第一轮复习数学：2.1函数的概念

第二章函数网络系统的概要试验点目标定位1 .理解函数的概念，理解映射的概念2 .了解函数单调性的概念，并了解如何确定若干简单函数的单调性3 .通过理解逆函数概念与互为逆函数的函数图像之间的关系，可以获得若干简单函数的逆函数4 .理解分数次幂的概念，掌握有理指数次幂的运算性质，掌握指数函数的概念、图像和性质5 .理解对数的概念，掌握对数的运算性质，掌握对数函数的概念、图像和性质6 .利用函数的性质、指数函数和对数函数的性质，可以解决一些简单的实际问题复习策略指南基本函数：线性函数、二次函数、反比函数、指数函数和对数函数，它们的图像和性质是函数的基础。 求逆函数，判断、证明和应用函数的三个特性(单调性、奇偶性、周期性)是高考命题的切入点，也有单一考察(如全国2004年第2题)的综合考察(江苏2004年第22题等)。 函数图像、图像的转换是高考的热点(全国2004年iv，北京2005年春季处理2 )，应用函数知识解决其他问题，特别是应用问题可以很好地分析学生解决问题的能力，这些问题在高考中具有很强的生存力。 配法、未定系数法、数形结合法、分类讨论等，这些方法构成了在函数一章中应用的普遍性、解法的多样性和思维创造性，符合高考试题改革的发展趋势。特别是在“函数”一章中，数形结合的思想很多，深入理解和运用这种思想方法，不仅有助于解决问题，而且充分把握了初中数学的本质和灵魂的表现。复习这篇文章需要注意1 .深入理解二次函数、指数函数、对数函数的图像和性质等一些基本函数，对数与形式的基本关系可以相互转化2 .函数图像的基本变换，例如平移、反转、对称等3 .二次函数是中学、高中的结合点，要引起重视。 复习时应适度加深扩展。 二次函数与二次方程、二次不等式有着密切的关系，必须交流这些知识之间的内在关系，并应用它们来解决问题。4 .含参数函数的讨论是函数问题的难点和重点，复习时应适当加强这方面的训练，使其有条理、分类明确、不漏洞5 .利用函数知识解决问题是高考的重点，值得重视2.1函数的概念知识整理1 .函数的定义：设a、b为非空的整数集合，若使在集合b中唯一确定的整数f(x )与以某一特定的对应关系f在集合a中的任意一个整数x对应，则将f:AB记作从集合a到集合b的函数，记作y=f(x )，xA。 在此，将x称为自变量. x值的范围a称为函数的定义域，将与x的值对应的y的值称为函数值，将函数值的集合f(x)|xA称为函数的值域.2 .两个函数的相等：函数的定义包括三个元素：定义域a、值域c和对应规律f。 在函数的定义域和从定义域到值域的对应法则被确定后，函数的值域也被确定，因此定义域和对应法则是函数的两个基本条件，只有在两个函数的定义域和对应法则分别相同的情况下，两个函数是相同的函数3 .映射的定义：通常将a、b设为两个集合，根据对应关系f，如果集合b中的任何一个元素与集合a中唯一的元素相对应，则这种对应(包括集合a、b和集合a到集合b的对应关系f )被称为集合a到集合b的映射，f 3360从映射和函数的定义显而易见，要求该函数是一种特殊映射，其中，a、b不是空的，而是全部是整数集合。特别记载事项函数定义的三要素是理解函数概念的关键，从映射角度理解函数概念是函数概念的深化双击1 .设集合A=R，集合B=正的实数集合，从集合a到集合b的映射f是可能的A.f:xy=|x|B.f:xy=c.f : xy=3- xd.f : xy=log2(1| x|)解析：指数函数的定义域为r，值域为(0，)，因此f为xy=3-x答案： c2 .如果设m= x|- 2x2 、N=y|0y2、函数f(x )的定义区域为m、值区域为n，则f(x )的图像为分析： a项的定义域为-2，0 ，d项的值域不是 0，2 ，c项在任何一个x上都对应2个y，不一致答案： b(2004年全国I，处理2 )若已知函数f(x)=lg，f(a)=b，则f(-a )相等A.b B.-b C. D.-分析： f(-a)=lg=-lg=-f(a)=-b。【回答】b4.(2004年全国，理5 )函数y=的定义域为A.-，-1(1，B.(-，-1)(1，)C.-2，-1)d.(-2，-1) (1，2 )分析：-x-1或10，a1 )的定义域和值域均为 0，1 ，则a相等A. B. C. D.2分析： f(x)=loga(x 1)的定义域为 0，1 ，0x1，1-x1- 2a1时，0=loga1loga(x 1)loga2=1、 a=2；在0a0)时，在0a1.分析1:f (a )=f (b )|1-|=|1-| (1- )2=(1- ) 22ab=ab2 ab 1证明：省略分析f(x)=证明： f(x )在(0，1 )中是减法函数，在(1，)中是增加函数，从0ab且f(a)=f(b )，成为0a11.注解：证明法1、证明法2是除去绝对值符号的两个基本方法开关训练巩固基础1 .如果集合a和b都是自然数集合n，且图f:AB把集合a中的元素n映射到集合b中的元素2n n，则在图f下，对象20的原始图像成为A.2 B.3 C.4 D.5分析：从2n n=20求出n，用代入法选择c答案： c2 .某型手机上市后两次降价，单价由原2000元下降到1280元，该手机的平均降价率为A.10%B.15%C.18%D.20%分析：降价率为x%2000(1-x%)2=1280 .解析度x=20答案： d如果设定了(2004年全国，处理11 )函数f(x)=，则f(x)1的参数x的能够取值的范围为a.(-2) 0，10 b.(-2) 0，1 c.(-2) 1，10 d.-2，0 1，10 解析：由于f(x )是阶段函数，所以f(x)1应该阶段性地求解当x1时，f (x )1 (x1 ) 21x- 2或x0，8756； x-2或0x1.x1时，f (x )14 -13x10，8756； 1x10如上所述，是x-2或0x10 .答案： a4.(2004年浙江，文件13)f(x)=不等式xf(x) x2的解集为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _分析： x0时，f(x)=1xf (x ) x-2 x-1，8756； 0x1；x0时，f(x)=0xf (x ) x-2 x-2，8756； x0.以上x1答案： x|x15.(2004年全国iv，句子)已知函数y=logx和y=kx的图像具有共同点a，如果a点的横轴为2，则k的值相等A.-B.C.-D .分析：从点a到y=logx的图像上，a点的纵轴y=log2=-.另外，A(2，- )到y=kx的图像上，fu k 2，8756； 可以求出k=-.答案： a培养能力6 .如下图所示，在边长为4的正方形ABCD上存在点p，沿着折线BCDA从b点(起点)向a点(终点)移动，将p点移动的行程设为x，将ABP的面积设为y=f(x ) .(1)求出1)abp的面积和p移动过程的函数关系式(2)制作函数的图像，根据图像求出y的最大值解： (1)该函数的定义域为(0，12 )在0x4的情况下，S=f(x)=4x=2x；4x8时，S=f(x)=8；在8x12情况下，S=f(x)=4(12-x)=2(12-x)=24-2x .该函数的解析表达式是f(x)=(2)该图形须由该图可以看出，f(x)max=8。如果f :y=3x 1是从集合a= 1，2，3，k到集合b= 4，7，a4，a2 3a映射，则求出自然数a，k的值和集合a，b .解：f(1)=31 1=4，f(2)=32 1=7，f(3)=33 1=10，f(k)=3k 1，由图的定义可知(1)或(2)an，2222222222222222222222226求解方程式(2)，得到a=2或a=-5 (舍场)、3k1=16、3k=15、k=5.a= 1，2，3，5 、b= 4，7，10，16 .8 .函数f(x)=(x a)3 )在3对xR中都有f(1 x)=-f(1-x )的情况下，求出f(2) f(-2 )的值.解：对于任何xR，始终有f(1 x)=-f(1-x )x=0时需要f(1 0)=-f(1-0)即f(1)=-f(1) .另外，f(x)=(x a)3、f(1)=(1 a)3.(1a )有3=0a=-1 .f (x )=(x-1 )3.f (2) f (-2 )=(2-1)3(-2-1 )3=13 (-3 )3=-26探索革新9 .如果集合M=a，b，c，M=a，0，1 ，且图f:MN满足f(a) f(b) f(c)=0，则图f:MN的数量是多少解： f (a ) n，f(b)N，f(c)N，f(a) f(b) f(c)=0是0 0 0=0 1 (-1)=0。当f(a)=f(b)=f(c)=0时，只有一个映射在f(a )、f(b )、f(c )中正好一方为0，另外一方分别为1、-1的情况下，由于有CA=6个映射，所以求出的映射数为1 6=7.回顾：本问题考察了测绘概念和分类讨论思想悟性的总结1 .本节的重点内容是函数概念、定义域、值域，难点在于映射及其意义2 .要理解映射的概念，请注意以下几点：(1)集合a、b以及对应规则f被确定，是一个系统(2)对应规则有“方向性”，强调集合a到集合b的对应，和集合b到集合a的对应关系一般不同(3)集合a中的各个要素在集合b中有图像，图像唯一是映射被区别为一般对应的本质特征(4)集合a中的不同要素，集合b中对应的图像可相同(5)集合b中的各要素不需要存在于集合a中。3 .函数的定义域是构成函数的非常重要的部分，如果未明确指定定义域，则定义域是取代函数解析表达式的x值的范围，即，对于表达式的分母应不等于0的偶数次方程式，被开角数应不为负。对于零指数的幂，底部不等于0。 在负分数指数的幂中，底必须大于0的对数式中，真数必须大于0，底数不等于大于0在实际问