第一轮复习数学：13.2导数的应用

13.2 导数的应用知识梳理1.利用导数研究多项式函数单调性的一般步骤.（1）求（x）.（2）确定（x）在（a，b）内符号.（3）若（x）0在（a，b）上恒成立，则f（x）在（a，b）上是增函数；若（x）0的解集与定义域的交集的对应区间为增区间；（x）0的解集与定义域的交集的对应区间为减区间.点击双基1.函数y=x2（x3）的减区间是A.（，0） B.（2，+）C.（0，2） D.（2，2）解析：y=3x26x，由y0，得0x2.答案：C2.函数f（x）=ax2b在（，0）内是减函数，则a、b应满足A.a0且bRC.a0且b0 D.a0且bR解析： （x）=2ax，x0且（x）0且bR.答案：B3.已知f（x）=（x1）2+2，g（x）=x21，则fg（x）A.在（2，0）上递增 B.在（0，2）上递增C.在（，0）上递增 D.在（0，）上递增解析：F（x）=fg（x）=x44x2+6，（x）=4x38x，令（x）0，得x，F（x）在（，0）上递增.答案：C4.在（a，b）内（x）0是f（x）在（a，b）内单调递增的_条件.解析：在（a，b）内，f（x）0，f（x）在（a，b）内单调递增.答案：充分典例剖析【例1】 设f（x）=x33ax2+2bx在x=1处有极小值1，试求a、b的值，并求出f（x）的单调区间.剖析：由已知x=1处有极小值1，点（1，1）在函数f（x）上，得方程组解之可得a、b.解： （x）=3x26ax+2b，由题意知即解之得a=，b=.此时f（x）=x3x2x，（x）=3x22x1=3（x+）（x1）.当（x）0时，x1或x，当（x）0时，x1.函数f（x）的单调增区间为（，）和（1，+），减区间为（，1）.评述：极值点、最值点这些是原函数图象上常用的点.【例2】 （2004年全国，19）已知函数f（x）=ax3+3x2x+1在R上是减函数，求实数a的取值范围.剖析：在R上为减函数，则导函数在R上恒负.解：（x）=3ax2+6x1.（1）当（x）0时，f（x）为减函数.3ax2+6x10（xR），a0时，=36+12a0，a3.a3时，（x）1，即a2时，函数f（x）在（，1）上为增函数，在（1，a1）上为减函数，在（a1，+）上为增函数.依题意，当x（1，4）时，（x）0，4a16.5a7.a的取值范围为5，7.评述：若本题是“函数f（x）在（1，4）上为减函数，在（4，+）上为增函数.”我们便知x=4两侧使函数（x）变号，因而需要讨论、探索，属于探索性问题.闯关训练夯实基础1.已知a0，函数f（x）=x3ax在1，+）上是单调增函数，则a的最大值是A.0 B.1 C.2 D.3解析：（x）=3x2a在1，+)上，（x）0恒成立，即a3x2在1，+）上恒成立，a3.答案：D2.已知函数f（x）=x44x3+10x2，则方程f（x）=0在区间1，2上的根有A.3个 B.2个C.1个 D.0个解析：（x）=4x（x23x+5）在1，2上，（x）0，f（x）在1，2上单调递增.f（x）f（1）=7.f（x）=0在1，2上无根.答案：D3.函数f（x）的导函数y=（x）的图象如下图，则函数f（x）的单调递增区间为_.解析：在1，0和2，+)上，（x）0.答案：1，0和2，+)4.若函数y=x3+bx有三个单调区间，则b的取值范围是_.解析：y=4x2+b，若y值有正、有负，则b0.答案：b05.设函数f（x）=x3ax2+3x+5（a0），求f（x）的单调区间.解：（1）（x）=3x2ax+3，判别式=a236=（a6）（a+6）.10a6时，0对xR恒成立.当0a6时，0，由（x）0x或x.（x）0x.在（，+）和（，）内单调递增，在（，）内单调递减.6.设f（x）=x32x+5.（1）求f（x）的单调区间；（2）当x1，2时，f（x）0，f（x）为增函数；在，1上（x）0，f（x）为增函数，f（x）f（2）=7.m7.培养能力7.已知函数f（x）=x3ax1.（1）若f（x）在实数集R上单调递增，求实数a的取值范围；（2）是否存在实数a，使f（x）在（1，1）上单调递减?若存在，求出a的取值范围，若不存在，请说明理由；（3）证明f（x）=x3ax1的图象不可能总在直线y=a的上方.解：（x）=3x2a，（1）3x2a0在R上恒成立，a0.又a=0时，f（x）=x31在R上单调递增，a0.（2）3x2a3x2在（1，1）上恒成立，即a3.又a=3，f（x）=x33x1，（x）=3（x21）在（1，1）上，（x）0恒成立，即f（x）在（1，1）上单调递减，a3.（3）当x=1时，f（1）=a20，得x（，0）（，+），则f（x）的单调递增区间为（，0）和（，+）.9.已知函数f（x）=2axx3，a0，若f（x）在x（0，1上是增函数，求a的取值范围.解：（x）=2a3x2在（0，1上恒为正，2a3x2，即ax2.x（0，1，x2（0，.a.当a=时也成立.a.探究创新10.有点难度哟！证明方程x33x+c=0在0，1上至多有一实根.证明：设f（x）=x33x+c，则（x）=3x23=3（x21）.当x（0，1）时，（x）0f（x）为增函数（x）0恒成立.即a.当a=时，f（x）在（，+）上单调递增.a.【例2】 求