第二轮第17讲导数应用的题型与方法

谈第十七次导数应用的问题类型和方法一、主题综述微分系数是微积分的初步知识，是研究函数、解决实际问题的有力工具。 高中阶段导数的学习主要有以下几点：1 .导数的一般问题：(1)描绘函数(比初等方法更细) (2)与几何学中的切线相关联(导数法可用于研究平面曲线的切线)。 (3)应用问题(初等方法的技术要求高，导数方法看起来简便)等，涉及次多项式的导数问题是很难的类型。2 .关于函数的特征，值问题最多，需要特别研究，导数法求值最容易比初等方法简单。3 .导数与解析几何或函数图像的混合问题是重要类型，也是高考考察综合能力的方向，值得注意。二、知识整合1 .对导数概念的理解2 .利用导数判别导数极值的方法及求若干实际问题的最大值和最小值复合函数的求导规律是微积分的重点和难点内容。 教科书首先通过实例，引出了复合函数的求导规律，然后证明了规律。3 .寻求正确指导，必须实现以下两点：(1)熟悉各基本初等函数的求导式和和、差、积、商的求导则、复合函数的求导则。(2)对于一个复合函数，必须理解中间的复合关系，明确各分解函数中对应哪个变量。4 .确定复合函数的导数通常采用以下三个步骤(1)适当选定中间变量，正确分解复合关系(2)分阶段求出诱导(明确各阶段的诱导对哪个变量诱导哪个变量) (3)将中间变量代入原来的参数(通常是x )的函数。即，首先选定中间变量，分解复合关系，说明函数关系y=f()、=f(x )，然后，将已知的函数导出到中间变量，最后求出中间变量导出到参数，将中间变量代入参数中的函数。 整个过程可以简单地描述为分析求的后代。 熟练后，可以省略中间过程。 在多重复合的情况下，中间变量可以被相应地使用多次。三、例题分析例1 .能够到处引导的情况构想：到处可以引导，一定是连续的2220例2 .已知2.f(x )能够以x=a导电，以f(a)=b求出以下界限(1) (2)分析：在导数的定义中，x的形式是多种多样的，但无论x选择了哪种形式，y都必须选择对应的形式。 函数f(x )可通过利用导出在何处的条件将诸如给定极限公式常数的变型转换成导出函数中定义的结构形式。解： (1)(2)说明：只有深入理解概念的本质，才能活用概念解题。 解决这种问题的关键是等价变形，将极限式转换为导数定义的构造形式。例3 .观察，可否判断，可导性奇函数的导数是偶函数，可导性偶函数的导数是奇函数。解：偶发函数指令时可导出的偶函数的导数是奇函数另一个证书：可导出的偶函数的导数是奇函数例4.(1)求出点(1，1 )处曲线的切线方程式(2)运动曲线方程式是求出t=3时的速度。分析：从导数的几何意义和导数的物理意义来看，函数y=f(x )的导数是曲线y=f(x )的切线斜率。 瞬时速度是位移函数S(t )相对于时间的导数。解： (1)点(1，1 )处曲线切线斜率k=0因此，曲线的(1，1 )处的切线方程式为y=1(2)的双曲馀弦值。例5 .求下一个函数的单调区间(1) (2)(3) (4)解： (1)时(2)(3)22202222222卡卡卡卡卡卡卡卡卡(4)定义域为例6 .求证的以下不等式(1)(2)(3)证书： (1)为上8756； 恒成立22202222222222卡卡卡卡卡卡卡卡(2)原式令222222220(三)令22202220示例7 .使用导数的总和：(1)(2)。分析：这两个问题可以分别利用相位偏移的减法和二项式定理来解决。 通过转换思维角度，求出公式，可以联想到这是另一个和式的导数，利用导数运算可以使问题的解决更加简单。解： (1)x=1时灬x1时222222222222卡卡卡卡卡卡两者都是关于x的函数，求得导出即，即(2) 2222222222222222222222两者都是关于x的函数，求得导出。设x=1，也就是说。例8 .求函数的单调区间分析：本小题主要考察导数的概念和计算，用导数研究函数性质的方法和推理和运算能力解：当时(I )当时，一切都有即，此时在内部单调地增加.(ii )当时，有即，此时可知在(0，1 )内单调增加，且函数以x=1连续函数在(0)内单调递增(iii )当时，令，即能解开因此，函数在区间内单调增加，在区间内内容也单调增加命令，解除因此，函数在区间内单调地减少.例9 .已知抛物线与直线y=x 2在a、b两点相交，通过a、b两点的切线分别为和。(1)求出a、b两点的坐标(2)求出与直线的角度。分析：理解导数的几何意义是解决本例的关键。解(1)由方程式构成解答a (-2，0 )，b (3，5 )(2)如果y=2x。 若设两直线角度为，则根据两直线的角度式所以呢说明：在本例中，直线与抛物线的交点处的切线是该点处的抛物线的切线。 请注意，两条直线的角度表达式有一个绝对值符号。例10.(2001年天津卷)是以上的偶函数。(I )证明求得的值(II )以上为增函数；解： (I )依题意，对一切，即一切成立这样得到的是444444444444444444444444(II )证明：由、得当时有。 此时。 以上是增加函数。四、04年高考导数应用题型集锦1.(全国卷10 )函数y=xcosx-sinx