巧用均值不等式证题学法指导不分本_第1页
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巧用均值不等式证题http:/www.DearEDU.com王静 平均值不等式是中学数学中的重要公式，它是解决不等式问题的有力工具。用平均值不等式解题已成为中学数学教学及高考的基本要求之一，那么如何在“巧用”上下功夫呢？本文通过几例予以说明。 例1. 设，证明 分析：若能注意到不等式的左端的分母和为定值，则可用代换法，乘积展开后巧用平均值不等式则可证得。 证明：因为 故原不等式成立。 例2. 已知，且，求证： 分析：本题关键是找到求证式与已知式的关系，找到后则可巧用平均值不等式证明。 证明：因为 所以 因为 所以 例3. 已知二次函数，且的两个根都在（0，1）内。 求证： 分析：本题可利用函数与方程的关系，由方程的两个根构造出函数，再利用平均值不等式证明。 证明：因为有两个根，故可设 因为 于是 例4. 已知，求证： 分析：观察三个无理根式的分子和分母，发现分母的和是分子的和的2倍，于是可巧用平均值不等式证明。 证明：由，有 即 同理有 三式相加得： 等式成立的条件是： 即 于是，与题设矛盾，故不取等号。 所以 例5. 已知，且。 求证： 分析：本题证法较多，但“巧”用平均值不等式来证明则较为简捷。 证明：因为且 所以 即 当且仅当时
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