高三数学向量在解析几何中的应用练习题苏教

高三数学向量在解析几何中的应用专题练习题高三数学向量在解析几何中的应用专题练习题 1. 设 A、B 是抛物线上两点，为坐标原点，且，点的42 2 xyO 2 OBOA OP P 坐标为，则直线 AB 的斜率为 （ ） 1 , 0 （A） （B）1 （C）2 （D）3 2 1 2. 设=（1，） ，=（0，1） ，则满足条件 01，01OM 1 2 ON OP OM OP ON 的动点 P 的变动范围（图中阴影部分，含边界）是 （ ） 3. 设 F1、F2为椭的左、右焦点，过椭圆中心任作一直线与椭圆交于 P、Q 两点，1 34 22 yx 当四边形 PF1QF2面积最大时，的值等于 （ ） 21 PFPF A0B1C2D4 4.O 为空间中一定点，动点 P 在 A、B、C 三点确定的平面内且满足（）（OAOP ）=0，则点 P 的轨迹一定过ABC 的 ACAB （ ） A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心 5.ABC 中，A、B 两点的坐标分别为（4，2） 、 （3，1） ，O 为坐标原点。已知|=CA ，且直线的方向向量为 =（1，2） ，求顶点 C 的坐标。CDOCDBADCB/,| |,|DCi 6.已知（0 为坐标原点，动点 M 满足)0 , 3(),0 , 3( 21 OFOF 12 | 10.MFMF （1）求点 M 的轨迹 C； （2）若点 P、Q 是曲线 C 上的任意两点，且,求的值。0OQOP 22 2 OQOP PQ o y x 2 1 B o y x1 1 2 A o y x 1 1 2 C o y x -2 1 -1 D 7.已知：过点 A（0，1）且方向向量为的直线 l 与C:(x2)2+(y3)2=1 相交于), 1 ( ka M、N 两点。 （1）求实数 k 的取值范围； （2）求证：=定值。 （3）若 O 为坐标原点，ANAM 且12，求 k 的值。OM ON 8. 已知动点 P 与双曲线的两个焦点、的距离之和为 6。1 32 22 yx 1 F 2 F （1）求动点 P 的轨迹 C 的方程； （2）若，求的面积；3 21 PFPF 21F PF （3）若已知点 D（0，3） ，M、N 在 C 上且，求实数的取值范围。DNDM 9.已知点 H（3，0） ，点 P 在 y 轴上，点 Q 在 x 轴正半轴上，点 M 在直线 PQ 上，且 0，（1）当 P 在 y 轴上移动时，求点 M 的轨迹方程；HPPMPM 2 3 MQ （2）过点 T（1，0）作直线 l 交轨迹 C 与 A、B 两点，若在 x 轴上垂直一点 E，使)0 ,( 0 x ,且与的夹角为 600，求的值| AE| ABAEAB 0 x 10. 如图所示，已知 A、B、C 是长轴长为 4 的椭圆上的三点，点 A 是长轴的一个端点，BC 过椭圆中心 O，且，|BC|2|AC|0AC BC （I）建立适当的坐标系，求椭圆方程； （II）如果椭圆上有两点 P、Q，使PCQ 的平分线垂直于 AO，证明：存在实数 ，使 PQAB 11. 已知常数 a0，向量，经过定点 A（0，a）以为方向向)0 , 1 (), 0(namnm 量的直线与经过定点 B（0，a）以为方向向量的直线相交于点 P，其中.mn2R （）求点 P 的轨迹 C 的方程； （）若过 E（0，1）的直线 l 交曲线 C 于 M、N 两点，求的取值范围., 2 2 aENEM 12. 已知焦点在轴上的椭圆是它的两个焦点.x 22 12 2 1(0), 4 xy bF F b （）若椭圆上存在一点 P，使得试求的取值范围; 12 0,PFPF b （）若椭圆的离心率为，经过右焦点的直线 与椭圆相交于 A、B 两点,且 1 2 2 Fl ,求直线 的方程. 22 20F AF B l 13.13. 已知 F1、F2分别是椭圆的左、右焦点，P 是此椭圆上的一动)0( 1 2 2 2 2 ba b y a x 点，并且的取值范围是 21 PFPF . 3 4 , 3 4 （）求此椭圆的方程； （）点 A 是椭圆的右顶点，直线 y=x 与椭圆交于 B、C 两点（C 在第一象限内） ，又 P、 Q 是此椭圆上两点，并且满足求证：向量与共线., 0) | ( 21 FF CQ CQ CP CP PQAB 14.如图，已知的面积为 m，且OFPOF FP 1 （I）若，求向量与的夹角的取值范围； 1 2 3 2 mOF FP （II）设，且。若以 O 为中心，F 为焦点的椭圆经过点P，当取得|OFm 4 3 |OF 2|OP 最小值时，求此椭圆的方程。 4.已知：O 为坐标原点，点 F、T、M、P1满足,), 1(),0 , 1 (MTFMtOTOF 。, 11 FTMpFTMpOFTP/ 1 （1）当 t 变化时，求点 P1的轨迹 C。 （2）若 P2是轨迹 C 上同于 P1的另一点，且存在非零实数 ，使得、 21 FPFP 求证：1 | 1 | 1 21 FPFP 5.设平面内两向量满足：，点 M（x, y）的坐标满足：ba,1| , 2| ,baba 互相垂直。baxbyax与)4( 2 求证：平面内存在两个定点 A、B，使对满足条件的任意一点 M 均有|等于定|MBMA 值。 6.已知（O 为坐标原点） ，的夹角为 60，A、O、B 顺时),1 , 3(OAOBOAOB与且, 1| 针排列，点 E、F 满足，点 G 满足。OBOFOAOE 1 ,EFEG 2 1 （1）当 变化时，求点 G 的轨迹方程；（2）求的最小值。|OG 7.如图，点 F(a, 0) (a0), 点 P 在 y 轴上运动，点 M 在 x 轴上运动，点 N 为动点，且 。0, 0PMPNPFPM （1）求点 N 的轨迹 C； （2）过点 F（a, 0）的直线 l（不与 x 轴垂直）与曲线 C 交于 A、B 两点， 设 K(a,0)，的夹角为 ，求证。KBKA与 2 0 8.已知） 。babaybxa3()3(), 1 (), 0 , ( （1）求点 P（x, y）的轨迹方程； （2）若直线 l: y=kx+m(km0)与曲线 C 交于 A、B 两点，D（0，1）且，求 m|BDAD 的取值范围。 9.已知点 H（3，0） ，点 P 在 y 轴上，点 Q 在 x 轴的正半轴上，点 M 在直线 PQ 上，且 。MQPMPMHP 2 3 , 0 （1）当 P 在 y 辆上移动时，求点 M 的轨迹 C。 （2）过点 T（1,0）作直线 l 交轨迹 C 于 A、B 两点，若在 x 轴上存在一点 E（x0, 0） ，使 ，且的夹角为 60，求 x0的值。|ABAE ABAE与 参考答案参考答案 1.B 2.A 设点 P(x,y) 则 0(x,y)(1,)1 0(x,y)(0,1)1 即 0x+y1 0y1 1 2 1 2 因此动点 P 的变化范围是 A 中的阴影部分 3.C 4.D 5.【解解】如图：，|CA|CB0 | | CB CA ，A、D、B 三点共线，D 在线段 AB 上，| AD| DB 且 =0 | | DB AD | | CB CA | | DB AD CD 是ABC 中C 的角平分线。 A、D、B 三点共线O、C、D 三点共线,即直线 CD 过原点。OCCD 又直线 CD 的方向向量为 （1，2） ，直线 CD 的斜率为 2i 直线 CD 的方程为：y2x （注意：至此，以将题中的向量条件全部转化为平面解析几何条件，下面用解析几何的方法解注意：至此，以将题中的向量条件全部转化为平面解析几何条件，下面用解析几何的方法解 决该题决该题） 易得：点 A（4，2）关于直线 y2x 的对称点是 A（4,2） ， （怎样求对称点？怎样求对称点？） A（4,2）在直线 BC 上 直线 BC 的方程为：3xy100 由得 C（2，4） 0103 2 yx xy 6.【解解】 （1）由10 知：| 1 MF| 2 MF 动点 M 到两定点 F1和 F2的距离之和为 10 根据椭圆的第一定义：动点 M 的轨迹为椭圆：1 1625 22 yx （2）点 P、O 是上任意两点1 1625 22 yx 设 P()，Q()sin4 ,cos5sin4 ,cos5 （注意注意：这是点在椭圆上的一种常规设法，也是椭圆的参数方程的一个应用） =0 得：0 OPOQsinsin16coscos25 而、都可以用 、 的三角函数表示，利用可以解得： 2 PQ 22 OQOP 22 2 OQOP PQ 400 41 7.【解解】直线 l 过点 A（0，1）且方向向量为（1，k）a 直线 l 的方程为：ykx1 （注意注意：这里已知方向向量即已知直线的斜率） 将其代入C：，得：1)3()2( 22 yx07)1 (4)1 ( 22 xkxk x C B A y O D x Q P y O 由题意：得：07)1 (4)1 (4 2 kk 3 74 3 74 k （注意注意：这里用了直线和方程组成方程组，方程有两根；本题还可以用圆与直线有两个交点， d0 即所求的轨迹方程为：（x0） （抛物线去掉顶点）xy4 2 （2）设直线 l：yk(x1)（k0） ，代入得：xy4 2 设 A（） 、B（） ，则0)2(2 2222 kxkxk 11, y x 22, y x 线段 AB 的中点坐标为（） 1 42 21 2 2 21 xx k k xx kk k2 , 2 2 2 线段 AB 的垂直平分线方程为：(x) kk y 12 2 2 2 k k 在中，令 y0，得 (与 x 轴的交点)1 2 2 0 k x ,且与的夹角为 600，ABE 为等边三角形| AE| ABAEAB 点 E 到直线 AB 的距离为|AB| 2 3 而|AB|= 2 2 2 1 14 k k k | 12)1(32 2 2 4 k k k k 解得： 代入 从而 4 3 2 k 3 11 0 x 10.解：（I）以 O 为原点，OA 为 X 轴建立直角坐标系，设 A（2，0） ，则椭圆方程为 22 2 1 4 xy b O 为椭圆中心，由对称性知|OC|OB|又，ACBC0AC BC A 又|BC|2|AC|OC|AC| AOC 为等腰直角三角形 点 C 的坐标为（1，1） 点 B 的坐标为（1，1） 将 C 的坐标（1，1）代入椭圆方程得，则求得椭圆方程为 2 4 3 b 22 3 1 44 xy （II）由于PCQ 的平分线垂直于 OA（即垂直于 x 轴） ，不妨设 PC 的斜率为 k，则 QC 的斜 率为k，因此 PC、QC 的直线方程分别为 yk（x1）+1，yk（x1）+1 由 得（13k2）x26k（k1）x3k26k10 *） 22 (1) 1 3 1 44 yk x xy 点 C（1，1）在椭圆上， x1 是方程（*）的一个根，xP1 即 xP 2 2 361 31 kk k 2 2 361 31 kk k 同理 xQ 2 2 361 31 kk k 直线 PQ 的斜率为 2 2 2 2(31) 2 ()2 1 31 12 3 31 PQPQ PQPQ k kk yyk xxk k k xxxx k （定值） 又ACB 的平分线也垂直于 OA直线 PQ 与 AB 的斜率相等 （kAB=） 1 3 向量，即总存在实数，使成立/PQAB PQAB 11.解：（）设 P 点的坐标为（x，y） ，则),(),(ayxBPayxAP 又.)2 , 1 (2),(), 0(),0 , 1 (amnanmamn故 由题知向量与向量AP.)( ,axaynm故平行 又向量与向量BP.2,axaymn故平行 两方程联立消去参数，得点 P（x，y）的轨迹方程是 6 分.2,2)( 222222 xaayxaayay即 （），故点 P 的轨迹方程为 2 2 a, 122 22 xy 此时点 E（0，1）为双曲线的焦点. 若直线 l 的斜率不存在，其方程为 x=0，l 与双曲线交于、，) 2 2 , 0(M) 2 2 , 0( N 此时 8 分. 2 1 2 1 1) 1 2 2 )(1 2 2 (ENEM 若直线 l 的斜率存在，设其方程为化简得代入, 1 kxy122 22 xy 直线 l 与双曲线交于两点， . 0 14) 1(2 22 kxxk . 1 . 0 10) 1(8)4( 222 kkkk解得且 设两交点为， 则10 分),(),( 2211 yxNyxM. ) 1(2 1 , 1 2 2 21 2 21 k xx k k xx 此时),(),() 1,() 1,( 22112211 kxxkxxyxyxENEM ). 1 2 1 ( 2 1 ) 1(2 1 ) 1( 22 2 21 2 21 2 21 kk k xxkxxkxx A O B C 当; 2 1 ) 1 2 1 ( 2 1 , 01,11 2 2 k ENEMkk故时 当. 2 1 ) 1 2 1 ( 2 1 , 01,11 2 2 k ENEMkkk故时或 综上所述，的取值范围是ENEM )., 2 1 2 1 ,( 12.（）解法一：依题意得:， 1 分02b 设， 00 (,)P xy 12 (,0),( ,0),(0)FcF cc 由得，即，2 分 12 0PFPF 222 00 0 xyc 222 00 4xyb 又， . 4 分 22 00 2 1 4 xy b 2 2 0 2 816 4 b x b 0 22,x 2 2 816 04 4 b b 综上可得：6 分02b 解法二：设， 00 (,)P xy 12 (,0),( ,0),(0)FcF cc ， 1 分 1020 |,|PFaexPFaex 由得 2 分 12 0PFPF 222 00 ()()4aexaexc 可得， 4 分 4222 2 0 222 2168 4 aa bb x abb 下同解法一 注：若设上顶点为 B，根据得，即 12 90FBF 222 (2 )aac 222 24()aab 因为，所以。此种解法给满分2a 02b （）解法一：， 1 ,2, 2 c ea a 2 1,3cb 椭圆方程为， 7 分 22 1 43 xy 依题意可设直线 的方程为l(1)yk x 由 得 22 1 43 (1) xy yk x 2222 (34)84120kxk xk 设，则 8 分 1122 ( ,), (,)A x yB xy 22 1212 22 8412 , 3434 kk xxx x kk ， 9 分 22 20F AF B 1212 23,20 xxyy ，10 分 122 xxx 2 2 2 8 3 34 k x k 2 2 2 94 34 k x k 2 1 2 49 34 k x k ， 2 12 2 412 34 k x x k 222 222 (94)(49)412 (34)34 kkk kk 11 分 5 2 k 所以直线 的方程为 12 分l 5 (1) 2 yx （）解法二：， 1 ,2, 2 c ea a 2 1,3cb 椭圆方程为， 7 分 22 1 43 xy 设， 8 分 1122 ( ,), (,)A x yB xy 22 20F AF B 1212 23,20 xxyy 又， 2222 1122 1,1 4343 xyxy 可解得，即 11 分 22 73 5 , 48 xy 73 5 ( ,) 48 B 所以 5 2 k 所以直线 的方程为l 5 (1) 2 yx 13.解：（）设，则 22 2100 ), 0 , (),0 ,(),(baccFcFyxP其中 ，),(),() 0 , ( 00001 ycxyxcPF).,(),() 0 , ( 00002 yxcyxcPF 从而2 分.),(),( 22 0 2 0 2 0 22 0000021 cyxycxyxcycxPFPF 由于，所以 22 0 2 0 2 ayxb, 22 21 22 caPFPFcb 即 4 分.2 2 21 22 bPFPFab 又已知， 3 4 3 4 21 PFPF 所以 . 3 4 , 4 , 3 4 , 3 4 2 2 2 2 22 b a b ab 从而椭圆的方程是 6 分 . 1 4 3 4 22 yx （）因为的平分线平行，所以 PCQ CQ CQ CP CP FF CQ CQ CP CP 与而 | , 0) | ( 21 PCQ 的平分线垂直于 x 轴. 7 分 由 ).1 , 1 ( , 1 , 1 , , 1 4 3 4 22 C y x xy yx 解得 不妨设 PC 的斜率为 k，则 QC 的斜率为k，因此 PC 和 QC 的方程分别为 1 4 3 4 , 1) 1( , 0, 1) 1(, 1) 1( 22 yx xky kxkyxky由其中 消去 y 并整理得 9 分(*).0163) 1(6)31 ( 222 kkxkkxk C（1，1）在椭圆上，x=1 是方程（*）的一个根. 从而 , 31 163 , 31 163 2 2 2