高三数学不等式二理人教实验A知识精讲

高三数学不等式（二）（理）人教实验版（A）【本讲教育信息】一. 教学内容：不等式（二）二. 重点难点1. 证明方法（1）直接证明：比较法、综合法、分析法（2）间接证明：反证法（3）其它方法2. 均值不等式【典型例题】例1 证明：（1），求证：（2）且，求证：（3），求证：（4）且，求证：（5），求证：（6），求证：中至少有一个不小于证明：（1）（2）（3）左= 左（4） *式显然成立 （5）（6）假设即，与已知矛盾 假设不成立 原命题真例2（1）的最大值；（2），的最小值解：（1） 时，（2） 时，例3 （1），求的最小值；（2），求的最小值。解：（1） （2）， 当 另解： 例4 设（为常数），方程的两个实数根为，且满足。（1）求证：；（2）设，比较与的大小。（1）证明：由，得，（2）解：， 又，例5 已知，且（1）求证：方程总有两个正根；（2）求不等式的解集；（3）求使对于恒成立的x的取值范围。解析：（1）证明：方程，即即所以方程的两根为，因为，所以故方程总有两个正根（2），即 当，即时，不等式的解集为 ；当，即时，不等式的解集为当，即时，不等式的解集为（3）即即因为，所以所以或恒成立又，即，所以所以或故使对于恒成立的x的取值范围是例6 已知二次函数满足，且对一切实数x恒成立。（1）求；（2）求的解析式；（3）求证：。解析：（1） 对恒成立 令，有 （2）设 对恒成立 对恒成立 ， 当且仅当时，等号成立 （3）证明： 例7 已知函数，若，有。求证：。证明：即证明只需证明只需证明 由于，故 ，故只需证明即证即证这由，上式是显然成立的。因此，例8 已知，设，试寻求使得P，Q都成立的x的集合。解析：由题意得若，则有，而所以，故故若，则有若，则有故例9 已知定义在区间0，1上，且，证明：（1）；（2）；（3）；（4）分析：（1）将代入验证可得。（2）代入，因式分解出再判定其余部分的大小。（3）添加项并利用不等式的性质进行放缩。（4）转化为的最大值和最小值问题。证明：（1），故。（2） ， （3）不妨设，由（2）知 而由（1）知，从而 +得，即（4）例10 已知函数（其中且）。（1）求，并指出其定义域；（2）解关于x的不等式。解析：（1）当时，由得函数的值域为；当时，由得函数的值域为由解得 当时，；当时，（2） ，且 原不等式等价于解得 不等式的解集为例11 设，其中且，试比较与的大小。解析： 当时，；当或时，；当时，例12 设集合，又设函数。（1）若不等式的解集为C，且，求实数m的取值范围；（2）若对任意，都有成立，试求当时，的值域；（3）当时，试证明：。解析：（1） 不等式的解集又 只需相应方程两根都在内，即满足（2）由条件知的对称轴是 当时，是减函数，且 ，即的值域为（3）证明： 例12 某段城铁线路上依次有A，B，C三站，AB=5km，BC=3km。在列车运行时刻表上，规定列车8时整从A站发车，8时07分到达B站并停车1分钟，8时12分到达C站。在实际运行时，假设列车从A站正点发车，在B站停留1分钟，并在行驶时以同一速度vkm/h匀速行驶，列车从A站到达某站的时间与时刻表上相应时间之差的绝对值称为列车在该站的运行误差。（1）分别写出列车在B，C两站的运行误差；（2）若要求列车在B，C两站的运行误差之和不超过2分钟，求v的取值范围。分析：先根据运算误差定义写出在B，C两站的运行误差表达式，再求和得到不等式，解不等式可得v的范围。解析：（1）列车在B，C两站的运行误差（单位：分钟）分别是和。（2）由于列车在B，C两站的运行误差之和不超过2分钟，所以（*）当时，（*）式变形为解得；当时，（*）式变形为解得；当时，（*）式变形为解得综上所述，v的取值范围为【模拟试题】1. 若实数满足，则的最小值是（ ）A. 18B. C. 6D. 2. 已知，则有（ ）A. 最大值B. 最小值C. 最大值1D. 最小值13. “”是“”的（ ）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件4. 已知不等式对任意正实数恒成立，则正实数的最小值为（ ）A. 8B. 6C. 4D. 25. 若且，则的最小值为（ ）A. B. C. D. 6. 已知函数，若，记，则（ ）A. B. C. D. 7. 设，则以下不等式中不恒成立的是（ ）A. B. C. D. 8. 已知，且，那么（ ）A. B. C. D. 9. 设，且（其中），则M的取值范围是（ ）A. B. C. D. 10. 如果正数满足，那么（ ） A. ，等号成立时的取值唯一B. ，且等号成立时，的取值唯一C. ，且等号成立时，的取值不唯一D. ，且等号成立时，的取值不唯一11. 下列结论正确的是（ ）A. 当且时，B. 当时，C. 当时，的最小值为2D. 当时，无最大值12. 设，则M与N的大小关系是（ ）A. B. M=NC. D. 不能确定13. 已知，成等差数列，成等比数列，则的最小值是（ ）A. 0B. 1C. 2D. 414. 若正数满足，则的取值范围是 。15. 已知，则的最小值是 。16. 已知，则，中值最大的是 。17. 下列不等式证明过程： 若，则； 若，则； 若，则； 若，则其中正确的序号是 。18. 函数的图象恒过定点A，若点A在直线上，其中，则的最小值为 。19. 已知，且，则的最大值为 。20. 若不等式的解集为，则 。21. 已知是定义在上的奇函数，当 ，的图象如下图所示，那么不等式的解集是 。22. 若对一切实数x恒成立，则m的取值范围是 。23. 已知不等式组的解集是不等式的解集的子集，则实数的取值范围是 。24. 三个同学对问题“关于x的不等式在上恒成立，求实数的取值范围”提出各自的解题思路。甲说：“只需不等式左边的最小值不小于右边的最大值”。乙说：“把不等式变形为左边含变量x的函数，右边仅含常数，求函数的最值。”丙说：“把不等式两边看成关于x的函数，作出函数图象。”参考上述解题思路，你认为他们所讨论的问题的正确结论，即的取值范围是 。 25. 若，则中的值最小的是 。 26. 已知三个不等式： ， ， ，以其中两个做条件，余下一个做结论，则可以组成 个正确命题。 27. “且”的充要条件是 。 28. 对于，给出下列四个不等式： ； ； ； 。其中成立的是 （将所有正