高一数学期末复习等差与等比数列综合问题人教知识精讲

用心 爱心 专心 高一数学高一数学期末复习期末复习 等差与等比数列综合问题等差与等比数列综合问题人教版人教版 【同步教育信息同步教育信息】 一. 本周教学内容： 期末复习等差与等比数列综合问题 二. 重点、难点： 本节重点是等差数列和等比数列的概念和性质。 【典型例题典型例题】 例 1 在等比数列中，又知 n a 10 1 ,1000 1 qa ，求数列的前 n 项和的最大值。)lg . lg(lg 1 21nn aaa n b n b 解法解法 1：由已知 nn n qaa 41 1 10 ，则na n n 410lglg 4 )lg . lg(lg 1 21nn aaa n b )4( . )24() 14( 1 n n 2 7 2 ) 1(1 4 n nn n 2 1 , 3 11 nn bbb 即数列是以 3 为首项，为公差的等差数列。 n b 2 1 令，即 得0 n b0 2 7 n 7n 故的前 6 项均为正值，且 n b0 7 b 所以，的前 n 项和的最大值为 n b 2 21 2 15 36) 2 1 ( 2 56 36 76 SS 解法 2 同解法 1 得是以 3 为首项，为公差的等差数列，故： n b 2 1 d nn nbSn 2 ) 1( 1 4 ) 1( 3 nn n 16 169 ) 2 13 ( 4 1 4 13 4 2 2 nn n 由，利用二次函数的图象可知，当或*Nn 16 169 ) 2 13 ( 4 1 )( 2 xxf6n 时，有最大值。7n n S 。 2 21 6 4 13 6 4 1 2 76 SS 用心 爱心 专心 注：注： （1）若是等比数列且，则数列（或）是等差数列， n a0 n alog nk a0k1k 若是等差数列，那么是等比数列。 n a n a c)0( c （2）等差数列的前 n 项和，当时存在最大值；当时 n S0, 0 1 da0, 0 1 da 有最小值，这是由于 2121 ) 2 1 ( 2 ) 2 1 ( 2d ad d a n d Sn 当最小时，取最值。| ) 2 1 (| 1 d a n n S 例 2 已知是等差数列，设且，求数列的通 n b n b n a 2 8 1 , 8 5 43253 aaaaa n b 项公式。 解法解法 1：设的公差为 d，由 n b n b n a 2 则*)(22 2 2 1 1 1 Nn a a dbb b b n n nn n n 故数列公比为的等比数列。由已知 n a d q 2 2 1 2 1 8 1 8 5 )1 ( 8 1 8 5 3 3 3 2 3 432 53 a q a qa aaa aa 又由，故，则02 n b n a0q 2 1 q 故 233 3 ) 2 1 () 2 1 ( 2 1 nnn n qaa 又由，即，则 n b n a 2 2 ) 2 1 (2 nbn *)(2Nnnbn 解法解法 2：由已知 8 1 ) 2 1 ( 8 5 ) 2 1 () 2 1 ( 8 1 222 8 5 22 432 53 432 53 bbb bb bbb bb 由为等差数列，则，上式即 n b 423 2bbb 8 1 ) 2 1 ( 8 5 ) 2 1 () 2 1 ( 3 33 3 2 b dbb 1 1 3 b d 故 dnbbn)3( 3 1)3(1nbn2 nbn 所以的通项 n b2 nbn 例 3 三个数的乘积为，这三个数适当排列后可成为等比数列，也可以排成等差数列，8 求这三个数排成的等差数列。 用心 爱心 专心 解法解法 1：设排成等比数列的三个数为：aqa q a , 由已知，得8aqa q a 2a 则这三个数分别为q q 2, 2, 2 （1）若是和的等差中项，由，化简得2 q 2 q242 2 q q ，则0) 1( 2 q1q 故等差数列为2, 2, 2 （2）若是和的等差中项，由，化简得： q 2 2q2 q q 4 22 ，即02 2 qq0) 1)(2(qq 则或2q1q 故等差数列为或，或。4, 1, 22, 1, 42, 2, 2 （3）若是和的等差中项。q22 q 2 由化简得q q 4 2 2 即012 2 qq0) 1)(12(qq 则或 2 1 q1q 故等差数列为，若或。4, 1, 22, 1, 42, 2, 2 综上，这三个数排成的等差数列有三种或或。2, 2, 24, 1, 22, 1, 4 解法解法 2：设排成等差数列的三个数为daada, （1）若是和的等比中项，则ada da 即 8)( )( 2 dadaa adada 8)( 0 22 2 daa d 解得 2 0 a d 故等差数列为。2, 2, 2 （2）若是和的等比中项，则da ada 即 8)( )()( 2 dadaa dadaa 8)( 3 22 2 daa dad 解得或 2 0 a d 1 3 a d 故等差数列为或。2, 2, 24, 1, 2 （3）若是和的等比中项，则da ada 即 8)( )()( 2 dadaa dadaa 8)( 3 22 2 daa dad 用心 爱心 专心 解得或 2 0 a d 1 3 a d 故等差数列为或2, 2, 22, 1, 4 综上，所求等差数列为或或。2, 2, 24, 1, 22, 1, 4 【模拟试题模拟试题】 一. 选择题： 1. 等差数列的第 3，7，10 项成等比数列，那么公比 q 等于（ ） n a A. B. C. 或 1D. 或 1 4 3 3 4 4 3 3 4 2. 如果正项等比数列的公比，其第 3，5，6 项成差数列，其公比 q 为（ ）1q A. B. C. 2D. 不确定 2 15 2 15 3. 设 ，则)0, 10, 10, 0(, 32 dqqmmppqmpqmpqm dcdbda 且且 a、b、c 是（ ） A. 等差非等比数列B. 等比非等差数列 C. 既是等差又是等比数列D. 既非等差又非等比数列 4. 设数列是正项等差数列，数列是正项等比数列，且， n a n b 11 ba ，则（ ） 1212 nn ba A. B. C. D. 11 nn ba 11 nn ba 11 nn ba 11 nn ba 二. 填空题： 1. 互不相等的三个数成等比数列，且成等差数列，则公cba,bca abc log,log,log 差 d 的值为 。 2. 在这五个数中，与都成等比数列，且成等25, 1cbaba, 125, cbcba, 差数列，则 。cba: 3. 设是等差数列的前 n 项和，已知与的等比中项是与 n S n a 3 3 1 S 4 4 1 S 35 3 1 , 5 1 SS 的等差中项为 1，则等差数列的通项 。 4 4 1 S n a n a 三. 解答题： 1. 三个数成等差数列，另三个数成等比数列，这两个数列的对应项之和分别为 85，76，84，等差数列三项之和为 126，求这两个数列的各项。 2. 等差数列第 1 项是 1，公差是 3；等比数列第 1 项是 1，公比是，构造 n a n b2 新数列：（照此，在中 n c 487365243121 ,baabaabaabaa n a 每隔两项依次插入中的一项），设，求 k 的值及数列前 k 项和。 n b64 k c n c 用心 爱心 专心 【试题答案试题答案】 一. 选择题： 1. C 2. B 3. A 4. B 二. 填空题： 1. 2. 或 2 3 d)5( : )2( :15:3:1 3. 或nan 5 12 5 32 1 n a 三. 解答题： 1. 解：由等差数列三项之和为 126，知中间一项为，三项依次是，42 3 126 42,42d 。d42 等比数列三项依次是，dd43)42(85 dd42)42(84,344276 又由，化为 2 34)42)(43(dd 0650 2 dd 故或25d26d 当时，等差数列三项是 17，42，67，等比数列三项是 68，34，17；25d 当时，等差数列三项是 68，42，16，等比数列三项是 17，34，68。26d 2. 解：在中， n a3) 1(1) 1( 1 ndnaan 即23 nan 在中，即 n b 1 )2(1 n n b 1 )2( n n b 令，由，得。64 m c6423m22m 由，得64)2( 1 m 7m 当中