高三数学4几种常见几何体的性质

4.几种常见几何体的性质4.1 正方体【例1】棱长为1的正方体中，（1）证明：平面； （2）证明：平面平面；（3）求平面与平面的的距离【解析】（1）连接，由平面，平面，所以，又，所以平面，由平面，所以，同理，故平面；（2）由（1）证平面，同理平面，所以平面平面；（3）设与平面、平面分别交于，则必是正、正的中心，运用等积法可求到平面的距离、到平面的距离均为，因为，平面与平面的的距离为【评注】棱长为的正方体中，（1）共顶点的三条棱作为侧棱构成的直三棱锥中，顶点在底面的射影恰为正方体相应对角线的一个三等分点；（2）共顶点的三条棱作为侧棱构成的直三棱锥的高为，其体积是正方体体积的.【变式】正方体是考查空间点、直线、平面位置关系的非常重要的几何模型.正方体中，是的公垂线，是的中点，证明：（1）；（2）【解析】（1）如图，只要证明即可；（2）如图，只要证明即可；4.2 三棱锥【例2】三棱锥中，点为点在平面内的射影，若，求证：点是底面三角形的外心【解析】连结，且，,故点是底面三角形的外心【评注】四面体中，（1）若各组对棱都相互垂直，则点在平面内的射影是底面三角形的垂心；（2）若三条侧棱两两垂直，则点在平面内的射影是底面三角形的垂心；（3）若三条侧棱都相等，则点在平面内的射影是底面三角形的外心；（4）若三条侧棱与底面所成的角都相等，则点在平面内的射影是底面三角形的外心；（5）若三个侧面的斜高都相等，则点在平面内的射影是底面三角形的内心；（6）若三个侧面与底面所成的角都相等，则点在平面内的射影是底面三角形的内心【变式1】正三棱锥的概念.下面是关于三棱锥的四个命题： 面是等边三角形，侧面与底面所成的二面角都相等的三棱锥是正三棱锥 面是等边三角形，侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥 面是等边三角形，侧面的面积都相等的三棱锥是正三棱锥 棱与底面所成的角相等，且侧面与底面所成的二面角都相等的三棱锥是正三棱锥其中，真命题的编号是 (写出所有真命题的编号)HM【解析】底面是等边三角形，侧面与底面所成的二面角都相等的三棱锥是正三棱锥可推出底面中心等于是棱锥顶点在底面的射影，所以是正确的；显然不对，比如三条侧棱中仅有一条不与底面边长相等的情况，侧面都是等腰三角形的三棱锥，但不是正三棱锥；底面是等边三角形，侧面的面积都相等，说明顶点到底面三边的距离（斜高）相等，根据射影长的关系，可以得到顶点在底面的射影（垂足）到底面三边所在直线的距离也相等，由于在底面所在的平面内，到底面三边所在直线的距离相等的点有4个：内心（本题的中心）1个、旁心3个，因此不能保证三棱锥是正三棱锥；侧棱与底面所成的角相等，且侧面与底面所成的二面角都相等的三棱锥是正三棱锥是正确的故答案：.【变式2】正四面体的性质.关于棱长为的正四面体，有以下的命题：正四面体的高为；正四面体的外接球的半径为；正四面体的内切球的半径为；正四面体的外接球的半径是其内切球的半径的3倍；正四面体的相邻两个表面所成的角为，则.正确的序号是 .【解析】设正四面体的高为是的重心，连接并延长交于于，外接球的球心为必在上，根据对称性，也是内切球的球心，则，相邻两个表面所成的角为，则由重心定理可知，所以，正确；在中，所以，正确；在中，由勾股定理可求，正确； 正确，答案为.4.3 直三棱锥【例3】在平面几何里，有勾股定理：“设的两边互相垂直，则：；若的两边与斜边成角分别为，则：”拓展到空间，类比平面几何的勾股定理，研究三棱锥的侧面面积与底面面积间的关系，可得到正确的结论：“设三棱锥中，三个侧面两两相互垂直，则： ；若三棱锥中，三个侧面与底面的成角分别为，则： ”【解析】过点作于，连结，则：， 故：同理，易知：若三棱锥中，三个侧面与底面的成角分别为，则：（或）【评注】侧棱分别为的直三棱锥的底面必是锐角三角形，其体积为。【变式】直角三角形中射影定理的推广.在平面几何中，直角三角形有射影定理：“设的两边互相垂直，于，则：。” 类比到空间，可得到正确的结论：“设三棱锥中，三个侧面两两相互垂直，则： . 【解析】侧面积是它在底面投影的面积与底面积的等比中项，即.4.4 四直角三棱锥【例4】如图，斜边为的中，于，于（1）证明：；（2）证明：；（3）证明：；（4）若，求截面的面积的最大值解析：（1）因为，则，又，所以（2）由，则，又，所以，又，所以（3）因为，所以；（4）由（1）知，所以，因为，所以，又，所以；又，所以，当且仅当时，取得等号，故截面的面积的最大值为2【评注】三棱锥的每