河北示范性高中高三数学下学期联考理

河北省示范性高中2019届高三4月联考数学（理）试题考生注意：1. 本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分，共150分.考试时间120分钟.2. 请将各题答案填写在答题卡上.3. 本试卷主要考试内容：高考全部内容.第卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若集合，则的取值范围为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【详解】因为，或，所以，解得.故选：C【点睛】本题考查并集及集合间的关系，二次不等式的解法，不等式的性质等知识，考查运算求解，是基础题2.已知mR，复数z1=1+3i，z2=m+2i，且z1z2为实数，则m=（ ）A. 23B. 23C. 3D. -3【答案】A【解析】【分析】把z1=1+3i，z2=m+2i代入z1z2，再由复数代数形式的乘除运算化简，利用虚部为0求得m值【详解】因为z1z2=(1+3i)(m-2i)=(m+6)+(3m-2)i为实数，所以3m-2=0，解得m=23.故选：A【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题3.设等比数列an的前n项和为Sn，若S2=3，S4=15，则S6=（ ）A. 61B. 62C. 63D. 75【答案】C【解析】分析：利用等比数列性质求S6.详解：由题得S2,S4S2,S6S4成等比数列，所以3,12，S615成等比数列，所以122=3(S615),S6=63.点睛：（1）本题主要考查等比数列的性质，意在考查学生对等比数列的性质的掌握能力.(2) 等比数列被均匀分段求和后，得到的数列仍是等比数列，即Sn,S2nSn,S3nS2n成等比数列.本题利用这个性质解答比较简洁，如果直接代等比数列前n项和公式，计算量有点大.4.九章算术是我国古代第一部数学专著，它有如下问题：“今有圆堡我（cng），周四丈八尺，高一丈一尺.问积几何？”意思是“今有圆柱体形的土筑小城堡，底面周长为4丈8尺，高1丈1尺.问它的体积是多少？”（注：1丈=10尺，取=3）（ ）A. 704立方尺B. 2112立方尺C. 2115立方尺D. 2118立方尺【答案】B【解析】【分析】根据题意，由底面圆周长，得到底面圆半径，再由体积公式求出其体积.【详解】设圆柱体底面圆半径为，高为h，周长为C.因C=2r，所以r=C2，所以V=r2h=C242h=C2h4=4821112 =2112（立方尺）.故选B项.【点睛】本题考查圆柱的底面圆半径、体积等相关计算，属于简单题.5.已知向量a，b满足2a+b=(1,2m)，b=(1,m)，且a在b方向上的投影是255，则实数m=（ ）A. 5B. 5C. 2D. 2【答案】D【解析】【分析】先得到a的坐标，然后表示出a在b方向上的投影，得到关于m的方程，得到答案.【详解】向量a，b满足2a+b=(1,2m)，b=(1,m)，所以a=(0,m2)，ab=m22，b(acos)=1+m2255=m22，所以5m4-16m2-16=0，即(5m2+4)(m2-4)=0，解得m=2.【点睛】本题考查向量的坐标运算，向量投影的表示，属于简单题.6.若某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）A. 240B. 264C. 274D. 282【答案】B【解析】【分析】将三视图还原成几何体，然后分别求出各个面的面积，得到答案.【详解】由三视图可得，该几何体的直观图如图所示，延长BE交DF于A点，其中AB=AD=DD1=6，AE=3，AF=4，所以表面积S=(365+36)+3422+46+30=264.故选B项.【点睛】本题考查三视图还原几何体，求组合体的表面积，属于中档题7.函数f(x)=Asin(x+)（其中A0，0）的部分图象如图所示，将函数f(x)的图象向左平移3个单位长度，得到y=g(x)的图象，则下列说法正确的是（ ）A. 函数g(x)为奇函数B. 函数g(x)为偶函数C. 函数g(x)的图象的对称轴为直线x=k+6(kZ)D. 函数g(x)的单调递增区间为512+k,12+k(kZ)【答案】D【解析】【分析】根据图像，求出fx解析式，再得到gx的解析式，再分别验证四个选项，得到答案.【详解】由函数f(x)=Asin(x+)（其中A0，0）的部分图象.可知A=3由34T=5123=34，得T=所以=2T=2=2代入点512,3得3=3sin2512+解得=2k3，取k=0，得=3可得f(x)=3sin(2x-3)，将函数f(x)的图象向左平移3个单位长度得y=g(x)=3sin2(x+3)-3=3sin(2x+3)的图象，由函数解析式可以验证只有g(x)的单调递增区间为-512+k,12+k(kZ)正确.故选D项.【点睛】本题考查由正弦型函数部分图像求解析式，三角函数图像的平移变换，正弦型函数的奇偶性，对称轴和单调区间，属于中档题.8.某学校对100间学生公寓的卫生情况进行综合评比，依考核分数分为A，B、C、D四个等级，其中分数在60,70)为D等级；分数在70,80)为C等级；分数在80,90)为B等级；分数在90,100为A等级.考核评估后，得其频率分布折线图如图所示，估计这100间学生公寓评估得分的平均数是（ ）A. 80.25B. 80.45C. 80.5D. 80.65【答案】C【解析】分析】根据折线图，得到每组的频率，利用每组的中点值计算出平均数.【详解】由折线图可知，A等级分数在90,100频率为0.02510=0.25B等级分数在80,90) 频率为0.02010=0.20C等级分数在70,80) 频率为0.04010=0.40D等级分数在60,70) 频率为0.01510=0.15平均数为650.15+750.40+850.20+950.25=80.5.故选C项.【点睛】本题可考查通过折线图计算数据的平均数，属于简单题9.定义mina,b=a,abb,ab，由集合(x,y)|0x2,0y1确定的区域记作，由曲线C：y=minx,2x+3和x轴围成的封闭区域记作M，向区域内投掷12000个点，则落入区域M的点的个数为（ ）A. 4500B. 4000C. 3500D. 3000【答案】A【解析】【分析】根据题意求出对应区域的面积比，得出对应的概率值，再计算对应的频数值【详解】试验包含的所有事件对应的集合Q（x，y）|0x2，0y1，则S212，y=minx,-2x+3=x，0x1-2x+3，1x32，画出函数的图象，如图所示；SM=12321=34故落入区域M内的概率为P=1232112=38，所以落入区域M的点的个数为1200038=4500（个）故选：A【点睛】本题考查了几何概型,函数的性质，分段函数的图像，考查作图能力，准确计算是关键，是中档题10.已知f(x)是定义在R上的偶函数，且f(x+5)=f(x3)，如果当x0,4)时，f(x)=log2(x+2)，则f(766)=（ ）A. 3B. -3C. -2D. 2【答案】D【解析】【分析】由f(x+5)=fx-3得fx周期为8，将f766转化为f2，再由偶函数得f2=f2，代入解析式，得到答案.【详解】由f(x+5)=f(x-3)，得f(x+8)=f(x)，所以f(x)是周期为8的周期函数，所以f(766)=f(968-2)=f(-2)，又fx是偶函数，所以f(-2)=f(2)=log24=2.故选D项【点睛】本题考查函数的周期性和奇偶性，属于中档题.11.已知双曲线x2a2y2b2=1(a0,b0)的右焦点为F，直线经过点F且与双曲线的一条渐近线垂直，直线与双曲线的右支交于不同两点A，B，若AF=3FB，则该双曲线的离心率为（ ）A. 62B. 52C. 233D. 3【答案】B【解析】【分析】表示出直线的方程，与双曲线联立，得到y1+y2,y1y2，由AF=3FB，得到y1=3y2，得到关于a,b,c的方程，结合b2=c2a2，得到离心率.【详解】由题意得直线的方程为x=bay+c，不妨取a=1，则x=by+c，且b2=c2-1.将x=by+c代入x2-y2b2=1，得(b4-1)y2+2b3cy+b4=0.设A(x1,y1)，B(x2,y2)，则y1+y2=-2b3cb4-1，y1y2=b4b4-1.由AF=3FB，得y1=-3y2，所以-2y2=-2b3cb4-1-3y22=b4b4-1，得3b2c2=1-b4，解得b2=14，所以c=b2+1=54=52，故该双曲线的离心率为e=ca=52.【点睛】本题考查直线与双曲线的交点，设而不求的方法得到交点之间的关系，构造a,b,c的等式，求双曲线离心率，属于中档题.12.已知函数f(x)=x23x+5，g(x)=axlnx，若对x(0,e)，x1,x2(0,e)且x1x2，使得f(x)=g(xi)(i=1,2)，则实数a的取值范围是（ ）A. (1e,6e)B. 1e,e74)C. 6e,e74)D. (0,1e6e,e74)【答案】C【解析】【分析】对x（0，e），f（x）的值域为114，5），g（x）a-1x=ax-1x，推导出a0，g（x）ming（1a）1+lna，作出函数g（x）在（0，e）上的大致图象，数形结合由求出实数a的取值范围【详解】当x(0,e)时，函数f(x)的值域为114,5).由g(x)=a-1x=ax-1x可知：当a0时，g(x)0.令g(x)=0，得x=1a，则1a(0,e)，所以g(x)min=g(1a)=1+lna，作出函数g(x)在(0,e)上的大致图象如图所示，观察可知1+lna114g(e)=ae-15，解得6ea0)经过点M(1,2)，直线与抛物线交于相异两点A，B，若MAB的内切圆圆心为(1,t)，则直线的斜率为_【答案】-1【解析】【分析】先求出抛物线方程，然后直线与抛物线联立，得到y1+y2,y1y2，点M和圆心横坐标相同，根据几何关系可知直线MA和直线MB斜率相反，将所得的y1+y2,y1y2代入，得到直线的斜率.【详解】将点M(1,2)代入y2=2px，可得p=2，所以抛物线方程为y2=4x，由题意知，直线斜率存在且不为0，设直线的方程为x=my+n(m0)，代入y2=4x，得y2-4my-4n=0，设A(x1,y1)，B(x2,y2)，则y1+y2=4m，y1y2=-4n，又由MAB的内切圆心为(1,t)，可得kMA+kMB=y1-2x1-1+y2-2x2-1=y1-2y124-1+y2-2y224-1=0，整理得y1+y2+4=4m+4=0，解得m=-1，从而的方程为y=-x+n，所以直线的斜率为-1.【点睛】本题考查直线与抛物线的位置关系，设而不求的方法表示交点间的关系，属于中档题.16.数列an满足a1=3，且对于任意的nN*都有an+1=a1+an+n1，则1a1+1a2+.+1a985=_【答案】985987【解析】【分析】由题意可得an+1an+n+2，再由累加法求得an，结合等差数列的求和公式，以及裂项相消求和，计算可得所求和【详解】由题an+1an+n+2，an+1-an=n+2，所以a2-a1=3，a3-a2=4，a4-a3=5，an-an-1=n+1(n2)，上式n-1个式子左右两边分别相加得an-a1=(n+4)(n-1)2，即an=(n+1)(n+2)2，当n=1时，满足题意，所以1an=2(1n+1-1n+2)，从而1a1+1a2+.+1a985=212-13+13-14+1986-1987=985987.故答案为985987【点睛】本题考查数列的通项公式的求法，累加法的应用，以及等差数列的求和公式，考查数列的裂项相消求和，化简整理的运算能力，属于基础题三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.1721题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22，23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17.在ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b,，且2sin2(B+C)3cosA=0.（1）求角A的大小；（2）若B=4，a=23，求边长.【答案】（1）3； （2）6+2.【解析】【分析】（1）把B+C=-A代入已知条件，得到关于cosA的方程，得到cosA的值，从而得到A的值.（2）由（1）中得到的A的值和已知条件，求出sinC，再根据正弦定理求出边长.【详解】（1）因为A+B+C=，2sin2(B+C)-3cosA=0，所以2sin2A-3cosA=0，2(1-cos2A)-3cosA=0，所以2cos2A+3cosA-2=0，即(2cosA-1)(cosA+2)=0.因为cosA(-1,1)，所以cosA=12，因为A(0,)，所以A=3.（2）sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB=3222+1222=6+24.在ABC中，由正弦定理得csinC=asinA，所以c6+24=2332，解得c=6+2.【点睛】本题考查三角函数公式的运用，正弦定理解三角形，属于简单题.18.一年之计在于春，一日之计在于晨，春天是播种的季节，是希望的开端.某种植户对一块地的n(nN*)个坑进行播种，每个坑播3粒种子，每粒种子发芽的概率均为12，且每粒种子是否发芽相互独立.对每一个坑而言，如果至少有两粒种子发芽，则不需要进行补播种，否则要补播种.（1）当n取何值时，有3个坑要补播种的概率最大？最大概率为多少？（2）当n=4时，用X表示要补播种的坑的个数，求X的分布列与数学期望.【答案】（1）当n=5或n=6时，有3个坑要补播种的概率最大，最大概率为516； （2）见解析.【解析】【分析】（1）将有3个坑需要补种表示成n的函数，考查函数随n的变化情况，即可得到n为何值时有3个坑要补播种的概率最大（2）n4时，X的所有可能的取值为0，1，2，3，4分别计算出每个变量对应的概率，列出分布列，求期望即可【详解】（1）对一个坑而言，要补播种的概率P=C30(12)3+C31(12)3=12，有3个坑要补播种的概率为Cn3(12)n.欲使Cn3(12)n最大，只需Cn3(12)nCn-13(12)n-1Cn3(12)nCn+13(12)n+1，解得5n6，因为nN*，所以n=5,6,当n=5时，C53(12)5=516；当n=6时，C63(12)6=516；所以当n=5或n=6时，有3个坑要补播种的概率最大，最大概率为516.（2）由已知，X的可能取值为0，1，2，3，4.XB(4,12)，所以X的分布列为X01234P116143814116X的数学期望EX=412=2.【点睛】本题考查了古典概型的概率求法，离散型随机变量的概率分布，二项分布，主要考查简单的计算，属于中档题19.在四棱柱ABCDA1B1C1D1中，BAD=BCD=90，ADC=60且AD=CD，BB1平面ABCD，BB1=2AB=2.（1）证明：ACB1D.（2）求BC1与平面B1C1D所成角的正弦值.【答案】（1）见解析； （2）210535.【解析】【分析】（1）根据三角形全等证明ACBD，结合ACBB1可得AC平面BB1D，故而ACB1D；（2）以AC，BD的交点O为原点，建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz，计算平面B1C1D的法向量，利用线面角的向量公式求解即可【详解】（1）证明：ADCD，DACDCA，又BADBCD，BACBCA，ABAC，ABDCBD，ADBCDB，AODCOD，AODCOD90，ACBD，又因为BB1平面ABCD，所以ACBB1，又BB1BD=B,所以AC平面BB1D，因为B1D平面BB1D，所以ACB1D.（2）以AC，BD的交点O为原点，过O作平行于AA1的直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz，由（1）及BB1=2AB=2，知B(12,0,0)，B1(12,0,2)，C1(0,32,2)，D(-32,0,0)，所以BC1=(-12,32,2)，B1C1=(-12,32,0)，B1D=(-2,0,-2).设平面B1C1D的法向量为n=(x,y,z)，由B1C1n=0B1Dn=0，得-12x+32y=0-2x-2z=0，所以x=3yx=-z，令z=-1，得n=(1,33,-1).设BC1与平面B1C1D所成的角为，则sin=cos=-12+3233-2573 =210535.【点睛】本题考查了线面垂直的判定与性质，考查空间向量的线面角求法，考查推理计算能力，属于中档题20.已知椭圆C1：x2a2+y2b2=1(ab0)的离心率为63，椭圆C2：x23a2+y23b2=1(ab0)经过点(32,32).（1）求椭圆C1的标准方程；（2）设点M是椭圆C1上的任意一点，射线MO与椭圆C2交于点N，过点M的直线与椭圆C1有且只有一个公共点，直线与椭圆C2交于A，B两个相异点，证明：NAB面积为定值.【答案】（1）x2+y213=1； （2）见解析.【解析】【分析】（1）根据椭圆的离心率和把过的点代入椭圆方程，根据得到的式子求出a,b,c.（2）当直线斜率不存在时，易得NAB的面积，当直线斜率存在时，设为y=kx+m，与椭圆C1相切，得到k和m的关系，再由直线和椭圆联立方程组，得到x1+x2、x1x2，利用弦长公式表示出AB，再得到ON和MO的关系，由O到AB的距离，得到N到AB的距离，从而计算出NAB的面积.得到结论为定值.【详解】（1）解：因为C1的离心率为63，所以69=1-b2a2，解得a2=3b2.将点(32,32)代入x23a2+y23b2=1，整理得14a2+14b2=1.联立，得a2=1，b2=13，故椭圆C1的标准方程为x2+y213=1.（2）证明：当直线的斜率不存在时，点M为(1,0)或(-1,0)，由对称性不妨取M(1,0)，由（1）知椭圆C2的方程为x23+y2=1，所以有N(-3,0).将x=1代入椭圆C2的方程得y=63，所以SNAB=12MNAB=12(3+1)263 =2+63.当直线的斜率存在时，设其方程为y=kx+m，将y=kx+m代入椭圆C1的方程得(1+3k2)x2+6kmx+3m2-1=0，由题意得=(6km)2-4(1+3k2)(3m2-1)=0，整理得3m2=1+3k2.将y=kx+m代入椭圆C2的方程，得(1+3k2)x2+6kmx+3m2-3=0.设A(x1,y1)，B(x2,y2)，则x1+x2=-6km1+3k2，x1x2=3m2-31+3k2，所以AB=1+k2(x1+x2)2-4x1x2 =1+k2233k2+1-m23k2+1=261+k23m.设M(x0,y0)，N(x3,y3)，ON=MO，则可得x3=-x0，y3=-y0.因为x02+3y02=1x323+y32=1，所以x02+3y02=12(x023+y02)=1，解得=3（=-3舍去），所以ON=3MO，从而NM=(3+1)OM.又因为点O到直线的距离为d=m1+k2，所以点N到直线的距离为(3+1)d=(3+1)m1+k2，所以SNAB=12(3+1)dAB=12(3+1)m1+k2261+k23m =2+63，综上，NAB的面积为定值2+63.【点睛】本题考查求椭圆的方程，直线与椭圆相切和相交，设而不求的方法表示弦长和三角形面积等，涉及知识点较多，对计算要求较高，属于难题.21.已知函数f(x)=lnx,g(x)=2a3x3+2(1-a)x2-8x+8a+7.（1）若曲线y=g(x)在点(2,g(2)处的切线方程是y=ax-1，求函数g(x)在0,3上的值域；（2）当x0时，记函数h(x)=f(x),f(x)0时，g(x)=2ax2+4(1-a)x-8=2a(x-2)(x+2a).由g(x)=0，得x=2.当x(0,2)时，g(x)0.若函数y=h(x)有三个零点，则需满足g(1)0且g(2)0，解得0a316.（iii）当a0时，g(x)=2ax2+4(1-a)x-8=2a(x-2)(x+2a).由g(x)=0，得x1=2，x2=-2a.当-2a2，即a-1时，因为g(x)极大值=g(2)=163a-12，即-1a0时，若g(1)0，此时函数y=h(x)有三个零点，符合题意；若g(1)0，得-320a0，所以(a)(-320)0，此时函数y=h(x)有四个零点，不符合题意.综上所述：满足条件的实数a-3200,316).【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，考查利用导数求函数的极值，考查分类讨论的数学思想方法，属难题（二）选考题：共10分.请考生从第22，23两题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一个题目计分，作答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑.22.在直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为x=3+2cosy=1+2sin（为参数），以直角坐标系的原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系.（1）求圆C的极坐标方程；（2）设曲线l1的极坐标方程为=6(0)，曲线l2的极坐标方程为=3(0)，求三条曲线C，l1，l2所围成图形的面积.【答案】（1）=4sin(+3)； （2）3+23【解析】【分析】（1）利用直角坐标和极坐标转化的关系，得到答案.（2）判断出三条曲线围成的图形为一个三角形和一个扇形，然后分别求出其面积，相加后得到答案.【详