河北石家庄市高中数学 2.4.1 平面向量数量积的含义（1）学案 北师大版必修4_第1页
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2.4.1（1） 平面向量数量积的物理背景及其含义学案学习目标：1、说出平面向量的数量积及其几何意义；2、学会运用平面向量数量积的重要性质及运算律。学习重难点：平面向量的数量积及其几何意义。学习过程【自主学习】阅读课本103页的内容：（一）、数量积的概念SF1、给出有关材料：（1）如图所示，一物体在力F的作用下产生位移S，那么力F所做的功：W= （2）这个公式有什么特点？请完成下列填空：W（功）是 _量，F（力）是 _量，S（位移）是 _量，是 _。（3）你能用文字语言表述“功的计算公式”吗?2、明晰数量积的定义（1）数量积的定义：已知两个非零向量与，它们的夹角为，我们把数量 cos叫做与的数量积（或内积），记作：，即：= cos（2）定义说明：记法“”中间的“ ”不可以省略，也不可以用“ ”代替； 规定：零向量与任何向量的数量积为零，即=.（3）学生讨论，并完成下表：的范围090=9090180的符号（二）、研究数量积的意义1、给出向量投影的概念：如图，我们把cos（cos）叫做向量在方向上（在方向上）的投影，记做：OB1=cos2、数量积的几何意义是什么？3、研究数量积的物理意义 请同学们用一句话来概括功的数学本质：【重难点探究】1、两个向量的夹角：已知两个非零向量和，过O点作，则AOB (0180) 叫做向量与的 当0时，与 ；当180时，与 ；如果与的夹角是90，我们说与垂直，记作 2、两个向量的数量积的定义：已知两个非零向量与，它们的夹角为，则数量 _叫做与的数量积（或内积），记作，即 _规定：=3、向量的数量积的几何意义：|cos叫做向量在方向上的投影 (是向量与的夹角)的几何意义是：数量等于 _ 4、向量数量积的性质：设、都是非零向量，是与的夹角(1) _(2) 当与同向时， ；当与反向时， 特别的，= |2 .(3) cos _(4) | _5、向量数量积的运算律： _ () _() () _例1、已知ABC为等边三角形，且边长为1，求： 例2、已知，当 ， ， 与的夹角是60时，分别求的值。例3、已知= 6，= 4，与的夹角为60，求（+2）（-3），并思考此运算过程类似于实数哪种运算？【公式】：（1）(+)2=2+2+2 （2）(+ )(-)= 22【归纳总结】 _ _ =_【巩固提升】1、已知|=5， |=4， 与的夹角=120o，求.2、已知|4，|5，且与的夹角为60，求：(23)(32)3、在平行四边形ABCD中，AB=3，AD=2，ADC=45，求： 【当堂检测】高考题：1、（09江苏）已知向量和的夹角为，则= _2.（广东理）若向量满足与的夹角为120，则 .3.（广东文）若向量满足与的夹角为60，则（ ）A B C. D24.（上海文）若向量的夹角为，则 _5.（北京卷10）已知向量与的夹角为，且，那么的值为_6
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