第一章《立体几何初步》单元知识总结

第一章立体几何初步单元知识总结知识链接空间几何体构成几何体的基本元素平行投影与中心投影 柱，锥，台，球的表面积和体积柱，锥，台，球的结构特征直观图和三视图的画法确定平面的条件平面的基本性质空间平行直线及其传递性点，线，面之间的位置关系直线与平面平行的判定及性质空间中的平行关系平面与平面平行的判定及性质直线与平面垂直的判定及性质空间中的垂直关系平面与平面垂直的判定及性质点击考点（1） 了解柱，锥，台，球及简单组合体的结构特征。（2） 能画出简单空间图形的三视图，能识别三视图所表示的立体模型，并会用斜二测法画出它们的直观图。（3） 通过观察用平行投影与中心投影这两种方法画出的视图与直观图，了解空间图形的不同表示形式。（4） 理解柱，锥，台，球的表面积及体积公式。（5） 理解平面的基本性质及确定平面的条件。（6） 掌握空间直线与直线，直线与平面，平面与平面平行的判定及性质。（7） 掌握空间直线与平面，平面与平面垂直的判定及性质。名师导航1.学习方法指导（1） 空间几何体空间图形直观描述了空间形体的特征，我们一般用斜二测画法来画空间图形的直观图。空间图形可以看作点的集合，用符号语言表述点，线，面的位置关系时，经常用到集合的有关符号，要注意文字语言，符号语言，图形语言的相互转化。柱，锥，台，球是简单的几何体，同学们可用列表的方法对它们的定义，性质，表面积及体积进行归纳整理。对于一个正棱台，当上底面扩展为下底面的全等形时，就变为一个直棱柱；当上底面收缩为中心点时，就变为一个正棱锥。由和，就可看出它们的侧面积与体积公式的联系。（2） 点，线，面之间的位置关系 “确定平面”是将空间图形问题转化为平面图形问题来解决的重要条件，这种转化最基本的就是三个公理。 空间中平行关系之间的转化：直线与直线平行 直线与平面平行 平面与平面平行。 空间中垂直关系之间的转化：直线与直线垂直 直线与平面垂直平面与平面垂直。2.思想方法小结 在本章中需要用到的数学思想方法有：观察法，数形结合思想，化归与转化思想等。主要是立体几何问题转化为平面几何问题，平行与垂直的相互转化等。3.综合例题分析例1：如图，P是ABC所在平面外一点，分别是，的重心。（1） 求证：平面平面ABC； P（2） 求：.证明:(1) 连结,设, ,则D,E,F分别是BC,AC,AB的中点,且 C A B 所以, ,且,所以 ,从而, 平面平面ABC.(2) 由平面几何知识有， 所以， .点评: (1)由线线平行 线面平行 面面平行,是证明平行问题的常用方法.(2)灵活运用平面几何知识是解决本题的关键。例2：试证：正四面体内任意一点到各面距离之和等于这个正四面体的高。分析：如图，设P为正四面体ABCD内任一点，AO为正四面体A的高，点P到各面的距离分别为则PBDC即 正四面体各面是全等的正三角形点评：多面体问题常用技巧有“割”“补”“等积变换”等，利用这些技巧可使问题化繁为易。例3：圆台的内切球半径为R，且圆台的全面积和球面积之比为。求圆台的上，下底面半径（）。解：如图，设圆台母线为， 则，由平面几何知识得， 即 又 由题意得， 即 代入 得 ，.点评: (1) 解组合体的关键是注意选择合适的角度画出示意图，通过交点交线来研究问题，正确作出截面，把复杂问题转化为熟悉的,较常见的问题. (2) 轴截面在解决旋转体问题中，有着相当重要的作用.例4已知三棱锥中，平面，分别是上的动点，且，（）求证：不论为何值，总有平面平面；（）当为何值时，平面平面？证（）平面，且，平面，又（），不论为何值，恒有，平面，平面，不论为何值恒有平面平面（）由（）知，又要平面平面，平面，由得，故当时，平面平面点评：证明垂直和平行一样，要注意线面与面面的转化及立几与平几的转化。误区莫入（1） 几何中的平面是没有厚度且可以无限延展，因此，用平行四边形表示平面时，必要时可以把它延展开来。如同画直线一样，直线是可以无限延展的，但在画直线时，却只画出一条线段来表示。（2） 平面几何中