河北石家庄高三数学毕业班模拟考试一B卷文

河北省石家庄市2019届高三数学毕业班模拟考试试题（一）（B卷）文（含解析）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，则（）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】先分别求出集合A，B，由此利用交集定义能求出AB【详解】集合，1，0，-1，-2， ，故选：C【点睛】本题考查交集的求法，是基础题，注意条件，属于易错题2.若复数（为虚数单位），则（）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】化简可得z，而zz=z2，计算模长即可【详解】z=i1+i=i（1-i）（1+i）（1-i）=i+12，zz=z2=1+14=12故选：B【点睛】本题考查复数的代数形式的运算，涉及模长的求解，属于基础题3.已知cos2+=2cos，则tan4+=（）A. 3B. 3C. 13D. 13【答案】B【解析】【分析】先利用诱导公式将已知化简求得tan，再利用两角和的正切公式把所求展开后，代入tan的值求得答案【详解】cos2+=2cos-，-sin=-2cos，tan=2,tan4+=tan4+tan1-tan4tan=1+tan1-tan=-3，故选B【点睛】本题主要考查了两角和与差的正切公式及诱导公式的应用，属于基础题4.下列说法中正确的是（）A. 若函数f(x)为奇函数，则f(0)=0；B. 若数列an为常数列，则an既是等差数列也是等比数列；C. 在ABC中，AB是sinAsinB的充要条件；D. 若两个变量x,y的相关系数为，则越大，x与y之间的相关性越强.【答案】C【解析】【分析】举特殊函数对A选项进行判断,根据等差数列与等比数列的定义判断B，根据正弦定理判断C，根据相关性系数的性质判断D.【详解】对A选项，若0不在奇函数的定义域内，则f（0）无意义，如fx=1x为奇函数，但f(0)无意义，故错误；对B选项，若数列an为各项为0的常数列，则an是等差数列但不满足等比数列的定义，故错误；对C选项，在三角形中，根据正弦定理得ABabsinAsinB，ABC中，AB是sinAsinB的充要条件，正确；对 D选项，两个变量x，y的相关系数|r|越大，则变量x，y的相关性越强，故错误.故选C.【点睛】本题主要考查命题的真假判断，涉及的知识点有：函数奇偶性的应用、数列的基本概念、正弦定理、相关性强弱等问题，属于基础题.5.已知平面向量a与b的夹角为23，且b=1,a+2b=2，则a=（）A. 2B. 1C. 3D. 23【答案】A【解析】【分析】根据平面向量数量积的运算法则，将a+2b=2平方运算可得结果【详解】a+2b=2，（a+2b）2=a2+4b2+4ab=4，a2+4+4abcos23=4，a=2，故选A.【点睛】本题考查了利用平面向量的数量积求模的应用问题，考查了数量积与模之间的转化，是基础题目6.已知f(x)是定义在R上的奇函数，且满足f(x)=f(2x)，当x0,1时，f(x)=4x1，则f52=（）A. 0B. 1C. 1D. 12【答案】C【解析】【分析】根据题意，可得f-x=f2+x=-f(x)，据此可得f（52）-f（12），由函数的解析式可得f（12）的值，即可得答案【详解】根据题意，f(x)是定义在R上的奇函数， 又f(x)=f(2-x)，即f-x=f2+x=-f(x)，则f（52）=f2+12f（-12）=-f12=-(412-1)=-1，故选C.【点睛】本题考查函数的奇偶性的应用，考查了函数值的求法，属于基础题7.设变量x,y满足约束条件x+2y20x2y+20y2，则目标函数z=x+3y的最小值为（）A. 6B. 8C. 4D. 3【答案】C【解析】【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案【详解】由约束条件x+2y-20x-2y+20y2作出可行域如图阴影部分，联立y=2x+2y-2=0，解得A（-2，2），化目标函数zx+3y为y=-x3+z3，由图可知，当直线y=-x3+z3过A时，直线y=-x3+z3在y轴上的截距最小，z有最小值为4故选：C【点睛】本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题8.已知圆C截两坐标轴所得弦长相等，且圆C过点1,0和2,3，则圆C的半径为（）A. 22B. 8C. 5D. 5【答案】D【解析】【分析】根据圆C在两坐标轴上截得弦长相等，可得C在直线yx或yx上，分类讨论，利用点-1,0和2,3在圆上，即可求得结论【详解】圆C在两坐标轴上截得弦长相等，C在直线yx或yx上当C在yx上时，设C（m，m），半径为R，则(m+1)2+m2=(m-2)2+(m-3)2=R2,解得：m1，R25，R=5；当C在yx上时，设C（m，m），半径为R，则(m+1)2+(-m)2=(m-2)2+(-m-3)2=R2，无解；圆C的半径为5，故选D.【点睛】本题考查圆的方程，考查分类讨论的数学思想，考查学生的计算能力，属于基础题9.已知椭圆x2a2+y2b2=1ab0，点F为左焦点，点P为下顶点，平行于FP的直线交椭圆于A,B两点，且AB的中点为M1,12，则椭圆的离心率为（）A. 22B. 12C. 14D. 32【答案】A【解析】【分析】设A（x1，y1），B（x2，y2），因为A、B在椭圆上将两式相减可得直线AB的斜率与直线OM的斜率的关系，建立关于a，b，c的方程，从而求出所求；【详解】设A（x1，y1），B（x2，y2），又AB的中点为M1,12，则x1+x2=2，y1+y2=1，又因为A、B在椭圆上所以x12a2+y12b2=1，x22a2+y22b2=1两式相减，得：y1-y2x1-x2y1+y2x1+x2=-b2a2kAB=y1-y2x1-x2=kFP=-bc，kOM=y1+y2x1+x2=12,bc=2b2a2，a2=2bc，平方可得a4=4(a2-c2)c2, c2a2=12,ca=22，故选A.【点睛】本题主要考查了点差法求斜率，以及椭圆的几何性质，同时考查了运算求解的能力，属于中档题10.已知函数f(x)=2cosx+0,2的部分函数图像如图所示，点A0,3,B6,0，则函数f(x)图像的一条对称轴方程为（）A. x=12B. x=3C. x=18D. x=24【答案】D【解析】【分析】由条件确定函数f(x)=2cosx+的解析式，再根据余弦函数图象的对称性，可得结果【详解】由f(x)=2cosx+的图象知，f（0）2cos=3，cos=32，又2，=6或=-6；又由五点作图可知，函数f(x)在A点附近呈上升趋势，应满足=-6，当=-6时，f（6）2cos（6-6）0，6-6=2，解得4；f(x)=2cos4x-6；令4x-6=k，kZ，求得x=k4+24，kZ；k0时，得函数g（x）图象的一条对称轴方程为x=24故选：D【点睛】本题主要考查由图像及性质确定解析式，关键是的确定，考查了余弦函数图象的对称性问题，是中档题11.如图，某几何体的三视图都是边长为1的正方形，则该几何体的体积为（）A. 56B. 12C. 13D. 23【答案】D【解析】【分析】由已知中的三视图可得：该几何体是棱长为1的正方体截去两个角所得的组合体，画出其直观图，并求出截去部分的体积，相减可得答案【详解】由已知中的三视图可得：该几何体是棱长为1的正方体截去A-BGC和D-BEG两个角，所得的组合体，其直观图如下图所示：故组合体的体积V12（1312111）=23，故选：D【点睛】本题考查了由三视图还原几何体并求体积问题，解决本题的关键是得到该几何体的形状，属于难题12.已知数列an的前n项和为Sn，且Sn+1+Sn=n219n2nN*，若a10a11，则Sn取最小值时n的值为（）A. 10B. 9C. 11D. 12【答案】A【解析】【分析】将已知中的n换为n-1后，两式作差得an+1+an=n-10，n2且nN*，分析可得a1000,可得结论.【详解】Sn+1+Sn=n2-19n2nN*，Sn+Sn-1=（n-1）2-19（n-1）2n2且nN*两式作差得an+1+an=n-10，n2且nN*当n=10时，a11+a10=0，又a10a11，a100S10且S9S10，又S12-S10=a12+a11=11-10=10，由选项可得：Sn取最小值时n的值为10，故选A.【点睛】本题考查了递推关系式的推导与应用，考查了数列中的最值问题，考查了分析问题的能力，属于较难题.二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知实数x0,10，则x满足不等式x24x+30的概率为_【答案】15【解析】【分析】先利用不等式求出满足不等式成立的x的取值范围，然后利用几何概型的概率公式求解详解】由题意知x0,10由x2-4x+30，解得1x3，所以由几何概型的概率公式可得使不等成立的概率为3-110)=15故答案为15【点睛】本题主要考查几何概型，将问题转化为长度问题是解题的关键，属于基础题14.已知双曲线C:x24y2=1，过点P2,0的直线与C有唯一公共点，则直线的方程为_【答案】y=12x2或y=12x2【解析】【分析】易知点P位于双曲线x2-4y2=1内部，则直线与渐近线平行时，直线与C有唯一公共点，据此确定直线方程即可.【详解】如图所示，点P位于双曲线x2-4y2=1内部，由双曲线几何性质可知，当直线与渐近线平行时，直线与C有唯一公共点，由于双曲线的渐近线为y=12x，故直线的方程为y=12x-2或y=-12x-2.【点睛】本题主要考查双曲线的性质及其应用，属于中等题.15.已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为a,O,O1分别为底面ABCD和A1B1C1D1的中心，记四棱锥O1ABCD和OA1B1C1D1的公共部分的体积为V，则体积V的值为_【答案】112a3【解析】【分析】画出图形，找到公共部分，利用中位线求得底面边长，进而求得四棱锥的体积.【详解】画出图形：可知四棱锥O1-ABCD和O-A1B1C1D1的公共部分为两个如图放置的正四棱锥,底面为正方形EFGH，在三角形O1BC中，F、G分别为O1B，O1C的中点，所以FG=a2，所以体积为V=213(a2)2a2=112a3,故答案为112a3.【点睛】本题考查四棱锥的体积的求法，考查了空间想象能力，画出公共部分的图形是关键，是中档题16.已知函数f(x)=23ax3+a-12x2,aR，当x0,1时，函数f(x)仅在x=1处取得最大值，则a的取值范围是_【答案】310，+【解析】【分析】先由f1f(0)，将a缩小在a310范围内，再求导分析导函数的单调性及极值，分a12，310af(0), a310；又f(x)=2ax(x-1-2a2a)，当a12时，f(x)0，f(x)在x0,1时单增，满足函数f(x)仅在x=1处取得最大值；当310af(0)，满足函数f(x)仅在x=1处取得最大值，综上，a310故答案为310，+【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性及最值问题，解题时要注意分类讨论思想的合理运用本题考查二次函数的图象和性质，解题时要注意分类讨论思想的合理运用，属于中档题三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.已知ABC的面积为33，且内角A、B、C依次成等差数列.（1）若sinC=3sinA，求边AC的长；（2）设D为边AC的中点，求线段BD长的最小值.【答案】（1）27（2）3.【解析】【分析】（1）由题意可得B=60，结合面积公式得ac=12.利用正弦定理角化边，据此可得a,c的值，最后由余弦定理可得AC的长.（2）由题意可得BD=12BC+BA，利用向量的运算法则和均值不等式的结论可得BD长的最小值.【详解】（1）ABC三内角A、B、C依次成等差数列，B=60设A、B、C所对的边分别为a,b,c,由S=33=12acsinB可得ac=12.sinC=3sinA，由正弦定理知c=3a,a=2,c=6.ABC中，由余弦定理可得b2=a2+c2-2accosB=28,b=27.即AC的长为27（2）BD是AC边上的中线，BD=12BC+BABD2=14BC2+BA2+2BCBA=14a2+c2+2accosB=14a2+c2+ac142ac+ac=9，当且仅当a=c时取“=”BD3,即BD长的最小值为3.【点睛】在处理三角形中的边角关系时，一般全部化为角的关系，或全部化为边的关系题中若出现边的一次式一般采用到正弦定理，出现边的二次式一般采用到余弦定理应用正、余弦定理时，注意公式变式的应用解决三角形问题时，注意角的限制范围18.已知三棱锥PABC中，PCAB,ABC是边长为2的正三角形，PB=4,PBC=60；（1）证明：平面PAC平面ABC；（2）设F为棱PA的中点，在AB上取点E，使得AE=2EB，求三棱锥FACE与四棱锥CPBEF的体积之比.【答案】（1）见解析（2）1:2.【解析】【分析】（1）在PBC中，由余弦定理求得PC，利用勾股定理得到PCBC，结合已知PCAB，可证PC平面ABC，从而得到平面PAC平面ABC；（2）利用线段的比例求得三棱锥F-ACE的体积与三棱锥P-ABC的体积的比值，进而得到结果.【详解】（1）在PBC中，PBC=60o，BC=2，PB=4，由余弦定理可得PC=23， PC2+BC2=PB2，PCBC， 又PCAB,ABBC=B，PC平面ABC，PC平面PAC，平面PAC平面ABC. （2）设三棱锥F-ACE的高为h1，三棱锥P-ABC的高为h，VF-ACE= 13SACEh1=13SABC23h12=13SABCh13 =13VP-ABC，所以三棱锥F-ACE与四棱锥C-PBEF的体积之比为1:2.【点睛】本题考查面面垂直的判定，考查空间想象能力和思维能力，训练了多面体体积的求法，是中档题.19.东方商店欲购进某种食品（保质期一天），此商店每两天购进该食品一次（购进时，该食品为刚生产）.根据市场调查，该食品每份进价8元，售价12元，如果一天内无法售出，则食品过期作废，现统计该产品100天的销售量如下表：（1）根据该产品100天的销售量统计表，求平均每天销售多少份？ （2）视样本频率为概率，以一天内该产品所获得的利润的平均值为决策依据，东方商店一次性购进17或18份，哪一种得到的利润更大？【答案】（1） 17.3 （2）见解析【解析】【分析】（1）由已知100天的销售量统计表，利用平均数公式求出平均每天销售的份数.（2）分别求得17与18时的利润，比较可得结论.【详解】（1）1510+1620+1730+1820+1910+2010100 =17.3 （2）当购进17份时，利润为17470100+164-820100+154-1610100=47.6+11.2+4.4=63.2，当购进18份时，利润为18440100+174-830100+164-1620100+154-2410100 =28.8+18+9.6+3.6=60，因为63.260可见，当购进17份时，利润更高.【点睛】本题考查平均数的求法，考查了统计中的实际应用问题，考查了分析问题解决问题的能力，解题时要认真审题，是中档题20.已知抛物线C:y2=2pxp0上一点Px0,2到焦点F的距离PF=2x0.（1）求抛物线C的方程；（2）过点P引圆M:x32+y2=r200解得p=2x0=1所以，抛物线的方程为y2=4x.（2）由题意知，过P引圆x-32+y2=r2(0-2，所以90，求证：f(x)14a2.【答案】（1）单调减区间(0,+)（2）见解析【解析】【分析】（1）求出函数g(x)的导函数，然后分析导函数的正负，求得原函数的单调区间.（2）通过导数求得f(x)的最大值，只需证f(x)max14a-2，令t=14a，构造函数lnt-t+1=h(t)，由（1）可得lnt-t+10，即可证得结论.【详解】（1）由a=18，g(x)=xlnx-12x2（x0），g(x)=lnx-x+1令h(x)=lnx-x+1，h(x)=1-xx故h(x)在(0,1)递增，在(1,+)递减，h(x)max=h(1)=0 从而当x0时，g(x)0恒成立，故g(x)的单调减区间为(0,+) （2）f(x)=1x-4a=1-4axx 由a0，令f(x