第三章 第一节.ppt

第三章三角函数、解三角形第一节任意角和弧度制及任意角的三角函数,+k360,kZ,射线,旋转,象限角,正角,负角,零角,1.角的有关概念,2.弧度的定义和公式(1)定义:把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做_.弧度记作rad.,1弧度的角,(2)公式：,r|,3.任意角的三角函数(1)定义:设角终边与单位圆交于P(x,y),则_=y,_=x,tan=_.,sin,cos,如图所示，则正弦线为_，余弦线为_，正切线为_(用字母表示).,(2)三角函数线：,MP,OM,AT,(3)诱导公式(一)：sin(+k2)=_，cos(+k2)=_，tan(+k2)=_(kZ).(4)同角三角函数的基本关系：平方关系:_,商数关系:_.,sin,cos,tan,sin2+cos2=1,判断下面结论是否正确(请在括号内打“”或“”).(1)小于90的角是锐角.()(2)锐角是第一象限角，反之亦然.()(3)与45角终边相同的角可表示为k360+45，kZ或2k+45，kZ.(),(4)将分针拨快10分钟，则分针转过的角度是60.()(5)终边相同的角的同一三角函数值相等.()(6)点P(tan，cos)在第三象限，则角终边在第二象限.(),【解析】(1)错误.负角小于90但它不是锐角.(2)错误.第一象限角不一定是锐角，如-350是第一象限角，但它不是锐角.(3)错误.不能表示成2k+45，kZ，即角度和弧度不能混用.,(4)错误.拨快分针时，分针顺时针旋转，应为-60.(5)正确.由诱导公式(一)可知或由三角函数的定义可得.(6)正确.由已知得tan0，cos0，所以为第二象限角.答案:(1)(2)(3)(4)(5)(6),1.终边落在第二象限的角可表示为()(A)|90+2k180+2k，kZ(B)|+2k+2k，kZ(C)|90+k180180+k180，kZ(D)|+k+k，kZ【解析】选B.A错，角度与弧度不能混用.C,D错，当k为奇数时不成立，故选B.,2.已知sin0，tan0，那么角是()(A)第一象限角(B)第二象限角(C)第三象限角(D)第四象限角【解析】选C.由sin0，则的终边在三、四象限，或y轴负半轴.由tan0，则的终边在一、三象限，故是第三象限角.,3.已知2弧度的圆心角所对的弦长为2，则这个圆心角所对的弧长是()(A)2(B)sin2(C)(D)2sin1【解析】选C.由r=l=|r=2r可得l=,4.已知角终边上一点A(2,2)，则tan=_.【解析】tan=答案:1,5.若tan=2，则=_.【解析】又tan=2，答案:,考向1三角函数的定义【典例1】(1)若是第三象限的角，则-是()(A)第一或第二象限的角(B)第一或第三象限的角(C)第二或第三象限的角(D)第二或第四象限的角,(2)(2013徐州模拟)若点P(m，n)是1110角的终边上任意一点，则的值等于_.(3)已知角的终边上一点P(m)，m0,且sin=求cos,tan的值.,【思路点拨】(1)由为第三象限角可得-的范围，对k取不同的值可解.(2)由P点在1110角的终边上可得m，n的关系式，代入所求式子可解.(3)先由sin=结合三角函数的定义建立关于参数m的方程，求出m的值，再根据定义求cos，tan的值.,【规范解答】(1)选B.由+2kkZ,当k为偶数时在第一象限，当k取奇数时在第三象限，故选B.,(2)由1110=3360+30,答案:,(3)由题设知y=m，r2=|OP|2=()2+m2,O为原点，得,【互动探究】将本例题(3)中“sin=”改为“tan”，如何求sin，cos？【解析】由已知得，tan=,【拓展提升】用定义法求三角函数值的两种情况(1)已知角终边上一点P的坐标，则可先求出点P到原点的距离r，然后用三角函数的定义求解.(2)已知角的终边所在的直线方程，则可先设出终边上一点的坐标，求出此点到原点的距离，然后用三角函数的定义来求相关问题.,【变式备选】已知角的终边在直线3x+4y=0上，求sin,cos,tan的值.【解析】角的终边在直线3x+4y=0上，在角的终边上任取一点P(4t,-3t)(t0),则x=4t,y=-3t,考向2弧度制的应用【典例2】(1)已知扇形OAB的圆心角为120，半径r=6，求的长及扇形面积.(2)已知扇形周长为20，当扇形的圆心角为多大时，它有最大面积，最大面积是多少？,【思路点拨】(1)将圆心角化为弧度，再利用弧长、面积公式求解.(2)利用扇形周长得半径与弧长的关系，再利用面积公式化为关于半径r的二次函数求最值.【规范解答】(1)=120=l=r=6=4，S=lr=46=12.,(2)由已知得l+2r=20，S=lr=(20-2r)r=10r-r2=-(r-5)2+25，所以r=5时，Smax=25,此时，l=10，=2(rad).,【互动探究】本例题(1)中若求扇形的弧所在的弓形面积，又将如何求解？【解析】由题(1)解析得S弓=S扇形-S=故弓形的面积为,【拓展提升】弧度制应用的关注点(1)弧度制下l=|r，S=lr，此时为弧度.在角度制下，弧长l=扇形面积S=此时n为角度，它们之间有着必然的联系.(2)在解决弧长、面积及弓形面积时要注意合理应用圆心角所在的三角形.,【变式备选】已知半径为10的圆O中，弦AB的长为10.(1)求弦AB所对的圆心角的大小.(2)求角所在的扇形的弧长l及弧所在的弓形的面积S.【解析】(1)由O的半径r=10=AB，知AOB是等边三角形，=AOB=60=,考向3同角三角函数关系式的应用【典例3】(1)(2012辽宁高考改编)已知sin-cos=(0，)，则sin=()(2)已知tan=2.求：4sin2-3sincos-5cos2.,【思路点拨】(1)利用平方关系与已知条件联立方程组可解.(2)将所求式子“弦”化“切”，代入已知可求；也可由已知“切”化“弦”后代入所求式消元求解.将所求式子分母看作“1”,利用平方关系“1”代换而后转化为“切”,代入已知求解.,【规范解答】(1)选C.得sin2+(sin-)2=1，即2sin2-2sin+1=0，即(sin-1)2=0，sin=,方法二：由tan=2得，sin=2cos，故4sin2-3sincos-5cos2=1.,【拓展提升】求解关于sin，cos的齐次式问题的关注点(1)如果三角函数式不是关于sin，cos的齐次式，可通过化简转化为齐次式.(2)因为cos0,所以可用cosn(nN*)除之，这样可以将被求式化为关于tan的表达式，可整体代入tan=m，从而完成被求式的求值运算.(3)注意1=sin2+cos2的应用.,【变式训练】已知x0，sinx+cosx=(1)求sinx-cosx的值.(2)求tanx的值.,【解析】(1)由sinx+cosx=平方得sin2x+2sinxcosx+cos2x=即2sinxcosx=(sinx-cosx)2=1-2sinxcosx=又x0，sinx0，cosx0，sinx-cosx0，故sinx-cosx=,(2)由(1)得sinx-cosx=,【易错误区】三角函数定义中忽略分类讨论致误【典例】(2013天津模拟)已知角的终边上一点P(3a，4a)(a0),则sin=_.【误区警示】本题易出现的错误是：由终边上一点求三角函数时，由于没有考虑参数的取值情况，没有分类讨论，从而求出r=5a，导致结果错误.,【规范解答】x=3a,y=4a,r=5|a|.(1)当a0时，r=5a，sin=(2)当a0时，r=-5a，sin=sin=答案:,【思考点评】1.任意角的三角函数的定义对于三角函数的定义，如果不是在单位圆中，设角的终边经过点P(x，y)，|OP|=r=则sin=cos=tan=,2.分类讨论思想的应用对于利用三角函数定义解题的题目中，如果含有参数，一定要考虑运用分类讨论.在分类讨论时要注意统一分类标准，明确分类的对象，逐类讨论，最后归纳总结.,1.(2013合肥模拟)已知点P(sin，cos)在第四象限，则角的终边在()(A)第一象限(B)第二象限(C)第三象限(D)第四象限【解析】选B.P(sin，cos)在第四象限，,2.(2013滨州模拟)sin330等于()【解析】选B.sin330=sin(360-30)=-sin30=,3.(2012江西高考改编)若则sincos=()【解析】选D.sincos=,4.(2013枣庄模拟)若()，且sin=则tan=_.【解析】(),sin=答案:,5.(2012洛阳模拟)设扇形的周长为8cm，面积为4cm2，则扇形的圆心角的弧度数是_.【解析】设扇形的半径为rcm，弧长为lcm，则答案:2,1.设则x的取值范围是(),【解析】选B.由|sinx+cosx|=sinx+cosx，sinx+cosx