第一轮复习数学：13.3导数的综合问题

13.3 导数的综合问题知识梳理1.若函数f（x）有导数，它的极值可在方程（x）=0的根处来考查，求函数y=f（x）的极值方法如下：（1）求导数（x）；（2）求方程（x）=0的根；（3）检查（x）在方程（x）=0的根的左右的值的符号，如果左负右正，那么函数y=f（x）在这个根处取得极小值；如果左正右负，那么函数y=f（x）在这个根处取得极大值.2.设y=f（x）是一多项式函数，比较函数在闭区间a，b内所有的极值，以及f（a）和f（b），最大者为最大值，最小者为最小值.点击双基1.（2004年江苏，10）函数f（x）=x33x+1在闭区间3，0上的最大值、最小值分别是A.1，1 B.1，17C.3，17 D.9，19解析：（x）=3x23=0，x=1，f（3）=17，f（0）=1，f（1）=1，f（1）=3.答案：C2.函数f（x）=x33bx+3b在（0，1）内有极小值，则A.0b1 B.b0 D.b0，0m，则实数m的取值范围是_.解析：（x）=3x2x2=0，x=1，f（1）=5，f（）=5，f（1）=3，f（2）=7.m3.答案：m（，）典例剖析【例1】 （2004年天津，20）已知函数f（x）=ax3+bx23x在x=1处取得极值.（1）讨论f（1）和f（1）是函数f（x）的极大值还是极小值；（2）过点A（0，16）作曲线y=f（x）的切线，求此切线方程.剖析：（1）分析x=1处的极值情况，关键是分析x=1左右（x）的符号.（2）要分清点A（0，16）是否在曲线上.解：（1）（x）=3ax2+2bx3，依题意，（1）=（1）=0，即解得a=1，b=0.f（x）=x33x，（x）=3x23=3（x+1）（x1）.令（x）=0，得x=1，x=1.若x（，1）（1，+），则（x）0，故f（x）在（，1）上是增函数，f（x）在（1，+）上是增函数.若x（1，1），则（x）0，故f（x）在（1，1）上是减函数.所以f（1）=2是极大值，f（1）=2是极小值.（2）曲线y=x33x，点A（0，16）不在曲线上，设切点M（x0，y0），则y0=x033x.（x0）=3x023，切线方程为yy0=3（x021）（xx0）.代入A（0，16）得16x03+3x0=3（x021）（0x0）.解得x0=2，M（2，2），切线方程为9xy+16=0.评述：过已知点求切线，当点不在曲线上时，求切点的坐标成了解题的关键.【例2】 （2004年天津，21）已知函数f（x）=ax3+cx+d（a0）是R上的奇函数，当x=1时，f（x）取得极值2.（1）求f（x）的单调区间和极大值； （2）证明：对任意x1、x2（1，1），不等式|f（x1）f（x2）|4恒成立.剖析：xR且f（x）是奇函数，f（0）=0.又x=1是极值点，（1）=0，由此可得函数的解析式.（1）解：由奇函数定义，应有f（x）=f（x），xR，ax3cx+d=ax3cxd，d=0.因此f（x）=ax3+cx，（x）=3ax2+c.由题意知解得a=1，c=3.f（x）=x33x，（x）=3x33=3（x1）（x+1），（1）=（1）=0.当x（，1）时，（x）0，故f（x）在单调区间（，1）上是增函数，当x（1，1）时，（x）0，故f（x）在单调区间（1，1）上是减函数，当x（1，+）时，（x）0，故f（x）在单调区间（1，+）上是增函数.（，1）和（1，+）为增区间；（1，1）为减区间，x=1时，f（1）=2为极大值，x=1时，f（1）=2为极小值.（2）f（1）=2，f（1）=2.f（x）在（1，1）上是减函数，对任意x1、x2（1，1），有2f（x1）2，2f（x2）2，4f（x1）f（x2）4，即|f（x1）f（x2）|4.评述：由奇函数定义可知当x=0时，则有f（0）=0，即函数过原点.对于本题的第（2）问，用数形结合法较为直观.【例3】 设函数f（x）=x3+mx2+nx+p在（，0上是增函数，在0，2上是减函数，x=2是方程f（x）=0的一个根.（1）求n的值；（2）求证：f（1）2.剖析：由题知x=0是极值点，那么另一个极值点在哪儿呢?是x=2吗?不一定.会在x=2的哪一侧呢?解：（1）（x）=3x2+2mx+n.f（x）在（，0上是增函数，在0，2上是减函数，当x=0时，f（x）取到极大值.（0）=0.n=0.（2）f（2）=0，p=4（m+2），（x）=3x2+2mx=0的两个根分别为x1=0，x2=，函数f（x）在0，2上是减函数，x2=2.m3.f（1）=m+p+1=m4（m+2）+1=73m2.评述：此题学生往往错误地认为x=2是另一个极值点.再证f（1）2时，首先将f（1）化成关于m的式子，知道m的范围，便可证之.【例4】 对于函数y=f（x）（xD）若同时满足下列两个条件，则称f（x）为D上的闭函数.f（x）在D上为单调函数；存在闭区间a，bD，使f（x）在a，b上的值域也是a，b.（1）求闭函数y=x3符合上述条件的区间a，b；（2）若f（x）=x33x29x+4，判断f（x）是否为闭函数.剖析：这是个知识迁移题，这类问题一般是考查学生的类比猜想能力、探索问题的能力.解：（1）y=x3，y=3x20.函数y=x3为减函数.故即所求闭区间为1，1.（2）（x）=3x26x9.由（x）0，得x3或x1.由（x）0，得1x3.f（x）在定义域内不是单调函数.故f（x）不是闭函数.评述：这类问题是近年高考命题的一个亮点，很能考查学生的分析问题、探索问题的潜在的能力.闯关训练夯实基础1.函数y=x48x2+2在1，3上的最大值为A.11 B.2 C.12 D.10解析：y=4x316x=4x（x24）.由y=0及x1，3知x=0或x=2.根据单调性知f（x）max=f（3）=11.答案：A2.函数f（x）=x3+ax2+bx+c，其中a、b、c为实数，当a23b0时，f（x）是A.增函数B.减函数C.常数D.既不是增函数也不是减函数解析：（x）=3x2+2ax+b，=4a212b0，f（x）是增函数.答案：A3.y=3xx3的极大值是_，极小值是_.解析：f（x）在（，1）和（1，+）上递减，在（1，1）上递增，f（1）=2为极小值，f（1）=2为极大值.答案：2 24.（2005年北京西城区模拟题）如果函数y=f（x）的导函数的图象如图所示，给出下列判断：函数y=f（x）在区间（3，）内单调递增；函数y=f（x）在区间（，3）内单调递减；函数y=f（x）在区间（4，5）内单调递增；当x=2时，函数y=f（x）有极小值；当x=时，函数y=f（x）有极大值.则上述判断中正确的是_.答案：5.如图所示，曲线段OMB是函数f（x）=x2（0x6）的图象，BAx轴于A，曲线段OMB上一点M（t，f（t）处的切线PQ交x轴于P，交线段AB于Q，（1）试用t表示切线PQ的方程；（2）试用t表示QAP的面积g（t），若函数g（t）在m，n上单调递减，试求出m的最小值.解：（1）（x）=2x，k=2t，切线PQ的方程为yt2=2t（xt），即2txyt2=0.（2）由（1）可求得P（，0），Q（6，12tt2），g（t）=SQAP=（6t）（12tt2）=t36t2+36t（0t6），g（t）=t212t+36.令g（t）0，得4t12.考虑到0t6，4t6，即g（t）的单调减区间为（4，6）.m的最小值为4.6.直线y=a与函数f（x）=x33x的图象有三个互不相同的公共点，求a的取值范围.解：先求函数f（x）的单调区间，由（x）=3x23=0，得x=1.当x1时，（x）0；当1x1时，（x）0.在（，1）和（1，+）上，f（x）=x33x是增函数；在（1，1）上，f（x）=x33x是减函数，由此可以作出f（x）=x33x的草图（如图）.由图可知，当且仅当2a0，函数f（x）=ax（x2）2（xR）有极大值32.（1）求实数a的值；（2）求函数f（x）的单调区间.解：（1）f（x）=ax（x2）2=ax34ax2+4ax，（x）=3ax28ax+4a.由（x）=0，得3ax28ax+4a=0.a0，3x28x+4=0.解得x=2或x=.a0，x2时，（x）0；x2时，（x）0）在x=1处有极值，且极大值为4，极小值为0，试确定a、b、c的值.解：已知f（x）=ax5bx3+c，所以（x）=5ax43bx2=x2（5ax23b）.根据题意（x）=0应有根x=1，故5a=3b.所以（x）=5ax2（x21）.因a0时，列表：x（，1）1（1，1）1（1，+）（x）+00+f（x）极大值极小值由上表可见 +得c=2，得b=a+2.又5a=3b，所以a=3，b=5，c=2.探究创新10.有点难度哟！（2000年全国）用总长14.8 m的钢条作一个长方体容器的框架，如果所制作容器的底面的一边比另一边长0.5 m，那么高为多少时容器的容积最大?并求出它的最大容积.解：设容器底面短边长为x m，则另一边长为（x+0.5） m，高为=3.22x（m）.由3.22x0和x0得0x1.6.设容器的容积为y m3，则有y=x（x+0.5）（3.22x）（0x1.6），整理，得y=2x3+2.2x2+1.6x.y=6x2+4.4x+1.6.令y=0，有6x2+4.4x+1.6=0，即15x211x4=0.解得x1=1或x2=（不合题意，舍去）.从而在定义域（0，1.6）内只有在x=1处使得y=0.因此，当x=1时，y取得最大值且ymax=2+2.2+1.6=1.8，这时，高为3.221=1.2.思悟小结1.（x0）=0是x0为可导函数f（x）的极值点的必要不充分条件，如函数y=x3在x=0处.2.函数f（x）在极值点不一定可导，如函数y=|x|在x=0处.3.注意极值与最值的关系，理解若只有一个极值则必为最值.4.体会数形结合、函数、方程思想在本章的运用.教师下载中心教学点睛1.导数的基本应用如下表：2.应用导数解决实际问题，关键是要建立恰当的数学模型（函数关系），如果函数在区间内只有一个点使（x）=0，此时函数在这点有极大（小）值，那么不与端点比较，也可以知道这就是最大（小）值.拓展题例【例1】 函数y=2x3+3x212x+14在3，4上的最大值为_，最小值为_.解析：y=6x2+6x12=0.x=1，2，f（3）=20，f（2）