山东高三数学模拟训练试卷文

山东省2019届高三数学4月模拟训练试卷 文（含解析）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合，则 ( )A. B. C. 或D. 【答案】B【解析】分析：根据不等式，求解出集合，再利用集合的交集运算，即可求解.详解：由题意或，所以 ，故选B.点睛：本题主要考查了集合的交集运算，其中正确的求解集合是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.2.若复数，其中为虚数单位，则下列结论正确的是( )A.的虚部为B. C. 为纯虚数D.的共轭复数为【答案】C【解析】【分析】先得到复数的代数形式，然后根据复数的有关概念对给出的四个结论分别进行分析、判断后可得正确的结论【详解】由题意得z=21+i=2(1i)(1+i)(1i)=1i对于A，由z=1i得复数的虚部为1，所以A不正确对于B，|z|=|1i|=2，所以B不正确对于C，由于z2=(1i)2=2i，所以z2为纯虚数，所以C正确对于D，z=1i的共轭复数为z=1+i，所以D不正确故选C【点睛】本题考查复数的有关概念，解题的关键是得到复数的代数形式和熟悉复数的相关概念，属于基础题3.已知函数f(x)=log2x,1x2, 0x1x1，则f(f(2)=（ ）A. 2B. 2C. 1D. 1【答案】B【解析】【分析】先计算出f(2)的值，即可求出结果.【详解】因为f(x)=log2x,1x2, 0x1x1，所以f2=140”是“a2+a0”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】解不等式a2+a0得a0，然后根据集合间的包含关系进行判断即可得到结论【详解】解不等式a2+a0得a0(0,+)(,1)(0,+)，“a0”是“a2+a0”的充分不必要条件故选A【点睛】判断充分条件、必要条件的方法有三种：（1）根据定义进行判断；（2）根据集合间的包含关系进行判断；（3）对于含有否定性词语的命题可从它的等价命题进行判断解题时要灵活选择方法进行求解，属于基础题6.如图，在矩形区域中，且在两点处各有一个通信基站，假设其信号的覆盖范围分别是扇形区域和扇形区域（该矩形区域内无其他信号来源，基站工作正常）.若在该矩形区域内随机选一地点，则该地点无信号的概率是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由条件求出扇形区域和扇形区域的面积，然后根据面积型的几何概型概率求解即可的到所求结果【详解】由条件得扇形区域和扇形区域的面积均为，又矩形区域的面积为，根据几何概型概率公式可得所求概率为，即在该矩形区域内随机选一地点，则该地点无信号的概率是14故选C【点睛】本题考查面积型的几何概型概率的求法，解题的关键是根据题意得到表示基本事件的区域的面积，属于基础题7.某城市收集并整理了该市2017年1月份至10月份每月最低气温与最高气温(单位：C)的数据，绘制了的折线图，已知该市每月的最低气温与当月的最高气温两变量具有较好的线性关系，则根据该折线图，下列结论错误的是( ) A. 每月的最低气温与当月的最高气温两变量为正相关B. 10月份的最高气温不低于5月份的最高气温C. 月温差(最高气温减最低气温)的最大值出现在1月份D. 最低气温低于0C的月份有4个【答案】D【解析】由图可以看出，当最低气温较大时，最高气温也较大，故A正确；10月份的最高气温大于20C，而5月份的最高气温为不超过20C，故B正确；从各月的温差看，1月份的温差最大，故C正确；而最低气温低于0C的月份是1，2，4三月份，故D错，选D.8.如图正方体ABCDA1B1C1D1，点M为线段BB1的中点，现用一个过点M,C,D的平面去截正方体，得到上下两部分，用如图的角度去观察上半部分几何体，所得的左视图为（）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】画出几何体的直观图，然后判断侧视图即可【详解】上半部分的几何体如图：由此几何体可知，所得的侧视图为故选：B【点睛】思考三视图还原空间几何体首先应深刻理解三视图之间的关系，遵循“长对正，高平齐，宽相等”的基本原则，其内涵为正视图的高是几何体的高，长是几何体的长；俯视图的长是几何体的长，宽是几何体的宽；侧视图的高是几何体的高，宽是几何体的宽.由三视图画出直观图的步骤和思考方法：1、首先看俯视图，根据俯视图画出几何体地面的直观图；2、观察正视图和侧视图找到几何体前、后、左、右的高度；3、画出整体，然后再根据三视图进行调整.9.若ea+beb+a,e为自然对数底数，则有（ ）A. a+b0B. ab0C. ab0D. a+b0【答案】D【解析】【分析】构造函数fx=ex-x，得出函数fx的单调性，根据ea+be-b-a，即可得出结果.【详解】令fx=ex-x，则fx在R上单调递增，又ea+be-b+-a，所以ea-ae-b-b，解faf-b，所以a-b，即a+b0.故选D【点睛】本题主要考查不等式，可借助函数的单调性比较大小，属于基础题型.10.在ABC中，角A,B,C所对的边长分别为a,b,c，若sinA,sinB,sinC成等比数列，且c=2a，则cosB的值 （ ）A. 14B. 34C. 24D. 23【答案】B【解析】【分析】由sinA,sinB,sinC成等比数列得sin2B=sinAsinC，故得b2=ac，再根据c=2a可得b=2a，然后根据余弦定理求解即可得到所求【详解】sinA,sinB,sinC成等比数列，sin2B=sinAsinC，由正弦定理得b2=ac又c=2a，b2=2a2，故得b=2acosB=a2+c2b22ac=a2+(2a)2(2a)22a(2a)=34故选B【点睛】本题考查余弦定理的应用，解题的关键是根据题意得到三角形中三边间的关系，并用统一的参数表示，属于基础题11.已知函数f(x)=x4+9x+1,x(0,4)，当x=a时，fx取得最小值b，则函数gx=ax+b的图象为( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】先根据基本不等式求出a，b的值，再结合指数函数的性质及函数的图象的平移可求.【详解】x（0，4），x+11f（x）x4+9x+1=x+1+9x+1-529x+1(x+1)-51，当且仅当x2时取等号，此时函数有最小值1，a2，b1，,排除BC.此时g（x）2|x+1|=2x+1，x-1(12)x+1，x-1，此函数可以看成函数y=2x，x0(12)x，x0的图象向左平移1个单位结合指数函数的图象及选项可知A正确故选：A【点睛】本题主要考察了基本不等式在求解函数的最值中的应用，指数函数的图象及函数的平移的应用是解答本题的关键。12.已知函数fx=cos2+x,x0ex1,x0,e为自然对数底数，若fxax1恒成立，则实数a的取值范围是（ ）A. 0,+)B. 0,eC. 0,1D. e,+)【答案】B【解析】【分析】由题意，f(x)ax-1恒成立，等价于直线y=ax1始终落在函数y=f(x)图象的下方，即直线夹在y=ex-1过点(0,-1)的切线与直线y=1之间，从而将问题转化为求切线斜率.【详解】由题意可以作出函数y=f(x)与y=ax-1的图象，如图所示若不等式f(x)ax-1恒成立，必有0ak，其中k是y=ex-1过点(0,-1)的切线斜率设切点为(x0,ex0-1)，因为y=ex，所以k=ex0=(ex0-1)-(-1)x0-0，解得x0=1，所以k=e，故0ae【点睛】该题考查利用导数研究函数的单调性和恒成立问题，考查创新意识和推理论证能力.第卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.若双曲线x29y216=1上一点P到右焦点的距离为4，则点P到左焦点的距离是_【答案】10【解析】【分析】根据双曲线的定义求解即可得到所求距离【详解】设双曲线的左右焦点分别为F1,F2，由题意得|PF2|=4当点P在双曲线的左支上时，则有|PF2|PF1|=6，不合题意当点P在双曲线的右支上时，则有|PF1|PF2|=6，所以|PF1|=|PF2|+6=10，符合题意故答案为：10【点睛】在运用双曲线的定义解题时，要注意点在双曲线的哪一支上，当点的位置不定时要分两种情况分别求解，属于基础题14.如图，在ABC中，AB=BC=4,ABC=30,AD是边BC上的高，则ADAC的值等于_【答案】4【解析】【分析】根据解三角形的知识可得AD=ABsin30=2，然后再根据ADAC=AD(AB+BC)求解可得所求结果【详解】在ABC中，AB=4,ABC=30,AD是边BC上的高，AD=ABsin30=412=2ADAC=AD(AB+BC)=ADAB+ADBC=ADAB=24cos60=4故答案为：4【点睛】解答本题的关键是挖掘题中的隐含条件，即ADBC，由此可进行转化，进而得到所求的数量积，考查变换能力，属于基础题15.已知角的顶点为坐标原点，始边为x轴的非负半轴，若P3,m是角终边上的一点，且sin=1010，设n=tan+4，则m2+n2=_【答案】712【解析】【分析】由题意先求出m的值，进而得到tan的值，再求出n的值，进而可得答案【详解】由题意得m0，且sin=m3+m2=1010，解得m=33tan=m3=13，tan+4=tan+11tan=13+11(13)=12，即n=12m2+n2=(33)2+(12)2=712故答案为：712【点睛】本题考查三角函数的定义及两角和的正切公式，考查公式的变形和计算能力，属于基础题16.已知x,y满足约束条件0x20y23yx2，如果2,43是z=axy取得最大值时的最优解，则实数a的取值范围是_【答案】13,+)【解析】【分析】画出不等式组表示的可行域，然后结合图形和最优解得到所求的范围【详解】画出不等式组表示的平面区域，如图阴影部分所示由z=axy得y=axz，故直线y=axz在y轴上的截距最小时取得最大值又点2,43是z=ax-y取得最大值时的最优解，结合图形可得直线y=axz的斜率需满足a13，所以实数a的取值范围是13,+)故答案为：13,+)【点睛】线性规划中参数问题，就是已知目标函数的最值或其他限制条件，求约束条件或目标函数中所含参数的值或取值范围的问题解决这类问题时，首先要注意对参数取值的讨论，将各种情况下的可行域画出来，以确定是否符合题意，然后在符合题意的可行域里，寻求最优解，从而确定参数的值三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.已知数列an,bn满足：an+1+1=2an+n,bnan=n,b1=2.（1）证明数列bn是等比数列，并求数列bn的通项；（2）求数列an的前n项和Sn.【答案】（1）见证明；（2）Sn =2n+12n2+n2【解析】【分析】（1）由an+1=2an+n-1变形得an+1+(n+1)=2an+n，即bn+1=2bn，从而可证得结论成立，进而可求出通项公式；（2）由（1）及条件可求出an=2n-n，然后根据分组求和法可得Sn【详解】（1）证明：因为bn-an=n，所以bn=an+n因为an+1=2an+n-1所以an+1+(n+1)=2an+n所以bn+1=2bn又b1=2，所以bn是首项为b1=2，公比为2的等比数列，所以bn=22n-1=2n（2）解：由（1）可得an=bn-n=2n-n，所以Sn=21+22+23+2n -1+2+3+n=21-2n1-2+n1+n2=2n+1-2-n2+n2【点睛】证明数列bn为等比数列时，在得到bn+1=2bn后，不要忘了说明数列中没有零项这一步骤另外，对于数列的求和问题，解题时要根据通项公式的特点选择合适的方法进行求解，属于基础题18.如图所示，四棱锥PABCD中，PA底面ABCD,PA=2,ABC=90, AB=3,BC=1,AD=23, CD=4,E为CD的中点. （1）求证：AE/平面PBC；（2）求三棱锥CPBE的体积.【答案】（1）见证明；（2）33【解析】【分析】（1）根据条件先证明ACD是直角三角形，然后再证明ACE是等边三角形，进而可得CAE=BCA，于是BC/AE，再根据线面平行的判定定理可得结论成立；（2）由题意可得PA为三棱锥P-BCE的高，再求出SBCE=32，然后根据VC-PBE=VP-BCE即可得到结果【详解】（1）证明：AB=3,BC=1,ABC=90，AC=2,BAC=60在ACD中，AD=23,AC=2,CD=4,AC2+AD2=CD2，ACD是直角三角形又E为CD的中点，AE=12CD=CE=2，ACE是等边三角形，ACD=60，CAE=60=BCA，BC/AE又AE平面PBC,BC平面PBC，AE/平面PBC（2）解：PA底面ABCD，PA底面BCE，PA为三棱锥P-BCE的高BCA=60,ACD=60，BCE=120又BC=1,CE=2,SBCE= 12BCCEsinBCE =121232=32，VC-PBE=VP-BCE=13SBCEPA =13322=33【点睛】本题考查空间中线面关系的证明和三棱锥体积的求法，是立体几何中的常规题型，求三棱锥的体积时常用的方法是等积法，即将所求椎体的体积转化为容易求解的同体积的三棱锥的体积求解19.随着移动互联网的发展，与餐饮美食相关的手机软件层出不穷，现从某市使用和两款订餐软件的商家中分别随机抽取100个商家，对它们的“平均送达时间”进行统计，得到频率分布直方图如下：(1)已知抽取的100个使用未订餐软件的商家中，甲商家的“平均送达时间”为18分钟，现从使用A未订餐软件的商家中“平均送达时间”不超过20分钟的商家中随机抽取3个商家进行市场调研，求甲商家被抽到的概率；(2)试估计该市使用款订餐软件的商家的“平均送达时间”的众数及平均数；(3)如果以“平均送达时间”的平均数作为决策依据，从和两款订餐软件中选择一款订餐，你会选择哪款？【答案】（1）12； （2）40； （3）选B款订餐软件.【解析】【分析】运用列举法给出所有情况，求出结果由众数结合题意求出平均数分别计算出使用A款订餐、使用B款订餐的平均数进行比较，从而判定【详解】（1）使用A款订餐软件的商家中“平均送达时间”不超过20分钟的商家共有1000.00610=6个，分别记为甲，a,b,c,d,e,从中随机抽取3个商家的情况如下：共20种. 甲，a,b,甲，a,c,甲，a,d,甲，a,e,甲，b,c,甲，b,d,甲，b,e,甲，c,d甲，c,e,甲，d,e,a,b,c,a,b,d,a,b,e,a,c,d,a,c,e,a,d,e,b,c,d,b,c,e,b,d,e,c,d,e.甲商家被抽到的情况如下：共10种。甲，a,b,甲，a,c,甲，a,d,甲，a,e,甲，b,c,甲，b,d,甲，b,e,甲，c,d,甲，c,e,甲，d,e记事件A为甲商家被抽到，则P(A)=1020=12.（2）依题意可得，使用A款订餐软件的商家中“平均送达时间”的众数为55，平均数为150.06+250.34+350.12+450.04+550.4+650.04=40.（3）使用B款订餐软件的商家中“平均送达时间”的平均数为150.04+250.2+350.56+450.14+550.04+650.02=35b0的左、右焦点分别为F11,0,F21,0，且椭圆上存在一点M，满足MF1=145,F1F2M=120.（1）求椭圆C的标准方程；（2）过椭圆C右焦点F2的直线与椭圆C交于不同的两点A,B，求F1AB的内切圆的半径的最大值.【答案】（1）x24+y23=1；（2）34【解析】【分析】（1）利用余弦定理和椭圆的定义即可求出a，再根据b2a2c23，可得椭圆的方程;（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），设F1AB的内切圆的半径为R，表示出F1AB的周长与面积，设直线l的方程为xmy+1，联立直线与椭圆方程，利用韦达定理，表示三角形面积，令t=m2+1，利用函数的单调性求解面积的最大值，然后求解F1AB内切圆半径的最大值为34【详解】（1）设F2M=x，则F1F2M内，由余弦定理得22+x2-22xcos120=1452，化简得x+165x-65=0，解得x=65故2a=MF1+MF2=4,a=2，得b2=a2-c2=3所以椭圆C的标准方程为x24+y23=1（2）设Ax1,y1,Bx2,y2，设F1AB得内切圆半径为F1AB的周长为AF1+AF2+BF1+BF2=4a=8所以SF1AB=124ar=4r根据题意知，直线的斜率不为零，可设直线的方程为x=my+1由x24+y23x=my+1得3m2+4y2+6my-9=0=6m2+363m2+4y20,mR由韦达定理得y1+y2=-6m3m2+4,y1y2=-93m2+4SF1AB=12F1F2y1-y2=y1-y2 =y1+y22-4y1y2=12m2+13m2+4令t=m2+1，则t1,SF1AB=12t3t2+1=4t+13t令ft=t+13t，则t1时，ft=1-13t20,ft单调递增，ftf1=43,SF1AB3即当t=1,m=0时，SF1AB的最大值为3，此时rmax=34.故当直线的方程为x=1时，F1AB内圆半径的最大值为34.【点睛】本题主要考查直线与圆锥曲线位置关系，所使用方法为韦达定理法：因直线的方程是一次的，圆锥曲线的方程是二次的，故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题，最终转化为一元二次方程问题，故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一，尤其是弦中点问题，弦长问题，可用韦达定理直接解决，但应注意不要忽视判别式的作用21.设函数fx=1a2x2+axlnxaR（1）当a=1时，求函数fx的极值；（2）若对任意a4,5及任意x1,x21,2，恒有a12m+ln2fx1fx2成立，求实数m的取值范围.【答案】(1) f(x)极小值=1，无极大值. (2) m115【解析】【分析】（1）求出导函数，根据导函数的符号判断出单调性，然后可得极值；（2）先根据条件判断出fx在区间1,2上单调递减，进而得到fx1-fx2的最大值为a2-32+ln2，所以问题转化为a-12m+ln2a2-32+ln2，解得ma-3a-1，然后求出a-3a-1的范围后可得实数m的取值范围【详解】（1）当a=1时，fx=x-lnx，定义域为0,+，fx=1-1x=x-1x，当0x1时，fx1时，fx0,fx单调递增当x=1时，函数fx取得极小值，且极小值为f1=1，无极大值（2）fx=1-a2x2+ax-lnx(x0)，fx=1-ax+a-1x =1-ax2