12,若，则幂级数发散；,若，则模级数收敛，幂级数绝对收敛；,3.2幂级数,3、根值判别法：,（三）幂级数的收敛性判别根值判别法,由此可得收敛半径的另外一种定义：,13,例：求幂级数的收敛圆（t为复变量）。,解：,则收敛半径:,故，收敛圆为以t=0为圆心，半径为1的圆。,3.2幂级数,14,例：求幂级数的收敛圆。,解：,则收敛半径:,故，收敛圆为以z=0为圆心，半径为1的圆。,3.2幂级数,另解：,则收敛半径:,15,例：求幂级数的收敛圆。,解：,则收敛半径:,故，收敛圆为以z=0为圆心，半径为2的圆。,3.2幂级数,16,3.2幂级数,（四）幂级数的积分表示,将上式沿收敛圆取路径积分，并利用柯西公式，可得：,在收敛圆内，幂级数的和可表示为连续函数的回路积分在收敛圆内幂级数和为解析函数。,17,3.3泰勒级数,任意阶导数都存在的实变函数可以展开为泰勒级数。,问题：解析函数任意阶导数都存在，是否可将解析函数展开为复变函数项的泰勒级数呢？,可以！,18,3.3泰勒级数展开,泰勒级数展开定理：,设在以为圆心的圆内解析，则对圆内任意点，可展开为,其中,即：,泰勒级数,19,3.3泰勒级数展开,证明：,设在收敛圆内解析，则由柯西积分公式,而,由于为积分路径上点，而z为积分路径内点，故有,等比数列,20,3.3泰勒级数展开,证明(续)：,21,3.3泰勒级数展开,例（重要）：在z0=0的邻域上将展开为泰勒级数。,解：,（展开时能直接求导就求导）,22,3.3泰勒级数展开,例（重要）：在z0=0的邻域上将展开。,解：,23,3.4解析延拓,（一）解析延拓概念,考察如下两个函数,在区域等同,对于某个区域b上的解析函数f(z)，如果能找到另一个函数F(z)，它在含有区域b的一个较大的区域B上解析，且在区域b上等同于f(z)，则这个过程就叫解析延拓。,解析延拓：,解析延拓就是解析函数定义域扩大后的结果。,24,3.4解析延拓,（二）解析延拓唯一性,可以证明：函数F1(z)和F2(z)在区域B上解析，若在B的某子区域b上有F1(z)F2(z)，则在整个区域B上必有F1(z)F2(z)。,同一解析函数的解析延拓是唯一的。,25,3.5洛朗级数展开,（一）双边幂级数,当所研究的圆域上存在函数的奇点时，就不再能将函数展为泰勒级数，而需考虑在除去奇点的环域上的展开洛朗级数展开。,考察双边幂级数：,收敛半径为R1，在圆z-z0=R1内收敛,令,收敛半径记为1/R2，即在圆z-z0=R2外收敛。,26,3.5洛朗级数展开,若R2R1，则双边幂级数,在环域R2z-z0R1内绝对且一致收敛，其和为一解析函数，级数可逐项求导。,环域R2z-z0R1称为该双边幂级数的收敛环。,（一）双边幂级数（续）,27,3.5洛朗级数展开,（二）洛朗级数,洛朗展开定理：设f(z)在环域R2|z-z0|R1的内部单值解析，则对环域内任一点z，f(z)可展为幂级数其中积分路径C为位于环域内按逆时针方向绕内圆一周的任一闭合曲线。,洛朗级数展开,28,证明：为避免讨论圆周上函数的解析性和级数的收敛问题，将外圆稍微缩小为CR1、内圆稍微扩大为CR2，利用复通区域上的柯西公式：,3.5洛朗级数展开,29,3.5洛朗级数展开,注：,因为不满足柯西公式条件。,30,例：在以z=0为中心的0|z|+的圆环域内把展开。,3.5洛朗级数展开,解:（直接法）,31,例：在以z=0为中心的0|z|+的圆环域内把展开。,3.5洛朗级数展开,解:（间接法）,32,例：在z=1的邻域上将函数展开为洛朗级数。,3.5洛朗级数展开,解:先将函数分解为,奇点分别为z=1和z=-1，因此在环域内解析，故有,33,例：在环域上将函数展开为洛朗级数。,3.5洛朗级数展开,解:先将函数分解为,34,例：在环域上将函数展开为洛朗级数。,3.5洛朗级数展开,解:,35,例：以z=0为中心将函数展开为洛朗级数。,3.5洛朗级数展开,解:先将函数分解为,奇点分别为z=1和z=2，因此在z=0的邻域上可在三个环状区域内进行级数展开。,36,3.5洛朗级数展开,37,3.6孤立奇点的分类,（一）孤立奇点与非孤立奇点,孤立奇点：,若函数f(z)在某z0点处不可导，而在其任意小邻域内除z0外处处可导，则称z0为f(z)的孤立奇点。,非孤立奇点：,若函数f(z)在某z0点处不可导，且在的任意小邻域内还可找到除z0外的不可导点，则称z0为f(z)的非孤立奇点。,例:1/z、exp(1/z)、f(z)=1/sin(1/z)在z0=0点的情况,奇点：,若函数在某z0点处不解析，则称该点为f(z)的奇点。,38,3.6孤立奇点的分类,（二）可去奇点、极点和本性奇点,洛朗级数的正幂项(含常数项)部分被称作解析部分(或正则部分)；负幂项部分被称为主要部分(或无限部分)。,a-1具有特别重要的地位，特称其为函数f(z)在奇点z0的留数。,39,3.6孤立奇点的分类,（二）可去奇点、极点和本性奇点,例:z0=0为sinz/z可去奇点,1、可去奇点若函数f(z)在其孤立奇点z0的去心邻域0|z-z0|R上的洛朗级数中不含有(z-z0)的负幂项，则称z0为f(z)的可去奇点。,可去奇点的主要特征（1）f(z)在奇点的去心邻域内的洛朗级数中无主要部分；（2）即f(z)在z0点的去心邻域内有界。,40,3.6孤立奇点的分类,（二）可去奇点、极点和本性奇点,2、极点若函数f(z)在其孤立奇点z0的去心邻域0|z-z0|R上的洛朗级数中含有有限个(z-z0)的负幂项，则称z0为f(z)的极点。,其中a-m0，m为有限数，则称z0为f(z)的m阶极点。特殊地，一阶极点称为单极点。,极点的主要特征：1.f(z)在z0的去心邻域内的洛朗级数的主要部分为有限多项；2.。,例:f(z)=(z-2)/(z2+1)(z-1)3,讨论z=1,z=i,41,3.6孤立奇点的分类,（二）可去奇点、极点和本性奇点,3、本性奇点若函数f(z)在其孤立奇点z0的去心邻域0|z-z0|R上的洛朗级数中含有无限多(z-z0)的负幂项，则称z0为f(z)的本性奇点。,对于本性奇点z