第一轮复习数学：8.3抛物线

8.3抛物线梳理知识定义点到线性距离相等的点的轨迹方程式1.y2=聚焦于2px(p0)，f(，0)2.x2=2pi (p 0)，F(0，)特性S: y2=2px (p 0)1.范围：x0镜射：关于x轴镜射3.顶点：原点o4.离心：e=15.指南：x=-6.焦点半径P(x，y)-S，|PF|=x考虑讨论抛物线x2=2piy (p 0)的特性是什么？如何导出焦点半径公式？双击低音1.(2004年春季北京)如果抛物线y2=2px从横坐标为4的点到焦点的距离为5，则p的值为A.B.1 C.2 D.4解析：透过x=-、抛物线定义，将抛物线的准直线方程式解析为4=5、P=2。答案：c2.如果设置a0，ar，则抛物线y=4ax2的焦点坐标为A.(a，0) B.(0，a)C.(0，)取决于D. a符号分析：作为标准表达式。答案：c3.抛物线y2=2px (p 0)的焦距| |PF| |直径圆和y轴位置关系如下A.交叉b .分离C.切线d .不确定性分析：使用抛物线的定义。答案：c4.如果椭圆=1的中心为顶点，并根据椭圆的左导柱将抛物线和椭圆的右导柱相交于a，b两个点，则|AB|的值为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _。解析：中心为(0，0)，左侧导引为x=-，抛物线方程式为y2=X。椭圆右侧导引方程式为x=，联建解决方案a(，)，b(，-)。ab |=。回答：5.(2002年全国)对于原点处具有顶点的抛物线，将给出以下条件：集中在y轴上；聚焦在x轴上；抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离为6。抛物线的直径为5。从原点经过焦点的线作为垂直线，垂直脚坐标为(2，1)。使此抛物线方程式成为y2=10x的条件是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _。(必须填写相应条件的序列号)分析：抛物线方程式y2=10x可知满足条件。答案： 典型事例分析示例1求满足以下条件的抛物线的标准方程和该抛物线的次线性方程：(1)通过点(-3，2)；(2)专注于直线x-2y-4=0。分析：从方程式形式来看，寻找抛物线的标准方程式只需要确定一个待定系数p。实际分析通常需要两个条件来确定p和打开方向。否则，必须开始适当的讨论。解决方案：(1)将所需的抛物线方程式设定为y2=-2px或x2=2pi (p 0)。通过点(-3，2)、4=-2p(-3)或9=2p2。p=或p=。抛物线方程式为y2=-x或x2=y，前者的准线方程式为x=，后者的准线方程式为y=-。(2)将x=0设定为y=2，将y=0设定为x=4。抛物线的焦点为(4，0)或(0，-2)。焦点为(4，0)时=4，p=8，此时抛物线方程式y2=16x；如果焦点为(0，-2)，则=2，p=4，此时抛物线方程式为x2=-8y。所需抛物线的方程式为y2=16x或x2=-8y，其准线方程式分别为x=-4和y=2。意见：这里容易犯的错误是对开放方向的讨论不足，是先入为主，设定一种形式的标准方程，然后解决，使韩解丧失。如下图所示，直线L1和L2与点m，L1L2，点n如果AMN是锐角三角形，则|AM|=、|AN|=3和|NB|=6会建立适当的座标系，以取得曲线段c的方程式。解析：曲线段是抛物线的一部分，要找到曲线方程，必须设置相应的正交坐标系，设置抛物线方程，根据条件求出待定系数，然后标注x，y值范围。解决方案：以直线L1作为x轴，以线段MN的垂直平分线作为y轴创建笛卡尔坐标系。根据条件，曲线段c是抛物线的一个线段，重点放在点n上，使用L2作为导向。其中a和b分别是曲线段c的终点。将曲线段c的方程式设定为y2=2px(P0)(xAxxB，y0)。其中xA，xB是a，b的横坐标，p=|MN|，所以m (-，0)，n(，0)。开始|AM|=，|AN|=3(xA )2 2pxA=17，(xa-xA-)2 2pxA=9。 xA=，P0代替表达式；或者可以解开P=4，p=2，XA=1 xA=2。AMN因为尖锐的三角形，所以xA .所以所以扔掉吧P=2，P=4，XA=2。xA=1。如果点b位于曲线段c上，则XB=| bn |-=4。总之，曲线段c的方程式为y2=8x(1x4，y0)。意见：这个问题反映了坐标法的基本思想，审查了用定义法、待定系数法求曲线方程的步骤，综合检验了学生的问题分析和问题解决能力。示例3将抛物线y2=2px(p0)的焦点设置为f，通过点f的直线相交抛物线位于抛物线的直线上，BC/x轴证明线性AC通过原点o。分析：认证直线AC与o，a，c的3点共线，为此，只需证明kOC=kOA即可。这个问题也可以通过结合图形特征，利用抛物线的几何特性和平面几何知识来解决。卡1: ab: x=my，y2=2px，y2-2 pmy-p2=0。根据吠陀定理，雅妍=-p2，也就是Yb=-。BCx轴，c在准线x=-，c (-，yB)。KOC=kOA。因此，直线AC通过原点o。证据2:如下图所示，基准l和x轴的交点为e，a为ad l，垂直为d。ad EF BC。如果连接交流交点位于点n，则=，=。af |=| ad |，|BF|=|BC|，en |=| nf |，n是EF的中点。点n与点o重合，因此直线AC通过原点o。观点：这个问题的“形象味道”特别浓，给这个主题注入了活力。在分析思想涉及很多的证据中，核心是得到一个重要的结论：yayan=-p2。也有充分利用平面几何知识的证据，这也唤起了很多教师和学生对圆锥曲线几何特性的注意，只有这样才能挖掘出丰富多彩的分析几何的主题。考虑讨论这个问题也可以用平面向量证明读者可以尝试。冲破关卡，接受训练打下基础1.(2003学年高考的新过程)为A0，f(x)=ax2 bx c，曲线y=f(x)在点P(x0，f(x0)处切线的倾斜角范围为0，A.0， B. 0，C.0，| D. 0，| |分析：tanalia=k=f (x)=2ax b，02ax0b1。0x00。答案：b2.(2004年全国，8)如果设定了抛物线y2=8x的准直线和x轴与点q相交，则通过点q的直线l和抛物线具有公共点时，直线l的坡率的值范围为A.-， B. -2，2C.-1，1 D. -4，4解析：y2=8x，q(-2，0) (q是准线与x轴线的交点)，设定q点的线l方程式为y=k(x 2)。l抛物线有一个公共点有解决方案，方程Y2=8x，Y=k(x 8)解释为K2 x2 (4k2-8) 4k2=0。=(4k2-8) 2-16k4 0，k21。1k1。答案：c3.(2003年春季上海)直线y=x-1表示抛物线y2=4x剖切线段的中点坐标为_ _ _ _ _ _ _ _ _。分析：用抛物线y2=4x清理y=x-1为x2-y=x-1=0。由beda定理确定，x1 x2=6，=3，=2。点的坐标为(3，2)。答案：(3，2)4.寻找抛物线y=4x2到直线y=4x-5之间距离最短的点。点的坐标为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _。解决方案1:如果y=平行于4x-5的线y=4x b和y=4x2相切，则y=4x b为y=4x2，4x2-4x-b=0。=16b=0点b=-1，替代 x=，所需的点是(，1)。解决方案2:将点坐标设定为A(x0，y0)，y0=4x02。如果将点a到直线y=4x-5的距离设定为dD=|-4 x02 4x0-5 |=| 4 x02-4x0 5 |=| 4 (x0-) 2 1 |。仅当X0=时，d才有最小值。X0=替代y=4x 2 y0=1。因此，点a坐标为(，1)。答案： (，1)5.下图所示在笛卡尔坐标系中移动的对象将通过点A(0，9)，其轨迹表达式为y=ax2c (a 0)，D=(6，7)是x轴上的给定部分。(1)要使对象在d内下落，请获取a的值范围。(2)在物体移动的过程中，通过点P(2，8.1)，询问是否会落在d上。说明原因。解法：(1)用y=ax2 c死c=9取代点a的座标(0，9)，则移动物件的轨迹方程式为y=ax2 9。Y=0、ax2 9=0、x2=-。如果物体落在d内，则为6 7，解决方案-a -。(2)移动的物体再次通过点P(2，8.1)，8.1=4a 9，a=-，875- 0，p是抛物线的一点，并求| pa |=d，d的最小值。解决方案：如果设置P(x0，y0)(x00)，则y02=2x0，d=| pa |=。a 0，x00，0 a 0，如果X0=0，Dmin=a=a(2) a1时1-a0，如果X0=a-1，Dmin=。8.抛物线y2=2px (p 0)焦点f的弦AB，点a，b在抛物线直线上的投影为A1，B1，A1FB1。解决方案：抛物线定义和平行线特性已知；a1f B1=180-(AFA 1BF B1)=180-(180-a1af)-(180-b1bf)=(a1afb1bf)=90。探索创新9.(2003年春天北京)移动过定点p (1，0)的圆已知，与固定线l: x=-1相切，点c在l。(1)求圆心的轨道m的方程；(2)设定了点p且坡率为-的直线在曲线m和a，b两点相交。问题ABC可以是正三角形吗？如果可能，请获取点c的坐标。如果不是，请说明原因。当ABC是钝角三角形时求点c的纵座标值范围。解法：(1)依问题，曲线m专注于点p，直线l为准直线的抛物线，因此曲线m的方程式为y2=4x，如下图所示。(2)在问题中，直线AB的方程是Y=-(x-1)。删除y，3x2-10x3=0。原因Y=-(x-1)、Y2=4x，a(，)、B(3，-2)、如果ABC可以是正三角形，如果设置C (-1，y)，则|AC|=|AB|=|BC|，(1) 2 (-y) 2=(3-) 2 (2) 2，(3 1) 2 (2 y) 2=(3-) 2 (2) 2。Y=-。但是y=-不一致(1)，所以构造的方程不能解。因此，直线l没有点c，所以ABC是正三角形。设定c (-1，y)ABC为钝角三角形Y=2，Y=-(x-1)、X=-1，如果点c的坐标为(-1，2)，则a，b，c共线，因此y2。此外，| AC | 2=(-1-) 2 (y-) 2=-y2，|BC|2=(3 1)2 (y 2)2=28 4y y2，|AB时| BC | 2 | AC | 2 | ab | 2，28 4y y2 -y y2，如果选择y ，&CAB是钝角。时| AC | 2 | BC | 2 | ab | 2，也就是说- y y228 4y y2，y | AC | 2 | BC | 2，也就是说-y2 28 4yy2，即Y2 y 0，(y) 2 0。不平等没有解决方案，ACB不能是钝角。因此，如果ABC是钝角三角形，则点c的纵坐标y的范围为Y (y 2)。启蒙摘要本节的主要内容是抛物线的定义、方程式和几何性质。解决本节中的问题时，请注意以下事项：1.求抛物线方程式时，如果已知曲线是抛物线，则通常使用待定系数方法。如果通过已知条件知道曲线的移动点的规律，一般使用轨迹方法。2.处理抛物线的弦长、弦的