江苏南师大附校高三数学一轮复习教学案：第2课时导数的应用单调性与极值

南京师范大学附属实验学校2010年高三一次复习理科数学教学方案的导数第二阶段导数的应用-单调性和极值【复习目标】1 .理解导数在研究函数单调性和极值中的作用2 .理解导数在解决不等式、方程根、曲线交点数等问题上得到广泛应用。3 .通过结合实施例利用导数研究函数的单调性，可以求出不超过三维的多项式函数的单调区间，该导数通过几何直观地探索和理解函数的单调性与导数的关系4 .根据权利要求2所述的导数方法，将函数的图像合并在一起，在研究函数的性质的基础上获得导数方法的一般性和有效性，其中所述函数用于获得三维不超过三维的多项式函数的最大值、最小值以及闭区间不超过三维的多项式函数的最大值和最小值，以理解在一些点获得极值的必要条件和充分条件。【重点难点】利用导数求出函数的极值利用导数求出函数的单调区间利用导数求出函数的最大值利用导数证明函数的单调性在实际中的应用导数与函数、不等式等知识相融合的问题导数与解析几何学相结合的问题。【高考要求】b类【基础路径】1 .函数的单调性函数y=可以在某个区间导出，如果 0则0，(逆命题不成立)(2)如果某个区间一定的话注：连续函数的开区间和与其对应的闭区间的单调性一致。(3)求导数单调区间的一般步骤和方法：决定函数求、命令、求解该方程式，求定义区间内的确切根函数的不连续点(即，无定义点)的横轴和上面的各实根按从小到大的顺序排列，在这些点上将函数的定义区间分成几个单元间决定各小开区间中作为根据的记号判定函数在各小开区间中的增减性.2 .导数的极值极值概念如果在点附近有定义且对于附近的所有点都有(或)，则函数被称为函数的极大(小)值，称为极大(小)值点.求导数极值的步骤：求导数求方程式=0验证方程式=0根附近的符号，根的左侧附近为正，右侧附近为负，则函数y=由该根取得的根的左侧附近为负，右侧为正，则函数y=由该根取得.3 .函数的最大值和最小值：y=是区间a，b 中定义的函数，y=是(a，b )内有导数时，函数y=在a，b 中有最大值和最小值，但是，在开区间内有最大值和最小值。(2)求最大值可分两步进行y=求出(a，b )内的值将y=的各值进行比较，其中最大的为最大值，最小的为最小值。(3)如果函数y=在a，b 处单调递增，则该函数的函数y=在a，b 处单调递减【典型例题】已知例子f(x)=ex-ax-1 .(1)求出1)f(x )的单调增加区间(2)若2)f(x )在定义域r内单调增加，则求出a的可取范围(3)a存在，使f(x )以(-，0 )单调减少，以0，)单调增加吗？ 如果存在，则求出a值，如果不存在，则说明理由解：=ex-a。(1)如果a0，则=ex-a0始终成立，即f(x )在r上增量.a0，ex-a0，8756； exa，xlna.f(x )的单调增加区间为(lna，)。(2)f(x )在r内单调递增，8756； 0在r上总是成立。ex-a0，即，aex在r上总是成立2222卡卡卡卡卡卡卡卡卡卡卡卡653(3)方法从问题意识ex-a0始终成立为(-，0 )。a-ex始终成立于(-，0 ).ex是向(-，0 )增加函数.在x=0情况下，可知ex最大为1.a1 .同样地，ex-a0恒定地成立为0， .aex总是成立为0，.a1，a=1.由方法2问题可知，x=0是f(x )的极小值点.=0，即e0-a=0、a=1变体训练1 .已知函数f(x)=x3-ax-1(1)若1)f(x )在实数集r上单调增加，则求出实数a可取范围(2)实数a存在，f(x )用(-1，1 )单调减少吗？ 如果存在，求a的可能范围如果不存在，说明理由(f(x)=x3-ax-1的图像并不总是在直线y=a上。(1)解是从已知=3x2-a，f(x )到(-，)的单调递增函数3 x2- a-0恒定地成立(-，)，即，a3x2对xR恒定地成立.3x20， 当a0且a=0时，=3x20因此，f(x)=x3-1是r上增加函数，a0 .(2)解从=3x2-a0稳定地成立为(-1，1 )，a3x2，x- 1，1 )稳定地成立.当获得-10即e-ax(-ax2 2x)0和02时，f(x )是用(1，2 )减去函数f(x)max=f(1)=e-a .12，即1a2时f(x )是上为增加函数，上为减少函数f(x)max=f=4a-2e-2。在2情况下，即在02的情况下，f(x )的最大值是e-a .变式训练3 .函数f(x)=-x(x-a)2(xR )，其中aR。(1)当1)a=1时，求出曲线y=f(x )的点(2，f(2) )处的切线方程式(2)当a0时，求出函数f(x )极大值和极小值.解： (1)a=1时，f(x)=-x(x-1)2=-x3 2x2-xf(2)=-2，=-3x2 4x-1-12 8-1=-5当a=1时，曲线y=f(x )的点(2，f(2) )处的切线方程式为5x y-8=0。(2)f(x)=-x(x-a)2=-x3 2ax2-a2x=-3x2 4ax-a2=-(3x-a)(x-a )设为0，则x=或x=a。因为a0，以下分两种情况进行研究a0时，x变化时的正负如下表所示x(-，)(、a )a.a(a，)-是00-是f(x )0因此，函数f(x )为x=且最小值f ()，且f()=-。函数f(x )以x=a取极大值f(a )，f(a)=0.a0时，x变化时的正负如下表所示x(-，a )a.a(a，)(，)-是00-是f(x )0-是因此，函数f(x )以x=a取最小值f(a )，f(a)=0；函数f(x )用x=取极大值f ()且f()=-。例4 .某银行计划新设定期存款业务，存款量与存款利率的平方成正比，比例系数为贷款利率4.8%，银行吸收的存款可全部贷出，预计存款利率设定为多少时，银行可获得最大收益解析银行收益=贷款收益-存款利息，因此设定存款利息，将银行收益表现为利息的函数，利用导数求出函数的最大值即可解存款利率为，适用于存款量，银行应支付利率，贷款收益，银行收益。所以，命令，得到(舍去)，又当时， 当时，当存款利率设为时，银行获得了最大的利益。变式训练4 :已知某造船公司的年造船量为20艘，造船x艘的产值函数为R(x)=3 700x 45x2-10x3(单位：万元)，成本函数为C(x)=460x 5 000 (单位：万元)，在经济学中函数f(x )的极限函数Mf(x )为MF (x )=f (x1)(1)求利润函数P(x )和边际利润函数MP(x ) (提示：利润=产值-成本)(2)配备几艘年造船量的话，公司造船的年利润能达到最大吗？(3)求出极限利益函数MP(x )的单调减少区间，在本论文中说明单调减少实际意义解： (1) p (x )=r (x )-c (x )=-10 x 345 x 2240 x-5000 (xn *，并且1x20 )MP (x )=p (x1)-p (x )=-30 x 60 x 3275 (xn *，并且1x19 )(2)=-30x2 90x 3 240=-30(x-12)(x 9)- x 0，8756；=0时，x=1200、x12时为0在x=12情况下，P(x )具有最大值.也就是说，年造船量为12艘时，能够使公司造船的年利润最大化(3) MP (x )=-30 x 60 x 3275=-30 (x-1 ) 23305因此，在x1时，MP(x )单调减少因此，单调减少区间为 1，19 ，且xN*。MP(x )减分函数的实际意义是，随着产量的增加，每艘的利润与上一艘相比，利润有所减少【总结】当研究导数的单调性、极值(最大值)时，应当首先确定该函数的导数，找到=0的x值或0(0)的x值的范围【放学后作业】1 .函数y=x2(x-3 )的减法区间是2 .如果函数f(x)=ax2-b是在(-，0 )内减法函数，则a、b应该满足3 .如果已知3.f(x)=(x-1)2，g(x)=x2-1，则fg(x)的增加部分变为4.(a，b )内(x)0是f(x )在(a，b )内单调增加的条件.5 .函数y=xsinx cosx是下一个区间的递增函数a.(，) B.(，2) C.(，) D.(2，3)6 .如果已知a0、函数f(x)=x3-ax是1，的单调递增函数，则a的最大值为7 .如果已知函数f(x)=x4-4x3 10x2，则方程f(x)=0根据区间 1，2 8