第二“南方杯”数学邀请赛第二试高一与

第二届南杯数学邀请赛10年级(高一)测试22007年5月13日上午8: 30至10: 30多项选择题：每个问题只有以下四个选项中的一个是正确的。请在答题纸上用英文字母填写表格，指出正确的答案选项(每题6分，共36分)。1.如果、和，则的值范围为()。A.B.C.D.另一个不同于a、b和c的答案。2.如果满足指数函数和实数，则该值等于()。A.729B.2007C.如果条件不够，函数值的乘积不能确定。3.如果点在曲线上，从P到直线的最小距离是()。A.B.C.D.4.如果圆上只有三个点，并且到直线的距离(a是实数)是1，那么a等于()。A.B.C.D.5.如果实数x和y满足：并且该函数的最小值等于()。A.8B.9C.10D.11A第一等的DBCB1C1EF图16.如图1所示，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=BC=1且BB1=2，当c1e1 B1C分别在点f和e处与B1C和BB1相交时，从点f到平面A1C1C的距离为()。A.B.C.D.二、填空(每题9分，共54分)7.如果设置，包含不少于2个元素的适当子集的数目为。8.如果K是实数，并且A和B的方程有实数解，那么K的取值范围是。9.如果k是正整数，k的取值范围是。10.假设(其中k是一个实常数)是定义在R. Ling上的奇函数(m，n是实常数)，如果是，它等于。11.有一个1260的正因子不能被9整除。12.如果A是常数而|a|1，那么方程关于X的实数解的数目是(插入一个特定的数或“不能确定，它与特定的值A有关”)。三、回答问题(每题15分，共60分)13.(本主题满分为15分)让k是一个实数。(1)验证：所有这样的抛物线都经过同一个固定点P，得到点P的坐标；(2)验证：所有抛物线的顶点在同一条抛物线上，并得到解析公式；(3)求出所有k，使得与x轴的两个交点都是整数点(即的根都是整数)。14.(本主题满分为15分)假设A是一个给定的实数，试着找出所有的函数(R是所有实数的集合)，这样对于任何一个，都有，和。15.(本主题满分为15分)试着找出所有的正整数对a和b，这样a和b的最小公倍数就是26190。16.(本主题满分为15分)ABCP图2如图2所示，在ABC中，AB=BC，点p是ABC内的一个点。如果AP=4，BP=5，CP=3，试着找出ABC的面积。第二届南杯数学邀请赛10年级(高一)考试2 2007年5月13日上午8: 30至10: 30一、选择题：标题号123456选择a(应为d)ADBCC第二，填空：标题号789101112选择244三、回答问题：13.解决方案：(1)，显然，在那个时候，(与k无关)，因此，固定点P是3点(2)顶点的坐标是k的消除，也就是说，这是的顶点所在的抛物线方程。也就是说，6分(3)解1:设，即，的两个整数根是，和，那么 7分消除K: 9分,所以(41是质数)，11点因此或或13分以上只是必要条件。让我们逐一检查它们。当时，等式为，即，满足主题的要求。当时，等式为，即，满足主题的要求。总而言之，需要整数。15分解决方案2:(使用判别式)假设的两个整数根是、和，然后七点而且，所以(t是非负整数)，.9分所以(41是质数)，11点因此或或13分测试如下：当时，符合要求。当时，符合要求。总而言之，需要整数。15分14.解决方案：从问题的含义来看：对任何人来说，都有，(2)从(2)和(1):也就是说，6分从(1)和(3):，也就是说，所以.4.10分将(4)替换为(2)给出：总而言之，如果，那么()，显然满足所有条件。如果是这样，则没有满足要求。15分15.解：顺序，(k是A和B的最大公因数，a1和b1是质数，).3分由：(149是质数) 4点因为A和B的最小公倍数是5点所以(97是质数).2.6分来自(1)、(2):和所以。9分以下是分类讨论：(1)如果是，(3)因此：制成，替换成(3)得到：也就是说，判别式。显然，因此，不是完全平坦的分数，因此没有整数根，这是不希望的。12分(2)如果是，那么为了摆脱a1，因此，因此，15分总而言之，所需的正整数。16.解决方案：如图所示，既然AB=BC，P1的