高中数学竞赛讲义+完美数学高考指导(一)

高中数学竞赛讲义高中数学竞赛讲义+ +完美数学高考指导完美数学高考指导( (一一) ) QQ:QQ: 高中数学竞赛讲义高中数学竞赛讲义+ +完美数学高考指导完美数学高考指导( (一一) ) 高中数学竞赛讲义（一）高中数学竞赛讲义（一） 集合与简易逻辑 一、基础知识一、基础知识 定义 1 一般地，一组确定的、互异的、无序的对象的全体构成集合，简称集，用大写字母来表示；集合中的各 个对象称为元素，用小写字母来表示，元素在集合 A 中，称属于 A，记为，否则称不属于 A，记作 。例如，通常用 N，Z，Q，B，Q+分别表示自然数集、整数集、有理数集、实数集、正有理数集，不含任何 元素的集合称为空集，用来表示。集合分有限集和无限集两种。 集合的表示方法有列举法：将集合中的元素一一列举出来写在大括号内并用逗号隔开表示集合的方法，如 1，2，3；描述法：将集合中的元素的属性写在大括号内表示集合的方法。例如有理数，分别表示有 理数集和正实数集。 定义 2 子集：对于两个集合 A 与 B，如果集合 A 中的任何一个元素都是集合 B 中的元素，则 A 叫做 B 的子集， 记为，例如。规定空集是任何集合的子集，如果 A 是 B 的子集，B 也是 A 的子集，则称 A 与 B 相等。 如果 A 是 B 的子集，而且 B 中存在元素不属于 A，则 A 叫 B 的真子集。 定义 3 交集， 定义 4 并集， 定义 5 补集，若称为 A 在 I 中的补集。 定义 6 差集，。 定义 7 集合记作开区间，集合 记作闭区间，R 记作 定理 1 集合的性质：对任意集合 A，B，C，有： （1） （2）； （3） （4） 【证明】这里仅证（1）、（3），其余由读者自己完成。 （1）若，则，且或，所以或，即 ；反之，则或，即且或 ，即且，即 高中数学竞赛讲义高中数学竞赛讲义+ +完美数学高考指导完美数学高考指导( (一一) ) QQ:QQ: （3）若，则或，所以或，所以，又，所以 ，即，反之也有 定理 2 加法原理：做一件事有类办法，第一类办法中有种不同的方法，第二类办法中有种不同的方 法，第类办法中有种不同的方法，那么完成这件事一共有种不同的方法。 定理 3 乘法原理：做一件事分个步骤，第一步有种不同的方法，第二步有种不同的方法，第 步有种不同的方法，那么完成这件事一共有种不同的方法。 二、方法与例题二、方法与例题 1利用集合中元素的属性，检验元素是否属于集合。 例 1 设，求证： （1）； （2）； （3）若，则 证明（1）因为，且，所以 （2）假设，则存在，使，由于和有相同的奇偶性， 所以是奇数或 4 的倍数，不可能等于，假设不成立，所以 （3）设，则 （因为）。 2利用子集的定义证明集合相等，先证，再证，则 A=B。 例 2 设 A，B 是两个集合，又设集合 M 满足 ，求集合 M（用 A，B 表示）。 【解】先证，若，因为，所以，所以 ； 再证，若，则1）若，则；2）若 ，则。所以 综上， 高中数学竞赛讲义高中数学竞赛讲义+ +完美数学高考指导完美数学高考指导( (一一) ) QQ:QQ: 3分类讨论思想的应用。 例 3 ，若， 求 【解】依题设，再由解得或， 因为，所以，所以，所以或 2，所以或 3。 因为，所以，若，则，即，若，则 或，解得 综上所述，或；或。 4计数原理的应用。 例 4 集合 A，B，C 是 I=1，2，3，4，5，6，7，8，9，0的子集，（1）若，求有序集合对 （A，B）的个数；（2）求 I 的非空真子集的个数。 【解】（1）集合 I 可划分为三个不相交的子集；AB，BA，中的每个元素恰属于其中一个子集，10 个元素共有 310种可能，每一种可能确定一个满足条件的集合对，所以集合对有 310个。 （2）I 的子集分三类：空集，非空真子集，集合 I 本身，确定一个子集分十步，第一步，1 或者属于该子集或 者不属于，有两种；第二步，2 也有两种，第 10 步，0 也有两种，由乘法原理，子集共有个，非空 真子集有 1022 个。 5配对方法。 例 5 给定集合的个子集：，满足任何两个子集的交集非空，并且再添加 I 的 任何一个其他子集后将不再具有该性质，求的值。 【解】将 I 的子集作如下配对：每个子集和它的补集为一对，共得对，每一对不能同在这个子集中，因 此，；其次，每一对中必有一个在这个子集中出现，否则，若有一对子集未出现，设为 C1A 与 A，并设 ，则，从而可以在个子集中再添加，与已知矛盾，所以。综上， 。 6竞赛常用方法与例问题。 定理 4 容斥原理；用表示集合 A 的元素个数，则 ，需要 xy 此结论可以推广到个集合的 情况，即 高中数学竞赛讲义高中数学竞赛讲义+ +完美数学高考指导完美数学高考指导( (一一) ) QQ:QQ: 定义 8 集合的划分：若，且，则这些子集的全集叫 I 的一个-划分。 定理 5 最小数原理：自然数集的任何非空子集必有最小数。 定理 6 抽屉原理：将个元素放入个抽屉，必有一个抽屉放有不少于个元素，也必有一个 抽屉放有不多于个元素；将无穷多个元素放入个抽屉必有一个抽屉放有无穷多个元素。 例 6 求 1，2，3，100 中不能被 2，3，5 整除的数的个数。 【解】 记， ，由容斥原理， ，所以不能被 2，3，5 整除的数有个。 例 7 S 是集合1，2，2004的子集，S 中的任意两个数的差不等于 4 或 7，问 S 中最多含有多少个元素？ 【解】将任意连续的 11 个整数排成一圈如右图所示。由题目条件可知每相邻两个数至多有一个属于 S，将这 11 个数按连续两个为一组，分成 6 组，其中一组只有一个数，若 S 含有这 11 个数中至少 6 个，则必有两个数在同一组， 与已知矛盾，所以 S 至多含有其中 5 个数。又因为 2004=18211+2，所以 S 一共至多含有 1825+2=912 个元素，另 一方面，当时，恰有，且 S 满足题目条件，所以最少 含有 912 个元素。 例 8 求所有自然数，使得存在实数满足： 【解】 当时，；当时，；当时， 。下证当时，不存在满足条件。 令，则 所以必存在某两个下标，使得，所以或，即 ，所以或，。 （）若，考虑，有或，即，设 ，则，导致矛盾，故只有 高中数学竞赛讲义高中数学竞赛讲义+ +完美数学高考指导完美数学高考指导( (一一) ) QQ:QQ: 考虑，有或，即，设，则， 推出矛盾，设，则，又推出矛盾， 所以故当时，不存在满足 条件的实数。 （）若，考虑，有或，即，这时 ，推出矛盾，故。考虑，有或，即=3，于 是，矛盾。因此，所以，这又矛盾，所以只有 ，所以。故当时，不存在满足条件的实数。 例 9 设 A=1，2，3，4，5，6，B=7，8，9，n，在 A 中取三个数，B 中取两个数组成五个元素的集 合，求的最小值。 【解】 设 B 中每个数在所有中最多重复出现次，则必有。若不然，数出现次（），则 在出现的所有中，至少有一个 A 中的数出现 3 次，不妨设它是 1，就有集合1， ，其中，为满足题意的集合。必各不相同，但只能是 2，3，4，5，6 这 5 个数，这不可能，所以 20 个中，B 中的数有 40 个，因此至少是 10 个不同的，所以。当时，如下 20 个集合满足要求： 1，2，3，7，8， 1，2，4，12，14， 1，2，5，15，16， 1，2，6，9，10， 1，3，4，10，11， 1，3，5，13，14， 1，3，6，12，15， 1，4，5，7，9， 1，4，6，13，16， 1，5，6，8，11， 2，3，4，13，15， 2，3，5，9，11， 2，3，6，14，16， 2，4，5，8，10， 2，4，6，7，11， 2，5，6，12，13， 3，4，5，12，16， 3，4，6，8，9， 3，5，6，7，10， 4，5，6，14，15。 例 10 集合1，2，3n可以划分成个互不相交的三元集合，其中，求满足条件的最小 正整数 【解】 设其中第 个三元集为则 1+2+ 所以。当为偶数时，有，所以，当为奇数时，有，所以，当 时，集合1，11，4，2，13，5，3，15，6，9，12，7，10，14，8满足条件，所以的最小值为 5。 三、基础训练题三、基础训练题 高中数学竞赛讲义高中数学竞赛讲义+ +完美数学高考指导完美数学高考指导( (一一) ) QQ:QQ: 1给定三元集合，则实数的取值范围是_。 2若集合中只有一个元素，则=_。 3集合的非空真子集有_个。 4已知集合，若，则由满足条件的实数组成的集合 P=_。 5已知，且，则常数的取值范围是_。 6若非空集合 S 满足，且若，则，那么符合要求的集合 S 有_个。 7集合之间的关系是_。 8若集合，其中，且，若，则 A 中元素之和是_。 9集合，且，则满足条件的值构成的集合为 _。 10集合，则 _。 11已知 S 是由实数构成的集合，且满足 1）若，则。如果，S 中至少含有 多少个元素？说明理由。 12已知，又 C 为单元素集合，求实数的取值范围。 四、高考水平训练题四、高考水平训练题 1已知集合，且 A=B，则_，_。 2 ，则_。 3已知集合，当时，实数的取值范围是 _。 4若实数为常数，且_。 5集合，若，则_。 高中数学竞赛讲义高中数学竞赛讲义+ +完美数学高考指导完美数学高考指导( (一一) ) QQ:QQ: 6集合，则中的最小元素是_。 7集合，且 A=B，则_。 8已知集合，且，则的取值范围是_。 9设集合，问：是否 存在，使得，并证明你的结论。 10集合 A 和 B 各含有 12 个元素，含有 4 个元素，试求同时满足下列条件的集合 C 的个数：1） 且 C 中含有 3 个元素；2）。 11判断以下命题是否正确：设 A，B 是平面上两个点集，若对任何，都 有，则必有，证明你的结论。 五、联赛一试水平训练题五、联赛一试水平训练题 1已知集合，则实数的取值范围是 _。 2集合的子集 B 满足：对任意的，则集合 B 中元素个数的最大值 是_。 3已知集合，其中，且，若 P=Q，则实数 _。 4已知集合，若是平面上正八边形的顶点 所构成的集合，则_。 5集合，集合，则集合 M 与 N 的关系是_。 6设集合，集合 A 满足：，且当时，则 A 中元素最多有 _个。 7非空集合，则使成立的所有的集合是 _。 8已知集合 A，B，aC（不必相异）的并集, 则满足条件的有序三元组（A，B，C）个 数是_。 9已知集合，问：当取何值时， 为恰有 2 个元素的集合？说明理由，若改为 3 个元素集合，结论如何？ 高中数学竞赛讲义高中数学竞赛讲义+ +完美数学高考指导完美数学高考指导( (一一) ) QQ:QQ: 10求集合 B 和 C，使得，并且 C 的元素乘积等于 B 的元素和。 11S 是 Q 的子集且满足：若，则恰有一个成立，并且若，则 ，试确定集合 S。 12集合 S=1，2，3，4，5，6，7，8，9，0的若干个五元子集满足：S 中的任何两个元素至多出现在两个不 同的五元子集中，问：至多有多少个五元子集？ 六、联赛二试水平训练题六、联赛二试水平训练题 1是三个非空整数集，已知对于 1，2，3 的任意一个排列，如果，则 。求证：中必有两个相等。 2求证：集合1，2，1989可以划分为 117 个互不相交的子集，使得（1）每个恰 有 17 个元素；（2）每个中各元素之和相同。 3某人写了封信，同时写了个信封，然后将信任意装入信封，问：每封信都装错的情况有多少种？ 4设是 20 个两两不同的整数，且整合中有 201 个不同的元素，求集合 中不同元素个数的最小可能值。 5设 S 是由个人组成的集合。求证：其中必定有两个人，他们的公共朋友的个数为偶数。 6对于整数，求出最小的整数，使得对于任何正整数，集合的任一个 元子集中，均有至少 3 个两两互质的元素。 7设集合 S=1，2，50，求最小自然数，使 S 的任意一个元子集中都存在两个不同的数 a 和 b，满足 。 8集合，试作出 X 的三元子集族 当 x0n 时，f(x)在m, n上的最小值为 f(n)（以上结论由二次函数 图象即可得出）。 定义 1 能判断真假的语句叫命题，如“35”是命题，“萝卜好大”不是命题。不含逻辑联结词“或”、“且” 、“非”的命题叫做简单命题，由简单命题与逻辑联结词构成的命题由复合命题。 注 1 “p 或 q”复合命题只有当 p，q 同为假命题时为假，否则为真命题；“p 且 q”复合命题只有当 p，q 同时 为真命题时为真，否则为假命题；p 与“非 p”即“p”恰好一真一假。 定义 2 原命题：若 p 则 q（p 为条件，q 为结论）；逆命题：若 q 则 p；否命题：若非 p 则 q；逆否命题：若非 q 则非 p。 注 2 原命题与其逆否命题同真假。一个命题的逆命题和否命题同真假。 注 3 反证法的理论依据是矛盾的排中律，而未必是证明原命题的逆否命题。 定义 3 如果命题“若 p 则 q”为真，则记为 pq 否则记作 pq.在命题“若 p 则 q”中，如果已知 pq,则 p 是 q 的充分条件；如果 qp，则称 p 是 q 的必要条件；如果 pq 但 q 不p，则称 p 是 q 的充分非必要条件；如 果 p 不q 但 pq，则 p 称为 q 的必要非充分条件；若 pq 且 qp，则 p 是 q 的充要条件。 二、方法与例题二、方法与例题 1待定系数法。 例 1 设方程 x2-x+1=0 的两根是 ，求满足 f()=,f()=,f(1)=1 的二次函数 f(x). 【解】 设 f(x)=ax2+bx+c(a0), 则由已知 f()=,f()= 相减并整理得（-）（+）a+b+1=0， 因为方程 x2-x+1=0 中0， 高中数学竞赛讲义高中数学竞赛讲义+ +完美数学高考指导完美数学高考指导( (一一) ) QQ:QQ: 所以 ，所以(+)a+b+1=0. 又 +=1,所以 a+b+1=0. 又因为 f(1)=a+b+c=1， 所以 c-1=1，所以 c=2. 又 b=-(a+1)，所以 f(x)=ax2-(a+1)x+2. 再由 f()= 得 a2-(a+1)+2=, 所以 a2-a+2=+=1，所以 a2-a+1=0. 即 a(2-+1)+1-a=0,即 1-a=0， 所以 a=1, 所以 f(x)=x2-2x+2. 2方程的思想。 例 2 已知 f(x)=ax2-c 满足-4f(1)-1, -1f(2)5，求 f(3)的取值范围。 【解】 因为-4f(1)=a-c-1, 所以 1-f(1)=c-a4. 又-1f(2)=4a-c5, f(3)=f(2)-f(1), 所以(-1)+f(3)5+4, 所以-1f(3)20. 3利用二次函数的性质。 例 3 已知二次函数 f(x)=ax2+bx+c(a,b,cR, a0)，若方程 f(x)=x 无实根，求证：方程 f(f(x)=x 也无实根。 【证明】若 a0，因为 f(x)=x 无实根，所以二次函数 g(x)=f(x)-x 图象与 x 轴无公共点且开口向上，所以对任意的 xR,f(x)-x0 即 f(x)x，从而 f(f(x)f(x)。 所以 f(f(x)x，所以方程 f(f(x)=x 无实根。 注：请读者思考例 3 的逆命题是否正确。 4利用二次函数表达式解题。 例 4 设二次函数 f(x)=ax2+bx+c(a0)，方程 f(x)=x 的两根 x1, x2满足 0x1x2, （）当 x(0, x1)时，求证：xf(x)x1； （）设函数 f(x)的图象关于 x=x0对称，求证：x0 【证明】 因为 x1, x2是方程 f(x)-x=0 的两根，所以 f(x)-x=a(x-x1)(x-x2)， 即 f(x)=a(x-x1)(x-x2)+x. （）当 x(0, x1)时，x-x1x. 其次 f(x)-x1=(x-x1)a(x-x2)+1=a(x-x1)x-x2+0，所以 f(x)x1. 综上，x0, f(-1)=(a-1)20, f(0)=1-a20， 所以 f(x)在区间（-1,0）和（0，1）上各有一根。 即方程的正根比 1 小，负根比-1 大。 6定义在区间上的二次函数的最值。 例 6 当 x 取何值时，函数 y=取最小值？求出这个最小值。 【解】 y=1-,令u,则 0u1。 y=5u2-u+1=5, 且当即 x=3 时，ymin=. 例 7 设变量 x 满足 x2+bx-x(b-2 时，x2+bx 在0，-(b+1)上是减函数， 所以 x2+bx 的最小值为 b+1,b+1=-,b=-. 综上，b=-. 7.一元二次不等式问题的解法。 例 8 已知不等式组 的整数解恰好有两个，求 a 的取值范围。 【解】 因为方程 x2-x+a-a2=0 的两根为 x1=a, x2=1-a, 若 a0，则 x1x2.的解集为 a0，）当 0a时，x1x2,的解集为 ax1-a. 因为 0ax1-a，由得 x1-2a， 所以不等式组的解集为 1-ax1 且 a-(1-a)3， 所以 1a2，并且当 10，则由知0，所以成立，所以成立。 综上，充分性得证。 9常用结论。 定理 1 若 a, bR, |a|-|b|a+b|a|+|b|. 【证明】 因为-|a|a|a|,-|b|b|b|，所以-(|a|+|b|)a+b|a|+|b|, 所以|a+b|a|+|b|（注：若 m0，则-mxm 等价于|x|m）. 又|a|=|a+b-b|a+b|+|-b|, 即|a|-|b|a+b|.综上定理 1 得证。 定理 2 若 a,bR, 则 a2+b22ab；若 x,yR+,则 x+y (证略) 注 定理 2 可以推广到 n 个正数的情况，在不等式证明一章中详细论证。 三、基础训练题 1下列四个命题中属于真命题的是_，“若 x+y=0，则 x、y 互为相反数”的逆命题；“两个全等 三角形的面积相等”的否命题；“若 q1，则 x2+x+q=0 有实根”的逆否命题；“不等边三角形的三个内角相 等”的逆否命题。 2由上列各组命题构成“p 或 q”，“p 且 q”，“非 p”形式的复合命题中，p 或 q 为真，p 且 q 为假，非 p 为真的是_.p；3 是偶数，q：4 是奇数；p:3+2=6,q:p:a(a,b),q:aa,b; p: QR, q: N=Z. 3. 当|x-2|a 时，不等式|x2-4|0 的解是 1x2，则 a, b 的值是_. 高中数学竞赛讲义高中数学竞赛讲义+ +完美数学高考指导完美数学高考指导( (一一) ) QQ:QQ: 5. x1 且 x2 是 x-1的_条件，而-2m0 且 0n0 解集分别为 M 和 N，那么“ ”是“M=N”的_条件。 6若下列三个方程 x2+4ax-4a+3=0, x2+(a-1)x+a2=0, x2+2ax-2a=0 中至少有一个方程有实根，则实数 a 的取值范 围是_. 7已知 p, q 都是 r 的必要条件，s 是 r 的充分条件，q 是 s 的充分条件，则 r 是 q 的_条件。 8已知 p: |1-|2, q: x2-2x+1-m20(m0)，若非 p 是非 q 的必要不充分条件，则实数 m 的取值范围是 _. 9已知 a0，f(x)=ax2+bx+c，对任意 xR 有 f(x+2)=f(2-x)，若 f(1-2x2)0 且|x|1 时，g(x)最大值为 2，求 f(x). 11.设实数 a,b,c,m 满足条件：=0，且 a0,m0，求证：方程 ax2+bx+c=0 有一根 x0满足 0x01. 五、联赛一试水平训练题五、联赛一试水平训练题 1不等式|x|3-2x2-4|x|+30，当函数的最小值取最大值时， a+b2+c3=_. 高中数学竞赛讲义高中数学竞赛讲义+ +完美数学高考指导完美数学高考指导( (一一) ) QQ:QQ: 4. 已知 f(x)=|1-2x|, x0,1，方程 f(f(f)(x)=x 有_个实根。 5若关于 x 的方程 4x2-4x+m=0 在-1，1上至少有一个实根，则 m 取值范围是_. 6若 f(x)=x4+px3+qx2+x 对一切 xR 都有 f(x)x 且 f(1)=1，则 p+q2=_. 7. 对一切 xR，f(x)=ax2+bx+c(a、=、） 9若 abc100，试问满足|f(x)|50 的整数 x 最多有几个？ 2设函数 f(x)=ax2+8x+3(a1)，使得存在 tR，只要 x1, m就有 f(x+t)x. 7.求证：方程 3ax2+2bx-(a+b)=0(b0)在(0,1)内至少有一个实根。 8设 a,b,A,BR+, aA, bB，若 n 个正数 a1, a2,an位于 a 与 A 之间，n 个正数 b1, b2,bn位于 b 与 B 之间， 求证： 9设 a,b,c 为实数，g(x)=ax2+bx+c, |x|1，求使下列条件同时满足的 a, b, c 的值： （）=381; （）g(x)max=444; （）g(x)min=364. 高中数学竞赛讲义高中数学竞赛讲义+ +完美数学高考指导完美数学高考指导( (一一) ) QQ:QQ: 高中数学竞赛讲义（三）高中数学竞赛讲义（三） 函数函数 一、基础知识一、基础知识 定义 1 映射，对于任意两个集合 A，B，依对应法则 f，若对 A 中的任意一个元素 x，在 B 中都有唯一一个元素 与之对应，则称 f: AB 为一个映射。 定义 2 单射，若 f: AB 是一个映射且对任意 x, yA, xy, 都有 f(x)f(y)则称之为单射。 定义 3 满射，若 f: AB 是映射且对任意 yB，都有一个 xA 使得 f(x)=y，则称 f: AB 是 A 到 B 上的满射。 定义 4 一一映射，若 f: AB 既是单射又是满射，则叫做一一映射，只有一一映射存在逆映射，即从 B 到 A 由 相反的对应法则 f-1构成的映射，记作 f-1: AB。 定义 5 函数，映射 f: AB 中，若 A，B 都是非空数集，则这个映射为函数。A 称为它的定义域，若 xA, yB，且 f(x)=y（即 x 对应 B 中的 y），则 y 叫做 x 的象，x 叫 y 的原象。集合f(x)|xA叫函数的值域。通常函数 由解析式给出，此时函数定义域就是使解析式有意义的未知数的取值范围，如函数 y=3-1 的定义域为 x|x0,xR. 定义 6 反函数，若函数 f: AB（通常记作 y=f(x)）是一一映射，则它的逆映射 f-1: AB 叫原函数的反函数， 通常写作 y=f-1(x). 这里求反函数的过程是：在解析式 y=f(x)中反解 x 得 x=f-1(y)，然后将 x, y 互换得 y=f-1(x)，最后指 出反函数的定义域即原函数的值域。例如：函数 y=的反函数是 y=1-(x0). 定理 1 互为反函数的两个函数的图象关于直线 y=x 对称。 定理 2 在定义域上为增（减）函数的函数，其反函数必为增（减）函数。 定义 7 函数的性质。 （1）单调性：设函数 f(x)在区间 I 上满足对任意的 x1, x2I 并且 x1 x2，总有 f(x1)f(x2)，则称 f(x)在 区间 I 上是增（减）函数，区间 I 称为单调增（减）区间。 （2）奇偶性：设函数 y=f(x)的定义域为 D，且 D 是关于原点对称的数集，若对于任意的 xD，都有 f(-x)=-f(x)， 则称 f(x)是奇函数；若对任意的 xD，都有 f(-x)=f(x)，则称 f(x)是偶函数。奇函数的图象关于原点对称，偶函数的 图象关于 y 轴对称。 （3）周期性：对于函数 f(x)，如果存在一个不为零的常数 T，使得当 x 取定义域内每一个数时，f(x+T)=f(x)总成 立，则称 f(x)为周期函数，T 称为这个函数的周期，如果周期中存在最小的正数 T0，则这个正数叫做函数 f(x)的最小 正周期。 定义 8 如果实数 ab，则数集x|axb, xR叫做开区间，记作（a,b），集合x|axb,xR记作闭区间a,b， 集合x|a0)；（1）向右平移 a 个单位得到 y=f(x-a)的图象；（2）向左平 移 a 个单位得到 y=f(x+a)的图象；（3）向下平移 b 个单位得到 y=f(x)-b 的图象；（4）与函数 y=f(-x)的图象关于 y 轴 对称；（5）与函数 y=-f(-x)的图象关于原点成中心对称；（6）与函数 y=f-1(x)的图象关于直线 y=x 对称；（7）与函 数 y=-f(x)的图象关于 x 轴对称。 定理 3 复合函数 y=fg(x)的单调性，记住四个字：“同增异减”。例如 y=, u=2-x 在（-,2）上是减函数， y=在（0，+）上是减函数，所以 y=在（-,2）上是增函数。 高中数学竞赛讲义高中数学竞赛讲义+ +完美数学高考指导完美数学高考指导( (一一) ) QQ:QQ: 注：复合函数单调性的判断方法为同增异减。这里不做严格论证，求导之后是显然的。 二、方法与例题二、方法与例题 1数形结合法。 例 1 求方程|x-1|=的正根的个数. 【解】 分别画出 y=|x-1|和 y=的图象，由图象可知两者有唯一交点，所以方程有一个正根。 例 2 求函数 f(x)=的最大值。 【解】 f(x)=，记点 P(x, x?2)，A（3，2），B（0，1），则 f(x)表 示动点 P 到点 A 和 B 距离的差。 因为|PA|-|PA|AB|=,当且仅当 P 为 AB 延长线与抛物线 y=x2的交点时等号成立。 所以 f(x)max= 2.函数性质的应用。 例 3 设 x, yR，且满足，求 x+y. 【解】 设 f(t)=t3+1997t，先证 f(t)在（-，+）上递增。事实上，若 a0，所以 f(t)递增。 由题设 f(x-1)=-1=f(1-y)，所以 x-1=1-y，所以 x+y=2. 例 4 奇函数 f(x)在定义域（-1，1）内是减函数，又 f(1-a)+f(1-a2)0，求 a 的取值范围。 【解】 因为 f(x) 是奇函数，所以 f(1-a2)=-f(a2-1)，由题设 f(1-a)f(a2-1)。 又 f(x)在定义域（-1，1）上递减，所以-11-aa2-11，解得 0a1。 例 5 设 f(x)是定义在（-，+）上以 2 为周期的函数，对 kZ, 用 Ik表示区间(2k-1, 2k+1，已知当 xI0时， f(x)=x2，求 f(x)在 Ik上的解析式。 【解】 设 xIk，则 2k-10，则由得 n0，设 f(t)=t(+1),则 f(t)在（0，+）上是增函数。又 f(m)=f(-n)，所以 m=-n， 所以 3x-1+2x-3=0，所以 x= )若 m0。同理有 m+n=0,x=,但与 m0 矛盾。 综上，方程有唯一实数解 x= 3.配方法。 例 7 求函数 y=x+的值域。 【解】 y=x+=2x+1+2+1-1 =(+1)-1-1=-. 当 x=-时，y 取最小值-，所以函数值域是-，+）。 4换元法。 例 8 求函数 y=(+2)(+1),x0,1的值域。 【解】令+=u，因为 x0,1，所以 2u2=2+24,所以u2,所以 2，12，所以 y=,u2+2，8。 所以该函数值域为2+，8。 5判别式法。 例 9 求函数 y=的值域。 【解】由函数解析式得(y-1)x2+3(y+1)x+4y-4=0. 当 y1 时，式是关于 x 的方程有实根。 所以=9(y+1)2-16(y-1)20，解得y1. 高中数学竞赛讲义高中数学竞赛讲义+ +完美数学高考指导完美数学高考指导( (一一) ) QQ:QQ: 又当 y=1 时，存在 x=0 使解析式成立， 所以函数值域为，7。 6关于反函数。 例 10 若函数 y=f(x)定义域、值域均为 R，且存在反函数。若 f(x)在(-,+ )上递增，求证：y=f-1(x)在(-,+ ) 上也是增函数。 【证明】设 x1x2, 且 y1=f-1(x1), y2=f-1(x2)，则 x1=f(y1), x2=f(y2)，若 y1y2，则因为 f(x)在(-,+ )上递增，所以 x1x2与假设矛盾，所以 y1y2。 即 y=f-1(x)在(-,+ )递增。 例 11 设函数 f(x)=，解方程：f(x)=f-1(x). 【解】 首先 f(x)定义域为（-，-）-，+）；其次，设 x1, x2是定义域内变量，且 x1x20, 所以 f(x)在（-，-）上递增，同理 f(x)在-，+）上递增。 在方程 f(x)=f-1(x)中，记 f(x)=f-1(x)=y，则 y0，又由 f-1(x)=y 得 f(y)=x，所以 x0,所以 x,y-，+）. 若 xy，设 x0，所以 x=1. 三、基础训练题三、基础训练题 1已知 X=-1, 0, 1, Y=-2, -1, 0, 1, 2，映射 f：XY 满足：对任意的 xX，它在 Y 中的象 f(x)使得 x+f(x)为偶 数，这样的映射有_个。 2给定 A=1，2，3，B=-1，0，1和映射 f：XY，若 f 为单射，则 f 有_个；若 f 为满射，则 f 有 _个；满足 ff(x) =f(x)的映射有_个。 3若直线 y=k(x-2)与函数 y=x2+2x 图象相交于点（-1，-1），则图象与直线一共有_个交点。 4函数 y=f(x)的值域为，则函数 g(x)=f(x)+的值域为_。 5已知 f(x)=，则函数 g(x)=ff(x)的值域为_。 6已知 f(x)=|x+a|，当 x3 时 f(x)为增函数，则 a 的取值范围是_。 7设 y=f(x)在定义域（，2）内是增函数，则 y=f(x2-1)的单调递减区间为_。 8若函数 y=(x)存在反函数 y= -1(x)，则 y=-1(x)的图象与 y=- (-x)的图象关于直线_对称。 高中数学竞赛讲义高中数学竞赛讲义+ +完美数学高考指导完美数学高考指导( (一一) ) QQ:QQ: 9函数 f(x)满足=1-，则 f()=_。 10. 函数 y=, x(1, +)的反函数是_。 11求下列函数的值域：（1）y=; (2)y=; (3)y=x+2; (4) y= 12. 已知定义在 R 上，对任意 xR, f(x)=f(x+2)，且 f(x)是偶函数，又当 x2,3时，f(x)=x，则当 x- 2,0时，求 f(x)的解析式。 四、高考水平训练题四、高考水平训练题 1已知 a, f(x)定义域是（0,1，则 g(x)=f(x+a)+f(x-a)+f(x)的定义域为_。 2设 0a1 时，f(x)=(a-1)x2-6ax+a+1 恒为正值。则 f(x)定义域为_。 3映射 f: a, b, c, d1，2，3满足 10f(a)f(b)f(c)f(d)0，函数 f(x)定义域为 R，且 f(x+a)=，求证：f(x)为周期函数。 高中数学竞赛讲义高中数学竞赛讲义+ +完美数学高考指导完美数学高考指导( (一一) ) QQ:QQ: 11设关于 x 的方程 2x2-tx-2=0 的两根为 ，（0 有定义，且满足：（）f(x)在（0，+）是增函数；()任意 x0, f(x)f=1，试 求 f(1). 3. f:0,1R 满足：（1）任意 x0, 1, f(x)0；（2）f(1)=1；（3）当 x, y, x+y0, 1时，f(x)+f(y)f(x+y)，试 求最小常数 c，对满足（1），（2），（3）的函数 f(x)都有 f(x)cx. 4. 试求 f(x,y)=6(x2+y2)(x+y)-4(x2+xy+y2)-3(x+y)+5(x0, y0)的最小值。 5对给定的正数 p,q(0, 1)，有 p+q1p2+q2，试求 f(x)=(1-x)+在1-q,p上的最大 值。 6已知 f: (0,1)R 且 f(x)=. 当 x时，试求 f(x)的最大值。 7函数 f(x)定义在整数集上，且满足 f(n)=，求 f(100)的值。 8函数 y=f(x)定义在整个实轴上，它的图象在围绕坐标原点旋转角后不变。（1）求证：方程 f(x)=x 恰有一 个解；（2）试给出一个具有上述性质的函数。 9设 Q+是正有理数的集合，试构造一个函数 f: Q+Q+，满足这样的条件：f(xf(y)=x, yQ+. 高中数学竞赛讲义（四）高中数学竞赛讲义（四） 几个初等函数的性质几个初等函数的性质 一、基础知识一、基础知识 1指数函数及其性质：形如 y=ax(a0, a1)的函数叫做指数函数，其定义域为 R，值域为（0，+），当 00, a1)的函数叫做对数函数，其定义域为（0，+），值域为 R，图 象过定点（1，0）。当 00, N0）； 1）ax=Mx=logaM(a0, a1)； 2）loga(MN)= loga M+ loga N； 3）loga（）= loga M- loga N；4）loga Mn=n loga M；，