抛物线及其标准方程人教2

抛物线及其标准方程【学习目标】1重点理解理解抛物线定义及其标准方程的推导，理解焦参数p的几何意义2重点掌握掌握抛物线定义及其标准方程；掌握它们的焦点坐标、准线方程；掌握焦参数p的几何意义3能力培养培养学生分析能力、归纳能力、推理能力和数学的应用能力【学习障碍】1理解障碍(1)对抛物线定义的理解平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线抛物线的定义可以从以下几个方面理解、掌握：(i)抛物线的定义还可叙述为：“平面内与一个定点F和一条定直线l的距离的比等于1的点的轨迹叫做抛物线”这样与椭圆、双曲线有统一的第二定义(ii)定义的实质可归结为“一动三定”，一个动点，设为M；一个定点F，叫做抛物线的焦点；一条定直线l，叫做抛物线的准线；一个定值，即点M与点F的距离和它到直线l的距离之比等于1(iii)定点F不在定直线l上，否则动点M的轨迹不是抛物线，而是过点F垂直于直线l的一条直线如，到点F(1，0)和到l：xy10的距离相等的点的轨迹方程为xy10，轨迹是一条直线(2)对抛物线标准方程的理解抛物线标准方程的特点在于：等号一边是某变元的完全平方，等号另一边是另一变元的一次项，这种形式和它的位置特征相对应若对称轴为x轴，方程中的一次项就是x的一次项，且符号指出了抛物线的开口方向，即：开口向右时，该项取正号；开口向左时，该项取负号若对称轴为y轴，则方程中的一次项就是y的一次项，且符号指示了抛物线的开口方向，即：开口向上时，该项取正号；开口向下时，该项取负号2解题障碍(1)对抛物线定义应用不够灵活抛物线的定义中指明了抛物线上的点到焦点的距离与到准线距离的等价性，故二者可以相互转化，这一转化在解题中有着重要作用(2)对标准方程的应用不准确由于抛物线标准方程有四种，在应用时易混淆故需加强对标准方程的感性认识，记准标准方程与抛物线之间的对应关系【学习策略】1定义的应用由于当定点在定直线上时，到定点距离等于到定直线距离的点的轨迹为一条直线而不是抛物线，故利用定义判断轨迹时应先验证定点是否在定直线上定义在抛物线题目中有着广泛的应用，要注意定义的转化作用的应用2待定系数法尽管抛物线标准方程有四种，但方程中都只有一个待定系数，一是利用好参数p的几何意义，二是给抛物线定好位，即求抛物线方程也遵循先定位，后定量的原则3统一方程对于焦点在x轴上的抛物线的标准方程可统一设为y2ax(a0)，a的正负由题设来定，即不必事先限定a的正负，也就是说，不必设为y22px或y22px(p0)，这样能减少计算量同理，焦点在y轴上的抛物线的标准方程可统一设为x2ay(a0)【例题分析】例1求适合下列条件的抛物线的标准方程：(1)过点(3，2)；(2)焦点在直线x2y40上策略：根据已知条件求出抛物线的标准方程中的p即可，注意标准方程的形式解：(1)设抛物线方程为y22px或x22py(y0)，将点(3，2)代入方程得2p或2p，所求抛物线方程为y2x或x2y(2)令x0，由方程x2y40得y2抛物线的焦点为F(0，2)设抛物线方程为x22py，则由2，得2p8，所求的抛物线方程为x28y或令y0，由x2y40得x4，抛物线焦点为F(4，0)设抛物线方程为y22px，由4得p8则所求方程为y216x总之，所求抛物线方程为x28y或y216x评注：此两小题都有两解，注意不要丢解做题前可先画草图，全面考查已知条件本题都采用了待定系数法求解，要注意解题方法和技巧例2已知点M与点F(4，0)的距离比它到直线l：x50的距离小1，求点M的轨迹方程策略一：用坐标法按求轨迹方程的五个步骤进行解法一：设动点M的坐标为(x，y)，M到定直线l的距离为d，据题意|MF|d1即x(5)1平方整理得：y216x策略二：根据抛物线的定义可知，动点M的轨迹是以F为焦点，直线x40为准线的抛物线又由焦点位置可得，所求的点的轨迹方程是抛物线的标准方程解法二：如图851所示，设点M的坐标为M(x，y)，则由已知条件得“点M与点F(4，0)的距离比它到直线l：x50的距离小1”，就是“点M与点F(4，0)的距离等于它到直线l：x40的距离”根据抛物线的定义可知，动点M的轨迹是以F为焦点，直线x40为准线的抛物线，且4，2p16所求的抛物线方程为y216x评注：坐标法(直译法)是求曲线方程的最基本方法，也是常用方法另外在求轨迹方程的问题时，要注意应用有关曲线的定义去判断所求的点的轨迹是什么曲线，如是已经研究过的曲线，则可用标准方程去求解例3已知抛物线的顶点在原点，对称轴为x轴，抛物线上的点M(3，m)到焦点的距离等于5，求抛物线的方程和m的值策略：解本题的基本思路有两个，其一设抛物线方程，利用点M在抛物线上和点M到焦点的距离等于5，列出关于m、p的方程组，解关于m、p的方程组；其二利用抛物线的定义，得点M到准线的距离为5，直接得p的关系式，求出p值解法一：设抛物线方程为y22px(p0)，则焦点F(，0)，由题设可得：，解之得或故所求抛物线方程为：y28x，m的值为2解法二：设抛物线方程为y22px(p0)，则焦点F(，0)，准线方程为x根据抛物线的定义，点M到焦点的距离等于5，也就是M到准线的距离等于5，则35，p4因此抛物线方程为y28x，又点M(3，m)在抛物线上，于是m224，m2评注：显然解法二比解法一快捷的多，这正体现了定义的转化作用在解题中的应用例4已知抛物线y22x的焦点是F，点P是抛物线上的动点，又有点A(3，2)，求|PA|PF|的最小值，并求出取最小值时P点的坐标策略：根据已知条件画出图852，由定义知，抛物线上点P到焦点F的距离等于点P到准线l的距离d由图可知，求|PA|PF|的问题可转化为求|PA|d的问题解：将x3代入抛物线方程y22x，得y，2，A点在抛物线内部设抛物线上点P到准线l：x的距离为d，由定义知|PA|PF|PA|d由图852可知，当PAl时，|PA|d最小，最小值为即|PA|PF|的最小值为此时P点纵坐标为2，代入y22x，得x2，点P坐标为(2，2)评注：要善于用定义解题，即把|PF|转化为点P到准线的距离d，本题A点在抛物线内，则所求的点为过A点而与准线l垂直的直线与抛物线的交点，若A点在抛物线外，则所求的点就是A点与F的连线与抛物线的交点例5抛物线顶点在原点，它的准线过双曲线1的一个焦点，并且这条准线与双曲线的两个焦点连线垂直，又抛物线与双曲线交于点(，)，求抛物线和双曲线的方程策略：抛物线的顶点在原点，准线垂直于双曲线1的实轴所在的坐标轴即x轴，且又过点(，)可知抛物线方程为y22px，画略图853所示，要求抛物线与双曲线的方程，只需确定参数p，a，b的值即可解：交点在第一象限，抛物线的顶点在原点，其准线垂直于x轴，可设抛物线方程为y22px(p0)点(，)在抛物线上，()22p，p2， y24xy24x的准线为x1，且过双曲线的焦点，c1，c1，即有a2b21 又点(，)在双曲线上，1 联立解得a2，b2，4x2y21故所求的抛物线与双曲线分别为y24x和4x2y21评注：由题设条件判断抛物线方程的类型是解答本题的关键，在解决与两曲线交点有关的问题时，运用数形结合的方法，可以使问题解答简化例6斜率为1的直线经过抛物线y24x的焦点，与抛物线交于两点A、B，求线段AB的长策略：本题是直线与抛物线的位置关系问题处理方法同前面椭圆、双曲线内容其基本思路：一、建立直线方程与抛物线方程的联立方程组，解出A、B两点的坐标，用距离公式；二、利用韦达定理及弦长公式求解；三、利用抛物线的定义，|AB|xAxBp求解解：如图854所示，由抛物线的标准方程可知，焦点F(1，0)，准线方程为x1，由题设，直线AB的方程为yx1，代入抛物线方程y24x，整理得x26x10解法一：解上述方程得：x132，x232，分别代入直线方程得y122，y222，即A、B的坐标分别为(32，22)、(32，22)|AB|8解法二：设A(x1，y1)、B(x2，y2)，则x1x26，x1x21|AB|x1x2|8解法三：设A(x1，y1)、B(x2，y2)，由抛物线定义可知，|AF|AA|x11，|BF|x21|AB|x1x22628评注：本题是一个有关抛物线的焦点弦问题，其解题思想值得研究例7如图855所示，直线l1和l2相交于点M，l1l2，点Nl1，以点A、B为端点的曲线段C上的任一点到l2的距离与到点N的距离相等若AMN为锐角三角形，|AM|，|AN|3，且|BN|6建立适当的坐标系，求曲线段C的方程策略：由于曲线段C上的点到l2的距离与到点N的距离相等，故曲线段C为以N为焦点，l2为准线的抛物线的一部分在建立坐标系时，可使得曲线段C为标准形式的抛物线，也可直接利用两垂线l1、l2分别作为x轴、y轴建立直角坐标系解法一：如图856建立坐标系，以l1为x轴，MN的中垂线为y轴，点O为坐标原点依题意知，曲线段C是以点N为焦点，以l2为准线的抛物线的一段，其中A、B分别为C的端点设曲线段C的方程为y22px(p0)(xAxxB，y0)，其中xA、xB分别为A、B的横坐标p|MN|，所以M(，0)，N(，0)，由|AM|，得(xA)22pxA17 (xA)22pxA9 由联立解得xA，再将其代入式并由p0解得或因为AMN是锐角三角形，所以xA，则有由点B在曲线段C上，得xB|BN|4综上得曲线段C的方程为y28x(1x4，y0)解法二：分别以l1、l2为x轴、y轴，M为原点建立直角坐标系作AEx轴于E，作AD垂直y轴于D，作BF垂直y轴于FxA|ME|DA|AN|3，yA|DM|AMN为锐角三角形，xN|ME|EN|4，xB|BF|BN|6设P(x，y)为曲线段C上任意一点，由题意得(xxN)2y2x2，整理得：y28(x2)曲线段C的方程为y28(x2)(3x6，y0)评注：灵活运用待定系数法、坐标法及抛物线定义是解决本题的关键【同步达纲练习】1抛物线yx2的准线方程是AxBxCy2Dy42抛物线的顶点在原点，对称轴是x轴，抛物线上一点(5，2)到焦点距离是6，则抛物线的方程是Ay22xBy24xCy22xDy24x或y236x3抛物线的顶点在坐标原点，焦点是椭圆4x2y21的一个焦点，则此抛物线的焦点到准线的距离为A2BCD4动点P到直线x40的距离减去它到M(2，0)的距离之差是2，则点P的轨迹是A直线B椭圆C双曲线D抛物线5线段AB是抛物线的焦点弦，若A、B在抛物线准线上的射影分别为A1、B1，则A1FB1等于A45B60C90D1206在直角坐标平面内，到点A(1，1)和到直线x2y3距离相等的点的轨迹是A直线B抛物线C圆D双曲线7已知P是抛物线y216x上的一点，它到x轴的距离是12，则P点到焦点的距离是_8若抛物线顶点是双曲线x21的中心，且准线与此双曲线的右准线重合，则此抛物线的方程为_9过抛物线y24x的焦点作直线交抛物线于A(x1，y1)、B(x2，y2)两点，如果x1x26，那么|AB|_10已知抛物线的焦点坐标为(2，1)，准线方程为2xy0，则其顶点坐标为_11设有一颗彗星围绕地球沿一抛物线轨道运行，地球恰好位于这抛物线轨道的焦点处，当此彗星离地球为d(万千米)时，经过地球与彗星的直线与抛物线的轴的夹角为30，求这彗星与地球的最短距离12已知抛物线y24ax(a0)的焦点为A，以B(a4，0)为圆心，|BA|为半径，在x轴上方画半圆，设抛物线与半圆交于不同两点M、N，P为线段MN中点(1)求|AM|AN|的值；(2)是否存在这样的a，使|AM|、|AP|、|AN|成等差数列，若存在，求出a的值，若不存在，说明理由13在直角坐标平面上给定一曲线y22x(1)设点A的坐标为(，0)，求曲线上距点A最近的点P的坐标及相应的距离|PA|；(2)设点A的坐标为(a，0)，aR，求曲线上的点到A距离的最小值d，并写出df(a)的函数表达式参考答案【同步达纲练习】1解析：抛物线方程可化为x28y，2p8，p4，故其准线方程为y2答案：C2解析：因为点(5，2)在第二象限，且以原点为顶点，x轴为对称轴，故抛物线开口向左，设其方程为y22px，把(5，2)代入得p2，故所求方程为y24x答案：B3解析：椭圆方程4x2y21可化为 1，其焦点为(0，)，对于抛物线，顶点与焦点距离为，p，故焦点到准线的距离为答案：B4解析：因为点P到直线x4的距离比到定点M(2，0)的距离大2，故点P到直线x2的距离等于到定点M(2，0)的距离，所以P点轨迹为抛物线答案：D5解析：设准线与x轴交点为M，焦点为F，由抛物线定义|AF|AA1|，AA1FAFA1，又AA1MF，AA1FA1FM，AFA1A1FM，同理：MFBBFB1，A1FB190答案：C6解析：因为A(1，1)在直线x2y3上，故轨迹为直线答案：A7解析：抛物线y216x的准线方程为x4，故点P到x轴距离为12，则到准线距离为16，到焦点距离也就为16答案：168解析：双曲线x21的右准线方程为x，故抛物线以原点为顶点，以x为准线，故其方程为y22x答案：y22x9解析：由抛物线定义得|AB|AF|BF|x1x2x1x2p628答案：810解析：过抛物线焦点F(2，1)且垂直于准线的直线l的方程为x2y0，设l与准线的交点为M，由解得M(0，0)，而抛物线顶点为M与F的中点，故为(1，)答案：(1， )11解：如图27，设彗星轨道方程为y22px，