第六课时等差数列的前n项和二

第六个会话对等序列的前n个条目和(2)培训目标：更好地理解等差系列的一般公式和前n项和公式，了解等差系列的一些特性，并使用它们解决一些相关问题。提高学生的应用意识。讲课重点：精通等价序列的求和公式。教学困难：灵活应用聚合公式解决问题。课程体系：一.审查一般公式：an=a1 (n-1) d，总计公式：sn=na1 d2.讲授新科目以下示例说明了如何应用这些知识解决一些相关问题。示例1查找集合m=m | m=7n，NN *和m 100中的元素数，然后求和这些元素。分析：满足条件的n的值数是集合m的元素数，如果这些元素从小到大排列，则为等差序列。解决方案：m 100，7n 100，n =14因此，满足上述不等式的正整数n为14个，即集合m的元素为14个，此元素为7，72，73，74，714，即7，14，21，28，列为98此数列作为等差数列记录为an。其中a1=7、a14=98、n=14S14=735答：集合m共有14个元素，它们等于735。这个例子显示，在小于100的正整数中，共有14个数字是7的倍数，总和是735。示例2已知前10个项目之和为310，前20个项目之和为1220，能否确定求前n个项目之和的公式？分析：用等差级数的前n个项总计的公式替换已知条件，可以得到a1和d的两个关系，然后确定a1和d，从而得到前n个项总计的公式。解决方案：S10=310，S20=1220用公式Sn=na1 d替换得到求解A1和d的这个方程，结果为a1=4，d=6所以sn=4n 6=3n2 n也就是说，S10和S20是可以确定此系列前n项总和的公式。此公式为sn=3n2 n。现在学生们重新思考这些问题。示例3已知序列an是等差序列，Sn是前n项和.寻求证据：S6、S12-S6、S18-S12等差数列，对应的kn *、Sk、s2k-sk、S3k-S2k等差数列？解决方案：如果an中的第一个条目为a1，公差为d，则S3=a1 a2 a3S6-S3=a4 a5 a6=(a1 3d)(a2 3d)=(a1 a2 a3)9d=S3 9dS9-S6=a7 A8 a9=(a4 3d) (a5 3d) (a6 3d)=(a4 a5 a6) 9d=(S6-S3) 9d=S3 18ds3、S6-S3、S9-S6等效序列。同样，可以获得sk、s2k-sk、s3k-s2k等差数列。Sk=a1 a2.AK(s2k-sk)=ak1 ak2.a2k=(a1 KD) (a2 KD) (AK KD)=(a1 a2.AK) k2d=sk k2d(s3k-s2k)=a2k1 a2k2.a3k=(ak1 KD) (ak2 KD) (a2k KD)=(ak1 ak2.a2k) k2d=(s2k-sk) k2dSk、s2k-sk、S3k-S2k是以Sk为基础，k2d为公差的等差数列。示例4已知序列an是等差序列，a1 0，S9=s17，n的值为什么是数列的前n项和最大收入？最大值是多少？分析：研究等差系列的前n项和最大(小)问题，有两种基本方法。一种是使用Sn为n的二次函数关系进行考虑。二是考察并解决系列的单调性。解法1:S9=S17，S9=9a1 36d，s17=S17=17a1+136d9a1 36d=17a1 136d，8a1=-100d，即d=-a1 0Sn=na1 d=na1 (-a1)=na1-a1=-a1(N2-26n)=-a1(n-13)2 a1当a1 0，n=13时，Sn具有最大值。最大值为a1。在解决方案2: a1 0，d a2 a3 a4 。因此，n在某一时刻必须出现负项，此时前n项的和开始减少，因此要使Sn最大化，n必须创建an0和an 10。也就是说解决方案 n 。n。n=13此时，Sn最大，S13=13a1 d=a1。复查：Sn使用n的二次函数关系汇总二次函数的最大值问题，但参数n为正整数。解2是研究系列的单调性和项的正音，研究前n个和Sn的最大值的方法更为普遍。示例5数列an中的a1=1，an 1=anan 1系列的前n个条目，以及。分析：寻找要求顺序anan 1的前n个项目，以及顺序an的一般公式。解决方案：已知= 第一个项目为=1，公差为等差序列。=1(n-1)=，an=Sn=a1a 2 a2 a3.Anan 1=.=4 (-) (-).(-)=4 (-)=。示例6设置等差序列an的前n个条目和Sn。a3=12，S12 0，S13 0。(1)寻找公差d的值范围。(2) S1、S2、S12中最大的值是什么？说明原因。(1)分析：S12 0，S13 0列不等式组。解决方案：按问题A3=12，即a1=12-2d替代解决方案-d -3(2)分析1:建立Sn的表示式Sn=f (n)=an2 bn。配方确定sn的最大值。解决方案1: sn=na1 d=n (12-2d) d=n-(5-) 2-(5-) 2d 0，n-(5-)2最大小时，Sn最大。时间-d -3点，6 (5-) 6.5正整数n=6时n-(5-) 2y最小，S6最大。分析2: an称为d 0。要使Sn最大，必须有n 0，an 1 0。解决方案2: a1 a2 . a12 a13已知d 01n12中存在自然数n，要使an 0，an 1 0，则Sn为S1，S2，S12中的最大值。原因A6 a7 0，a7 0-a6 -a7 0，a6 0，a7 0。因此，S1、S2、S12中S6的值最大。解决方案3: S12 0，S13 0对，就是这样A6 0和a7 0，S6最大。解决方案4: a1=12-2d，-d -3是，5.5 n 7NNN *，N=6，即S6是最大的。示例7第一项是正数的等差序列an，前三项的总和等于前11项的总和，并询问此系列前几项的总和和最大值。解决方案1: S3=S11路得：3a 1 d=11a 1 d，解决方案d=-a10sn=na1 d=-a1n 2 a1n=-a1(n-7)2 a1因此，如果n=7，则Sn最大。也就是说，前7个项目的总和最大。解决方案2:由解决方案：n ，n=7，即前7个项目的总和最大。解法3:d=-a10: an 是递减等差数列。S3=S11a4 a5 a6 a7 A8 a9 a10 a11=0，a7 A8=0必须有a70、a80。前7个项目的总和最大。观点：解决方案3使用等差系列的特性，简单易懂地解决问题。如果D0处具有最大值的等差系列的前n和Sn，n为最大值，则有两种方法使Sn为最大值。一种是满足an0和an 10的n值。第二种是sn=na1 d=N2 (a1-) n，使用二次函数的性质求出n的值。示例8数列an等于等差数列，a1=50，d=-0.6。(1)从第n段开始an0寻找。(2)求本系列前n项总和的最大值。分析：基本上，(1)是求解不等式，但NNN *。在中，(2)实际上是研究Sn随n的变化，在等差序列中，Sn是n的二次函数，因此，可以通过二次函数的方式处理，也可以根据an的变化推测Sn的变化。解决方案：(1)a1=50，d=-0.6an=50-0.6(n-1)=-0.6n 50.6。命令-0.6n 50.6 0，解决方法：n 84.3N因此，n85，an0，项目85后的所有项目都小于0。(2)解法1:d=-0.60，a1=500A840、a850被(1)所知。S1S85S86 .；(sn)max=s84=5084(-0.6)=2108.4。解决方案2:sn=50n(-0.6)=-0.3 N2 50.3n=-0.3(n-)2如果n获取接近的自然数，即n=84，则Sn达到最大S84=2108.4意见：不是常数系列的等差数列不会按升序减少，因此，如果两个ak，ak 1连续，则Sk将是Sn的最大值或最小值。下面是对那些问题的更深入的探索。在极长系列的等差序列中，当d0，d0时，如何求出Sn的最小值和最大值？第一个想法：(1)如果d0和a10，则有0a10，如果a10，则必须有自然数k，a1s1s 2.有sk，Sk0必须有自然数a1a2a 3.AK 0ak 1ak2.an.或a1a2a 3.ak0 AK 1ak 2.an.S1sk1.sn.Sn的最大值为Sk。(4)如果d0和a10，则为0 a1a2a 3.an-1an.S1S2S3Sn-1Sn-1sn.Sn的最大值为S1。第二个想法：Sn=na1 d=N2 (a1-) n=n 2-=n-(-) 2-(-) 2二次函数的最大、最小和NNN *。n获取最近的自然数时，Sn可以是最大值(或最小值)，最近的自然数可以是1个或2个。例9有30辆水泥电线杆，运到1000米远的地方开始安装，1000米装一辆，以后每50米装一辆，每辆车只能装三辆，用一辆车完成这项任务，这辆车的行程总共有多少公里？解法1:假设如图所示，30个水泥电线杆储存在m。A1=| ma |=1000 (m)A2=| MB |=1050 (m)A3=| MC |=1100 (m).A6=a3 503=1250 (m).A30=a3 1509 (m)因为每辆汽车只能装3辆，所以每次a3，a6，a9，a30是由这些地方组成的公差为150米，第一个1100的等差数列，如果汽车运行是s:S=2 (a3 a6.a30)=2 (a3 a3 1501.a3 1509)=2(10a 3 1509)=2(11000 6750)m=35.5(公里)a:这趟汽车旅程共35.5公里。解决方案2:根据问题设置和车辆，需要交付10次，并且可以获得一级序列an。其中a1=100、d=150、n=10S10=10a 1 d=7750m因此，总行程为(77502 100020)m=35.5公里答：有点。解法3:可以根据问题的意义和汽车的各移动距离构造等差数列。其中a1=(1000 502) 2=2200m，a2=(1000 505) 2=2500m.D=1502=300m项目总计10个。sn=10a 1d=102200m 59300m=35.5(公里)答：有点。例10每月有相同金额的零存款储蓄项目。在一段时间后，本金和利息都可以提出，这是整数，本利息和公式如下：本利息和=每个期间的存款额存款间存款(存款间1)利率。(1)想说明这个利益和公式。(2)月初存入100元，月利率为5.1，到12月末为止本和多少？(3)月初存入一次金额，月利率为5.1，到12月末为止想得到本和2000元，每月应该存入多少？分析：存款储蓄的利息不是福利，存款金额是a，月利率是p，那么n个月后的利息是nAp。解决方案：(1)每个期间的存款金额a，每个期间的利率p，如果期间数为n，则每个期间的利息之和为：Ap 2ap 3ap.nap=n (n 1) AP。和本金一起Benli和=na n (n 1) AP=a n n (n 1) p。(2)当a=100，p=5.1 ，当n=12时，Benli和=100 (12 12135.1 )=1239.78(元)(3)