第一轮复习数学：8.4直线与圆锥曲线的位置关系

8.4直线和圆锥曲线之间的位置关系知识梳理本节的主要内容是直线和圆锥曲线的公共点问题、相交弦问题及其综合应用。解决这些问题通常转化为由相应的方程形成的方程是否有解或有多少解的问题。对于交点弦长问题和中点弦长问题，应正确使用“不求集合”。对于涉及焦点弦的问题，我们也可以用圆锥曲线的焦点半径公式。点击双基1.交叉点(2，4)是一条直线，抛物线Y2=8x只有一个公共点。这种直线是a1 b . 2 c . 3d . 4分析：结合数字和形状，同时注意曲线上的点。回答：b2.如果双曲线C: X2-=1是已知的，并且交点P (1，1)被视为直线L，使得L和C具有并且只有一个公共点，那么满足上述条件的直线L是公共的。a1 b . 2 c . 3d . 4分析：数字和形状的组合，与渐近线平行和相切。回答：d3.如果双曲线x2-y2=1的左焦点是f，点p是左支下半支上的任何一点(不同于顶点)，直线PF斜率的变化范围是A.(-，0)B.(1，+)C.(-，0)(1，)D.(-，-1)(1，+)分析：数字和形状的组合，比较渐近线的梯度。答：c4.穿过抛物线y2=4x焦点的直线在点A和点B处与抛物线相交。如果|AB|=8已知且O为坐标原点，则OAB重心的横坐标为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _。分析：抛物线焦点f (1，0)是从问题的意义上知道的。穿过焦点f (1，0)的直线是y=k (x-1) (k 0)，a (x1，y1)，b (x2，y2)。代入抛物方程消去y，得到k2x2-2(k2 2)x k2=0) x k2=0。k20,x1 x2=，x1x2=1。| AB |=8，k2=1.OAB重心的横坐标是x=2。回答：25.如果已知(4，2)是椭圆截出的线段的中点=1，那么L的方程是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _。分析：让直线L和椭圆相交P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，将P1和P2的坐标代入椭圆方程，减去斜率k=-=-=-=-。由点斜公式得到的l方程为x2y-8=0。答案：x2y-8=0典型案例分析例1众所周知，直线L: y=tan (x 2)与椭圆x2 9y2=9相交于点A和B。如果是L的倾角，并且|AB|的长度不小于短轴的长度，则可以找到的取值范围。分析：为了确定某个变量的取值范围，我们应该试着建立一个关于这个变量的不等式。给定弦长2b已在问题中明确定义。最后，可以归结为通过计算弦长来求解不等式的问题。解：将l方程与椭圆方程结合，消去y，得到(19 tan 2 ) x236 tan 2 x 72 tan 2 -9=0。|AB|=|x2-x1|=。从|AB|2，tan2起，-tan. 的取值范围是0， 。备注：弦长公式必须掌握并灵活运用。在本主题中，由于L的方程由tan给出，因此 可以确定。否则，当涉及弦长计算时，也应讨论=的情况。深化扩张如果条件|AB|的长度不小于短轴的长度，则改变主题以找到|AB|长度的值范围。读者可能希望尝试一下。提示：|AB|=，设|AB|=y，即y=，9ytan2 y=6tan2 6，(9y-6)tan2 y-6=0。当y从 0小于y 6。当y=l垂直于x轴时，因此，|AB|的范围是，6。已知抛物线y2=-x和直线y=k(x 1)在点a和b相交。(1)验证：OAob；(2)当OAB的面积等于时，计算k值。分析：这证明OAOB可以有两个想法(如下图所示):(1)证书KOA kob=-1；(2)取AB的中点m来证明|OM|=|AB|。要求K的值，关键是用面积来建立关于K的方程。还有两种方法来求AOB的面积：(1)用SOAB=|AB|h(h为o到AB的距离)；(2)设定A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线与x轴的交点为n，并使用s oab=| ab | | y1-y2 |。请选择一种思维方式给出答案。当解一个方程组时，是否消除x或y应根据解问题的思路来决定。当然，在这里消除x是最简单的。(1)证明：下图由方程式组成x之后A和b在抛物线y2=-x上，y12=-x1,y22=-x2,y12y22=x1x2.* KoAkob=-1，OAOB.(2)求解：让直线在N处与X轴相交，显然k0。如果y=0，那么x=-1，即n (-1，0)。SOAB=SOAN SOBN=|开| | y1 | |开|y2|=|开|y1-y2|，SOAB=1=。SOAB=， k=。注释：本主题研究两条直线垂直的充要条件、三角形的面积公式、函数和方程的思想以及分析和解决问题的能力。例3在抛物线y2=4x上，总是有两个关于直线y=kx 3对称的点。求k的取值范围分析：让B和C关于直线y=kx 3对称，直线BC: X=-KyM可以很容易地得到。从B和C关于直线y=kx 3的对称性，可以得到M和K之间的关系。虽然直线BC和抛物线有两个交点， 0时，可以得到k的范围。解：让B和C关于直线y=kx 3对称，直线BC方程是X=-金莎，代入Y2=4x得到Y2 4Ky-4m=0。设B(x1，y1)，C(x2，y2)，BC中点M(x0，y0)，那么y0=-2k，x0=2k2m。点M(x0，y0)在直线l上，-2k=k(2k2+m) 3。m=-.此外，公元前和抛物线相交于两个不同的点。=16k2+16m0.将m代入归约至0，即0，解-1 k 0”。思考和讨论将直线BC设为x=-ky m。好的！如果直线BC的等式被设置为y=-x m，则该问题的计算量将增加。学生们不妨试一试。入职培训坚实的基础1.如果从双曲线x2-y2=1的右分支上的点P(a，b)到直线y=x的距离为，则b的值为A.-不列颠哥伦比亚省D.2分析：如果点P(a，b)在双曲线上，那么a2-B2=1，也就是，(ab) (a-b)=1。d=，|a-b|=2.p点在右边的分支，有一个ab，a-b=2.|a b|2=1，a b=1。回答：b2.如果已知kR、直线y-kx-1=0和椭圆=1之间有一个公共点，则实数m的取值范围为A.(0，1) B.(0，5)C.1，5)(5，)1，5)分析：直线y-kx-1=0有一个恒定的交点(0，1)。只有当点(0，1)在椭圆上或椭圆内时，直线才与椭圆有一个公共点。因此，如果1且m 0，则m1。因此，c应该被选择用于这个主题。答：c3.假设双曲线x2-=1，如果双曲线在点a和点b处作为直线与点p (2，1)相交，且p是直线的中点，则直线AB的斜率为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _。分析：将A(x1，y1)和B(x2，y2)代入双曲线方程3X2-Y2=1，减去直线AB的斜率kAB=6。回答：64.AB是抛物线y2=2px的焦点弦(p 0)。如果|AB|=1，AB中点的横坐标是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _；如果AB的倾角为，则| AB |=_ _ _ _ _ _ _ _ _ _。分析：将通过f(，0)的直线设为y=k (x-)，k0，代入抛物方程，由条件得到结果。回答：5.求通过椭圆X2 2Y2=2切点(0，2)的直线中点的轨迹方程。解：让线性方程为y=kx 2。放入x2 2y2=2，成品(2k2 1) x28kx6=0。如果直线和椭圆有两个不同的交点， 0，即k 。如果直线和椭圆的交点是A(x1，y1)，B(x2，y2)，中点坐标是C(x，y)，那么x=，y=2=。(k )，从参数方程x=，y=k的消去产生x2 2 (y-1) 2=2。和| x | =，0 y b 0)，e=， a2=4b2，即a=2b。椭圆方程是=1。将直线方程代入简化得到5x2-8x4-4b2=0。如果设置了M(x1，y1)和N(x2，y2)，则x1+x2=，x1x2=(4-4b2)。y1y2=(1-x1)(1-x2)=1-(x1+x2)+x1x2=(1-4b2)。因为OMON， x1x2 y1y2=0。获取b2=，a2=。椭圆方程是x2 y2=1。培养能力7.尝试证明从双曲线上的任何一点到它的两条渐近线的距离的乘积是常数。证明了如果P(x0，y0)是已知双曲线上的任意一点，且双曲线的渐近线为bxay=0，则P点到两条渐近线的距离的乘积为d1d2=常数。8.已知直线y=(a1) x-1和曲线y2=ax正好有一个公共点，并且获得了实际数a的值。让它只有一套解决方案。分析：联立方程y=(a 1)x-1，y2=ax，(1)当a=0时，方程正好有一组解x=1，y=0。(2)当a0时，方程简化为y2-y-1=0。如果=0，也就是说，a=-1，这些方程只有一个解。x=-1，y=-1。解决方案如果0，也就是说，a 1，让=0，得到1 4=0，得到a=-，那么方程就有x=-5，y=-2。总而言之，可以看出当a=0，-1，-直线和曲线正好有一个公共点。探索和创新9.(北京，2003)如下图所示，椭圆的长轴A1A2平行于x轴，短轴B1B2在y轴上，中心为M(0，r) (b r 0)。(1)写出椭圆方程，求出椭圆的焦点坐标和偏心率。(2)直线y=k1x的相交椭圆位于两点C(x1，y1)，D(x2，y2)(y2 0)；直线y=k2x在两点G(x3，y3)、H(x4，y4)处与椭圆相交(y4 0)。验证：=。(3)对于(2)中的c、d、g和h，在p点设置CH x轴，在q点设置GD x轴验证：|OP|=|OQ|。(验证过程不考虑CH或GD垂直于X轴的情况)(1)解：椭圆方程=1。焦点坐标是F1 (-，R)，F2(，R)，离心机e=。(2)证明：将直线CD的方程y=k1x代入椭圆方程，得到B2X2 A2 (K1x-R) 2=A2B2，(B2 A2 K12)X2-2K1 A2 RX(A2R 2-A2B 2)=0。根据维塔定理x1 x2=，x1x2=，So=.1将直线GH的方程y=k2x代入椭圆方程，我们可以用同样的方法得到=2。从到=。所以结论成立。(3)证明：点P(p，0)，点Q(q，0)。从c，p，h三个点共线，得到=，P=。Q=。From=变形-=，那是-=。所以|p|=|q|，也就是|OP|=|OQ|。思考和理解总结1.在解决直线与圆锥曲线的位置关系问题时，一元二次方程消去后，必须讨论二次项系数和判别式。有时使用图形的几何性质更方便。2.当涉及到字符串的中点时，除了vieta定理之外，还可以使用平方偏差法。但是，除非直线与圆锥相交，否则不适合使用此方法。3.当求圆锥曲线的弦长时，可以用弦长公式d=。结合维塔定理的解，焦距弦长也可以直接由焦距公式处理，这样可以简化运算。教师下载中心教学亮点1.一条直线和一条圆锥曲线是否有公共点或几个公共点的问题可以转化为由它们对应的方程形成的方程是否有解或解的个数的问题，这通常最后归结为讨论二次方程的根的情况。应该注意，当直线平行于抛物线的对称轴或双曲线的渐近线时，直线和抛物线或双曲线只有一个交点。2.直线与圆锥曲线相交弦的问题主要包括以下几个方面：相交弦的长度，以及弦长公式| ab |=| x2-x1 |；弦所在的直线方程(如中点弦、相交弦等)。)，弦中点的轨迹等。可以通过“以点代点，以设代求”的方法来解决(设置交点坐标，将交点坐标代入曲线方程，不是专门寻找坐标，而是利用坐标应满足的关系直接解决问题)。3.谈到二次曲线的焦点弦问题，我们也可以用二次曲线的焦点半径公式(即二次曲线的第二种定义)。我们应该掌握求焦点半径的方法和用焦点半径解决问题的方法。展开主题示例例1(福州模拟题2003)已知抛物线C: Y2=4 (X-1)，椭圆C1的左焦点和左准线分别与抛物线C的焦点F和准线L重合。(1)设B为椭圆C1短轴