第29课时函数与方程

第29课时 函数与方程教学目标：使学生掌握二次函数与二次方程这二者之间的相互联系，能运用数形结合、等价转化等数学思想.教学重点：利用函数的图象研究二次方程的根的分布问题.教学难点：利用函数的图象研究二次方程的根的分布问题.教学过程：.复习引入初中二次函数的图象及有关的问题.讲授新课问题：二次函数yax2bxc（a0）与一元二次方程ax2bxc0（a0）之间有怎样的关系？我的思路：（1）当b24ac0时，二次函数yax2bxc（a0）与x轴有两个交点（x1，0）、（x2，0），（不妨设x1x2）对应的一元二次方程ax2bxc0（a0）有两个不等实根x1、x2；（2）当b24ac0时，二次函数yax2bxc（a0）与x轴有且只有一个交点（x0，0），对应的一元二次方程ax2bxc0（a0）有两个相等实根x0；（3）当b24ac0时，二次函数yax2bxc（a0）与x轴没有公共点，对应的一元二次方程ax2bxc0（a0）没有实根例1已知集合Ax|x25x40与Bx|x22axa20，aR，若ABA，求a的取值范围解析：本例主要考查学生对于二次方程的根的分布解决能力和灵活转化意识A1，4，ABA，BA若B，即x22axa20恒成立，则4a24（a2）0，1a2；若B，解法一：4a24（a2）0，a2或a1方程x22axa20的两根为x1，2a则Bx|axa，由题意知 解之得2a，综合可知a（1， 解法二：f（x）x22axa2，如图知 解之得2a，综上可知a（1，例2已知x的不等式ax的解区间是（0，2），求a的值解析：本题主要考查含参数无理不等式的解法，运用逆向思维解决问题解法一：在同一坐标系中，分别画出两个函数y1和y2ax的图象如下图所示，欲使解区间恰为（0，2），则直线yax必过点（2，2），则a1解法二：0x2，当a0时，则4xx2a2x20x，则2，a1当a0时，原不等式的解为（0，4），与题意不符，a0舍去综上知a1例3已知函数f（x）x22bx十c（cb1），f（1）0，且方程f（x）10有实根，（1）证明：3c1且b0；（2）若m是方程f（x）10的一个实根，判断f（m4）的正负，并说明理由解析：（1）由f（1）0，则有b，又因为cb1，消去b解之得3c；又方程f（x）10有实根，即x22bxc10有实根，故4b24（c1）0，消去b解之得c3或c1；由可知，3c1且b0（2）f（x）x22bxc（xc）（x1），f（m）10，cm1，从而c4m43c，f（m4）（m4c）（m41）0，即f（m4）的符号为正.课后作业1关于x的不等式ax2bx20的解集是（，）（，），求ab的值 解析：方程ax2bx20的两根为、，则 ab242方程x22ax40的两根均大于1，求实数a的取值范围解析：方法一：利用韦达定理，设方程x22ax40的两根为x1、x2，则解之得2a方法二：利用二次函数图象的特征，设f（x）x22ax4，则解之得2a3已知不等式ax25xb0的解集为x|3x2，求不等式6x25xa0的解集解析：由题意，方程ax25xb0的两根为3、2，由韦达定理得则所求不等式为6x25x10，解之得x或x14关于x的