第六章算术平均数与几何平均数教案示例二人教

第六章 算术平均数与几何平均数教案示例二http:/www.DearEDU.com知识点拨1.两个正数的算术平均数与几何平均数的定理及变形公式.(1)若a,b,R+，则(当且仅当ab时取“”号，下同)(2)若a,b,R+，则a+b2(3)若a,b,R+，则ab()2(4)若a,b,R+，则a+2(5)若a,b同号，则+2(6)若a,b,R+，则2.推广公式(1)若a,b,cR+，则a3+b3+c33abc(2)若a,b,cR+，则(3)若a1,a2，anR+，(n2 nN)则(4)若a,b,cR，则a2+b2+c2ab+bc+ca疑难解析：例1 已知a,bR+，且a+2b1，求+的最小值.解法一： a+2b1 (+)(a+2b)(+)224. +的最小值为4.这种解法中，因等号成立的条件是a2b和ab同时成立，但这不可能，故解法一错误.解法二： a+2b1 +(a+2b)(a+)+(2b+)2+22+2 +1+2 +的最小值是1+2这种解法中，因等号成立的条件是a,2b同时成立，此时a1,b.显然它不符合已知条件a+2b1，故解法二错误.解法三： a+2b1 a1-2b0 + b(1-2b)2b(1-2b)()2当且仅当2b1-2b 即b时等号成立. b时，+取最小值6.这种解法中，虽然b时，b(1-2b)取最大值，但此时分子1-b并非取最小值.所以也不能取得最小值，故解法三错误.解法四：在解法三中，令y则 2yb2-(y+1)b+10由 0得(y+1)2-8y0即 y3+2或y3-2 y无最小值.这是用到判别式法求最值，但题设条件b的取值范围有限制条件0b0符合题目条件，故解法五正确.从上面的几种解法中我们可以看到，运用均值定理求最值时一定要注意等号成立的条件，看它是否存在或符合题目条件.若两次运用均值定理要看两次等号成立的条件是否一致，如果两次取等号的条件互相矛盾或不符合题目条件，则结论错误，如上面解法一，解法二.运用均值定理求最值时要注意含变量的和(或积)是否是常数，如果不是常数就不能用均值定理求最值.如上面的解法三.例2 求函数y的最小值.分析：如果直接运用均值定理得：y+2 但y2并不是它的最小值，因为等号成立的条件是+即x2-3没有意义.解：y+-4-这里进行了两次放，且都是在x0时取“”号，所以ymin.注：此题也可运用函数的单调性求解.典例精评例1 设a0且a1，t0，比较logat与loga的大小.解： loga-logatloga t0 t+12 1(1)当0a1时，logaloga10 logalogat.例2 求yx2(1-3x) (0x3时，求y的最小值.分析：将表达式变形使其各项的积是一常数.解： x3 x-30 y 2(x-3)+ +122+1224当且仅当2(x-3) 即 x6时等号成立. x6时，ymin24.例4 已知a,b,cR+，求证+.分析一：左边三个分式的分母是多项式，不能通分运算，又考虑到a,b,c的对称性.可作和式代换，将分母化为单项式，然后运用公式推论.证明：令a+bx b+cy c+az (其中x、y、zR+)则 aa+b+c-(b+c)-y同理 b c 左边+-1+( -1)+( -1)（）+（）+（）-3 (2+2+2-3)当且仅当xyz即abc时等号成立.分析二：将不等式左边变形运用公式推论.证明： +（ +1）+(-3(a+b+c)()-3(a+b)+(b+c)+(c+a)()-33 3-333-3例5 求证logn(n+1)log(n+1)(n+2) (n1)分析一：利用换底公式，将不等式右边换成以n为底，则：logn(n+1) 即 logn(n+1)2logn(n+2) 1+logn(n+1)22logn(n+1) logn(n+1)2 logn(n2+2n+1)logn(n2+2n) 1+logn(n+2) 原不等式成立.分析二：利用换底公式，将不等式两边都换成以10为底，则即 lg(n+1)2lgnlg(n+2) lgnlg(n+2)2 2.于是可在不等式两边减1推证： lognn+1-1lognlognlog(n+1) log(n+1)(n+2)-1 原不等式得证.例1 已知xy0,xy1,求证2.分析 考虑到分母为x-y，可将分子也转化为x-y的形式.证明： xy0 x-y0 (x-y)+2当且仅当x-y时等号成立.例2 一般由甲地逆水匀速行驶至乙地，甲乙两地相距s(千米)，水速为常量p(千米/时)，船在静水中的最大速度为q(千米/时)(qp)，已知船每小时的燃料费用(以元为单位)与船在水中速度v(千米/时)的平方成正比，比例系数为k.(1)把全程燃料费用y(元)表示为静水中速度v(千米/时)的函数，并指出这个函数的定义域.(2)为了使全程燃料费用最少，船的实际前进速度应为多少?解：(1)依题意，船由甲地行驶到乙地所用的时间为. ykv2 v(p,q)(2)y ksks(v-p)+ +2pks2p+2p4ksp当且仅当v-p即v2p时等号成立.若2pq，则当v2p时，全程燃料费用最小.若2pq，当0(p,q)时，有ks-ks-ks p0 q-p0 q-v0pq+pv-qvpv+pv-qv(2p-q)v0 ks0 当且仅当vq时等号成立. vq时，全程燃料费用最少.由上知，当2pq时，船的实际行驶速度为p，当2pq时，船的实际行驶速度为q-p.例 某工厂有旧墙一面长14米，现准备利用这面旧墙建造平面图形为矩形，面积为126米2的厂房，工程条件是：建一米新墙费用为a元，修一米旧墙的费用为a元，折一米旧墙用所得材料建一米新墙的费用为a元，经过讨论有两种方案.()利用旧墙的一段x米(x14)为矩形厂房的一面边长，()矩形厂房的一面边长为14米.问如何利用旧墙，即x为多少时建墙费用最省?()()两种方案哪种方案最好?解：设矩形利用旧墙的一面，其边长为x，则矩形的另一面边长为.对于方案()：x14，则修旧墙费用为x剩余的旧墙拆得的材料建新墙的费用为 (14-x).其余的建墙费用为a2x+2-14 总费用y x+(14-x)+a2x+-147a(+-1) (0x14)7a(23-1)35a当且仅当 即x12时，ymin35a对于方案()， x14，则修旧墙的费用为14a，建新墙的费用为a2x+-14 总费用ya+a2x+-142a(x+)-a设 14x1x2,则 y1-y22a(x1+)-a-2a(x2+)+ a2ax1-x2+126()2a(x1-x2)(1-)2xC.1 D.x+22.已知a,bR，且ab0，则在ab 2 ab()2 ()2这四个不等式中，恒成立的个数是( )A.1 B.2C.3 D.43.已知a,bR+，且a+b1，则下列各式中恒成立的是( )A. B.4C. D.4.函数y3x2+的最小值是( )A.3-3 B.-3C.6 D.6-35.已知x1，y1，且lgx+lgy4，则lgxlgy的最大值是( )A.4 B.2C.1 D. 二、填空题6.已知abc，则与的大小关系是 .7.若正数a,b满足aba+b+3，则ab的取值范围是 .8.已知a,b,cR且a2+b2+c21，则ab+bc+ca的最大值是 ，最小值是 .三、解答题9.已知a,b,cR，求证：a4+b4+c4a2b2+b2c2+c2a2abc(a+b+c).10.(1)求y2x2+(x0)的最小值.(2)已知a,b为常数，求y(x-a)2+(x-b)2的最小值.素质优化：一、选择题1.已知f(x)()x，a,bR+，Af()，Gf(),Hf()，则A、G、H的大小关系是( )A.AGH B.AHGC.GHA D.HGA2.已知xR+，下面各函数中，最小值为2的是( )A.yx+ B.y+C.yx+ D.yx2-2x+43.当点(x,y)在直线x+3y-20上移动时，表达式3x+27y+1的最小值是( )A.3 B.1+2C.6 D.74.设M(-1)( -1)( -1)，且a+b+c1，(其中a,b,cR+)，则M的取值范围是( )A.0， B.，1C.1，8 D.8，+)5.若a,b,c,d,x,yR+，且x2a2+b2,y2c2+d2，则下列不等式中正确的是( )A.xyac+bd D.xyac+bd二、填空题6.斜边为8的直角三角形面积的最大值是 .7.已知x,y,R+，且xy24，则x+2y的最小值是 .8.设xyz,nN，且恒成立，则n的最大值是 .三、解答题9.设nN，求证+.10.证明，任何面积等于1的凸四边形的周长及两条对角线的长度之和不小于4+2.创新深化：一、选择题1.设xR，且满足+cos，则实数的值为( )A.2kn(kZ) B.(2k+1)(kZ)C.kn(kZ) D.kn+(kZ)2.对一切正数m，不等式n()2 (x1+x2+xn)()2则其中为真命题的是( )A. B.C. D.5.某种汽车购车时费用为10万元，每年的保险、养路、汽油费用共9千元，汽车的维修费逐年以等差数列递增，第一年为2千元，第2年为4千元，第三年为6千元，问这种汽车使用几年后报废最合算?(即汽车的平均费用为最低)( )A.8年 B.9年C.10年 D.11年二、填空题6.已知0x0，则a+的最小值是 .8.sin4cos2的最大值是 ，此时，sin ,cos .三、解答题9.在两个正数x、y之间，插入一个正数a，设x，a，y成等比数列，另插入两个正数b,c,设x,b,c,y成等差数列，求证：(a+1)2(b+1)(c+1).10.已知a0,b0,c0,a+b+c1.求证：(1+)(1+)(1+)64.参考答案【知识强化】1.C 2.C 3.B 4.D 5.A6. 7.9,+ 8.1，- 9.a4+b42a2b2,b4+c42b2c2,c4+a42c2a2相加得a4+b4+c4a2b2+b2c2+c2a2,a2b2+b2c22b2ac,b2c2+c2a22c2ab,c