高一数学圆的方程以及圆的有关性质北师大知识精讲

高一数学圆的方程以及圆的有关性质北师大版【本讲教育信息】一. 教学内容：圆的方程以及圆的有关性质二、学习目标1、通过图片欣赏探索确定圆的几何要素，在平面直角坐标系中掌握圆的标准方程与一般方程。能根据给定直线、圆的方程判断直线与圆、圆与圆的位置关系；会利用直线方程和圆的方程解决简单的位置关系问题和度量问题；2、经历具体图形探索，确定圆的几何要素的过程；经历用待定系数法求圆的方程的过程；在学习过程中体会用代数方法处理几何问题的思想；3、体会转化、数形结合等数学思想和方法。三、知识要点1、圆的定义运动的观念：平面内一条线段绕着一个端点旋转，另一个端点形成的轨迹；其中，静止的端点叫做圆心，线段的长等于半径。集合的观念：平面内与定点的距离等于定长的点的集合。其中定点叫做圆心，定长等于半径。2、圆的方程标准形式：圆心为（a，b），半径为r的圆的方程的标准形式是( x a ) 2 + ( y b ) 2 = r 2. 特别地，当圆心在原点的时候，其方程为 x 2 + y 2 = r 2. 一般形式：x 2 + y 2 + Dx + Ey + F = 0. （*）上式可变形为：（x+）2+（y+）2=. 说明：（1）圆的一般方程体现了圆的方程的代数特点：a. x2、y2项的系数相等且不为零. b. 没有xy项. （2）若D2 + E2 4F 0时，（*）式表示的是以为圆心，以为半径的圆；若D2 + E2 4F = 0时，（*）式表示的是一个点；D2 + E2 4F 0时，（*）式不表示任何图形。3、二元二次方程Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0表示圆的充要条件A=C0，B=0，D2+E24AF0. 4、点与圆的位置关系设圆心为M，半径为R，对于点P|PM|=R：点P在圆上；|PM|R：点P在圆外。5、求曲线方程的两种方法直接法：在不明确曲线是何种曲线的情形下，根据条件，寻找或构造等量关系，列等式，代坐标，得方程。一般步骤：建系设点列等式代坐标化简整理待定系数法：在明确曲线是何种曲线的情形下，可设出该类型曲线的一般情形，再由条件求出其中的参数即可。四、点与典型例题考点一 对圆的方程的讨论例1 设方程x2+y22(m+3)x+2(14m2)y+16m4+9=0。（1）当m为何值时，该方程表示一个圆；（2）当m为何值时，该方程表示的圆的半径最大；（3）该方程表示圆时，求圆心的轨迹方程解：由二元二次方程表示圆的条件可知：D2 + E2 4F 0，代入可解得：由二元二次方程表示圆的条件可知：该圆的半径为，当时有最大值由二元二次方程表示圆的条件可知：该圆的圆心坐标为故得圆心所在曲线方程为：说明：对含有参变量的圆的方程的讨论是本课的一个重要题型，一定要结合二元二次方程表示圆的条件进行研究。考点二 求圆的方程例2 设A（c，0）、B（c，0）（c0）为两定点，动点P到A点的距离与到B点的距离的比为定值a（a0），求P点的轨迹. 解：设动点P的坐标为（x，y），由=a（a0）得=a，化简，得（1a2）x2+2c（1+a2）x+c2（1a2）+（1a2）y2=0. 当a=1时，方程化为x=0. 当a1时，方程化为（xc）2+y2=（）2. 所以当a=1时，点P的轨迹为y轴；当a1时，点P的轨迹是以点（c，0）为圆心，|为半径的圆. 说明：本题采用了直接求法，即根据题给条件，寻找等量关系，然后代入坐标得到方程。主要考查直线、圆、曲线和方程等基本知识，考查运用解析几何的方法解决问题的能力，对代数式的运算化简能力有较高要求. 同时也考查了分类讨论这一数学思想. 例3 已知圆心在x轴上，半径是5，且以A（5，4）为中点的弦长是2，求这个圆的方程。解：设圆心坐标为B（a，0)，以A为中点的弦的一个端点为C，则圆的方程为(xa)2+y2=25由于|AB|2+|AC|2=|BC|2从而，（a5)2+16+5=25得a=7或a=3. 故这个圆的方程为(x7)2+y2=25或(x3)2+y2=25说明：本题采用的是待定系数法，即设出圆的方程，其中含有一个参数a，根据题给条件求出即可。考点三 对圆系方程的研究例4 已知圆C经过圆的交点且经过原点，求圆C的方程。解：设圆C的方程为，因其过原点，故代入原点坐标得：，即圆C的方程为说明：常见的圆系方程有：过定直线两交点的圆系：过两定圆交点的圆系：五. 本讲涉及的主要数学思想方法本讲涉及的主要数学思想方法是解析法，用代数的方法研究圆的有关性质，主要过程是建系设点列等式代入坐标，要注意自变量的取值范围的讨论（如例1的第3小题）。另外，平面解析几何问题的研究也蕴涵着丰富的数形结合的思想，要注意结合条件画图，结合图形分析几何元素间的联系以寻找变量之间的联系，从而迅速发现解题思路。 【模拟试题】（答题时间：60分钟）1、 选择题1. （2008上海）如图，在平面直角坐标系中，是一个与x轴的正半轴、y轴的正半轴分别相切于点C、D的定圆所围成的区域（含边界），A、B、C、D是该圆的四等分点若点、点满足且，则称P优于如果中的点满足：不存在中的其它点优于Q，那么所有这样的点Q组成的集合是劣弧（）A. B. C. D. 2. （2008山东）已知圆的方程为. 设该圆过点（3，5）的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD的面积为（ ）A. 10B. 20C. 30D. 403. （2008湖北）过点作圆的弦，其中弦长为整数的共有（ ）A. 16条 B. 17条 C. 32条 D. 34条*4. 点P（5a+1，12a）在圆（x1）2+y2=1的内部，则a的取值范围是（ ）A. a1 B. aC. a D. a*5. 已知圆的方程为（xa）2+（yb）2=r2（r0），下列结论错误的是（ ）A. 当a2+b2=r2时，圆必过原点B. 当a=r时，圆与y轴相切C. 当b=r时，圆与x轴相切D. 当br时，圆与x轴相交*6. 方程|x|1=所表示的曲线是 （ ）A、一个圆 B、两个圆 C、半个圆 D、两个半圆7. A=C0，B=0是方程Ax2+Bx+Cy2+Dx+Ey+F=0表示圆的（ ） A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件二、填空题8. （2008广东）经过圆的圆心，且与直线垂直的直线方程是 9. （2008湖南）将圆沿x轴正向平移1个单位后得到圆C，则圆C的方程是_，若过点（3，0）的直线和圆C相切，则直线的斜率为_. 三、解答题10. （2008重庆卷15题改编）已知圆C： （a为实数）上任意一点关于直线l：xy+2=0的对称点都在圆C上，求a的值。*11. 已知三角形三边所在直线的方程为xy+2=0， x3y+4=0， x+y4=0，求三角形外接圆的方程。12. 一圆经过A（4，2），B（1，3）两点，且在两坐标轴上的四个截距的和为2，求此圆的方程。*13. （2008江苏）在平面直角坐标系xOy中，设二次函数的图象与两坐标轴有三个交点，经过这三个交点的圆记为C求：（）实数b 的取值范围；（）圆C 的方程；（）圆C 是否经过某定点（其坐标与b 无关）？请证明你的结论试题答案一、选择题：DBCDD BB4、提示：点P在圆（x1）2+y2=1的内部（5a+11）2+（12a）21a. 答案：D5、提示：已知圆的圆心坐标为（a，b），半径为r，当br时，圆心到x轴的距离为|b|，只有当|b|r时，才有圆与x轴相交，而br不能保证|b|r，故D是错误的. 故选D. 6、提示：两边平方后得二、填空题8、9、， 三、解答题10、由题意知，圆C关于直线l：xy+2=0对称，即圆心C在直线l：xy+2=0上，从而解得a=2。11、分别联立三条直线方程，可求得三角形顶点坐标A（1，1）、B（1，3）、C（2，2）。由圆的有关性质可知：圆心为AB、AC中垂线的交点，故可求得圆心坐标为：，恰为AC中点，从而这是一个直角三角形，其半径为线段AC长的一半，为，故三角形外接圆的方程为：12、设圆的方程为x 2 + y 2 + Dx + Ey + F = 0. 该圆过A（4，2）：20+4D+2E+F=0（1）过B（1，3）：10D+3E+F=0（2）又该圆在坐标轴上的四个截距的和为2，故令x=0：y2+Ey+F=0，令y=0：x2+Dx+F=0，由方程根与系数的关系：x1+x2+y1+y2=E+（D）=2，从而得到D+E=2（3）联立方程（1）（2）（3）可解得：D=2，E=0，F=12，故圆的方程为：x2 + y2 2x12 = 0. 13、【解析】本小题主要考查二次函数的图象与性质、圆的方程的求法（）令0，得抛物线与轴的交点