高三数学复习必备精品教案：三角函数的图像与性质

用心 爱心 专心 三角函数的图象与性质 一一 【课标要求课标要求】 1能画出 y=sin x, y=cos x, y=tan x 的图像，了解三角函数的周期性； 2借助图像理解正弦函数、余弦函数在0，2，正切函数在（/2，/2）上的性质 （如单调性、最大和最小值、图像与 x 轴交点等） ； 3结合具体实例，了解 y=Asin（wx+）的实际意义；能借助计算器或计算机画出 y=Asin（wx+）的图像，观察参数 A，w， 对函数图像变化的影响 二二 【命题走向命题走向】 近几年高考降低了对三角变换的考查要求，而加强了对三角函数的图象与性质的考查， 因为函数的性质是研究函数的一个重要内容，是学习高等数学和应用技术学科的基础，又是 解决生产实际问题的工具，因此三角函数的性质是本章复习的重点。在复习时要充分运用数 形结合的思想，把图象与性质结合起来，即利用图象的直观性得出函数的性质，或由单位圆 上线段表示的三角函数值来获得函数的性质，同时也要能利用函数的性质来描绘函数的图象， 这样既有利于掌握函数的图象与性质，又能熟练地运用数形结合的思想方法 预测 2010 年高考对本讲内容的考察为： 1题型为 1 道选择题（求值或图象变换） ，1 道解答题（求值或图像变换） ； 2热点问题是三角函数的图象和性质，特别是 y=Asin（wx+）的图象及其变换； 三三 【要点精讲要点精讲】 1正弦函数、余弦函数、正切函数的图像 1 -1 y=sinx -3 2 -5 2 -7 2 7 2 5 2 3 2 2 - 2 -4 -3-2 43 2 - o y x 1 -1 y=cosx -3 2 -5 2 -7 2 7 2 5 2 3 2 2 - 2 -4 -3 -2 4 3 2 - o y x y=tanx 3 2 2 - 3 2 - - 2 o y x y=cotx 3 2 2 2 - - 2 o y x 用心 爱心 专心 2三角函数的单调区间： xysin的递增区间是 2 2 2 2 kk，)(Zk ， 递减区间是 2 3 2 2 2 kk，)(Zk ； xycos的递增区间是kk22，)(Zk ， 递减区间是kk22，)(Zk ， xytan的递增区间是 22 kk，)(Zk ， 3函数BxAy)sin(），（其中00A 最大值是BA，最小值是AB ，周期是 2 T，频率是 2 f，相位是x， 初相是；其图象的对称轴是直线)( 2 Zkkx ，凡是该图象与直线By 的交 点都是该图象的对称中心 4由 ysinx 的图象变换出 ysin(x)的图象一般有两个途径，只有区别开这两个 途径，才能灵活进行图象变换。 利用图象的变换作图象时，提倡先平移后伸缩，但先伸缩后平移也经常出现无论哪种变 形，请切记每一个变换总是对字母 x 而言，即图象变换要看“变量”起多大变化，而不是 “角变化”多少。 途径一：先平移变换再周期变换(伸缩变换) 先将 ysinx 的图象向左(0)或向右(0平移个单位，再将图象上各点的 横坐标变为原来的 1 倍(0)，便得 ysin(x)的图象 途径二：先周期变换(伸缩变换)再平移变换。 先将 ysinx 的图象上各点的横坐标变为原来的 1 倍(0)，再沿 x 轴向左(0)或向 右(0平移 | 个单位，便得 ysin(x)的图象。 5由 yAsin(x)的图象求其函数式： 给出图象确定解析式y=Asin（x+）的题型，有时从寻找 “五点”中的第一零点 （ ，0）作为突破口，要从图象的升降情况找准第一个零点的位置。 6对称轴与对称中心： 用心 爱心 专心 sinyx的对称轴为 2 xk ，对称中心为(,0) kkZ； cosyx的对称轴为xk，对称中心为 2 (,0)k ； 对于sin()yAx和cos()yAx来说，对称中心与零点相联系，对称轴与最 值点联系。 7求三角函数的单调区间：一般先将函数式化为基本三角函数的标准式，要特别注意 A、的正负利用单调性三角函数大小一般要化为同名函数,并且在同一单调区间； 8求三角函数的周期的常用方法： 经过恒等变形化成“sin()yAx、cos()yAx”的形式，在利用周期公 式，另外还有图像法和定义法 9五点法作 y=Asin（x+）的简图： 五点取法是设 x=x+，由 x 取 0、 2 、 2 3 、2 来求相应的 x 值及对应的 y 值， 再描点作图。 四四 【典例解析典例解析】 题型 1：三角函数的图象 例 1 （2009 浙江理）已知a是实数，则函数( )1sinf xaax 的图象不可能是 ( ) 解析 对于振幅大于 1 时，三角函数的周期为 2 ,1,2TaT a ，而 D 不符合要求， 它的振幅大于 1，但周期反而大于了2 答案：D 例 2 （2009 辽宁理，8）已知函数( )f x=Acos(x)的图象如图所示， 2 () 23 f ，则 (0)f=（ ） 用心 爱心 专心 A. 2 3 B. 2 3 C.- 1 2 D. 1 2 答案 C 题型 2：三角函数图象的变换 例 3试述如何由 y= 3 1 sin（2x+ 3 ）的图象得到 y=sinx 的图象 解析：y= 3 1 sin（2x+ 3 ） ）（ 纵坐标不变 倍横坐标扩大为原来的 3 sin 3 1 2 xy xysin 3 1 3 纵坐标不变 个单位图象向右平移 xysin 3 横坐标不变 倍纵坐标扩大到原来的 另法答案： （1）先将 y= 3 1 sin（2x+ 3 ）的图象向右平移 6 个单位，得 y= 3 1 sin2x 的图象； （2）再将 y= 3 1 sin2x 上各点的横坐标扩大为原来的 2 倍（纵坐标不变） ，得 y= 3 1 sinx 的 图象； （3）再将 y= 3 1 sinx 图象上各点的纵坐标扩大为原来的 3 倍（横坐标不变） ，即可得到 y=sinx 的图象。 例 4(2009 山东卷理)将函数sin2yx的图象向左平移 4 个单位, 再向上平移 1 个单位,所 得图象的函数解析式是( ). A.cos2yx B. 2 2cosyx C.) 4 2sin(1 xy D. 2 2sinyx 解析 将函数sin2yx的图象向左平移 4 个单位,得到函数sin2() 4 yx 即 sin(2)cos2 2 yxx 的图象,再向上平移 1 个单位,所得图象的函数解析式为 2 1 cos22cosyxx ,故选 B. 答案:B 【命题立意】:本题考查三角函数的图象的平移和利用诱导公式及二倍角公式进行化简解析式 的基本知识和基本技能,学会公式的变形. 7.(2009 山东卷文)将函数sin2yx的图象向左平移 4 个单位, 再向上平移 1 个单位,所得图 用心 爱心 专心 象的函数解析式是( ). A. 2 2cosyx B. 2 2sinyx C.) 4 2sin(1 xy D. cos2yx 解析 将函数sin2yx的图象向左平移 4 个单位,得到函数sin2() 4 yx 即 sin(2)cos2 2 yxx 的图象,再向上平移 1 个单位,所得图象的函数解析式为 2 1 cos22cosyxx ,故选 A. 答案:A 【命题立意】:本题考查三角函数的图象的平移和利用诱导公式及二倍角公式进行化简解析式 的基本知识和基本技能,学会公式的变形. 题型 3：三角函数图象的应用 例 5已知电流I与时间t的关系式为sin()IAt。 （）右图是sin()IAt（0，| 2 ） 在一个周期内的图象，根据图中数据求sin()IAt 的解析式； （）如果t在任意一段 1 150 秒的时间内，电流 sin()IAt都能取得最大值和最小值，那么 的最小正整 数值是多少？ 解析:本小题主要考查三角函数的图象与性质等基础知识，考查运算能力和逻辑推理能 力 （）由图可知 A300。 设t1 1 900 ，t2 1 180 ， 则周期T2（t2t1）2（ 1 180 1 900 ） 1 75 。 2 T 150。 又当t 1 180 时，I0，即 sin（150 1 180 ）0， 而| 2 ， 6 。 故所求的解析式为300sin(150) 6 It 。 300 -300 1 180 - 1 900 o I t 用心 爱心 专心 （）依题意，周期T 1 150 ，即 2 1 150 ， （0） 300942，又 N*， 故最小正整数 943。 点评:本题解答的开窍点是将图形语言转化为符号语言其中，读图、识图、用图是形数结合的有效途径 例 6 （1） （2009 辽宁卷理）已知函数( )f x=Acos(x) 的图象如图所示， 2 () 23 f ，则(0)f=( ) A. 2 3 B. 2 3 C. 1 2 D. 1 2 解析 由图象可得最小正周期为 2 3 于是 f(0)f(),注意到与 关于对称 2 3 2 3 2 7 12 所以 f()f( ) 2 3 2 3 2 答案 B （2） （2009 宁夏海南卷理）已知函数 y=sin（x+） （0, -）的图像如图所示， 则 =_ 解析：由图可知， 544 ,2 ,1 255 89 , 510 Tx 把代入y=si n有： 1=si n 图 用心 爱心 专心 答案： 9 10 题型 4：三角函数的定义域、值域 例 7 （1）已知 f（x）的定义域为0，1 ，求 f（cosx）的定义域； （2）求函数 y=lgsin（cosx）的定义域； 分析：求函数的定义域：（1）要使 0cosx1， （2）要使 sin（cosx）0，这里的 cosx 以它的值充当角。 解析：（1）0cosx12k 2 x2k+ 2 ，且 x2k（kZ） 。 所求函数的定义域为xx2k 2 ，2k+ 2 且 x2k，kZ。 （2）由 sin（cosx）02kcosx2k+（kZ） 。 又1cosx1，0cosx1。 故所求定义域为xx（2k 2 ，2k+ 2 ） ，kZ。 点评：求三角函数的定义域，要解三角不等式，常用的方法有二：一是图象，二是三角 函数线 例 8已知函数 f（x）= x xx 2cos 1cos5cos6 24 ，求 f（x）的定义域，判断它的奇偶性， 并求其值域 解析：由 cos2x0 得 2xk+ 2 ，解得 x 42 k ，kZ，所以 f（x）的定义域为 x|xR 且 x 42 k ，kZ， 因为 f（x）的定义域关于原点对称， 且 f（x）= x xx x xx 2cos 1cos5cos6 )2cos( 1)(cos5)(cos6 2424 =f（x） 。 所以 f（x）是偶函数。 又当 x 42 k （kZ）时， f（x）=1cos3 2cos ) 1cos3)(1cos2( 2cos 1cos5cos6 2 2224 x x xx x xx 。 所以 f（x）的值域为y|1y 2 1 或 2 1 y2。 用心 爱心 专心 点评：本题主要考查三角函数的基本知识，考查逻辑思维能力、分析和解决问题的能力。 题型 5：三角函数的单调性 例 9求下列函数的单调区间： （1）y= 2 1 sin（ 4 3 2x ） ；（2）y=sin（x+ 4 ）。 分析：（1）要将原函数化为y= 2 1 sin（ 3 2 x 4 ）再求之。 （2）可画出y=|sin（x+ 4 ）|的图象 解：（1）y= 2 1 sin（ 4 3 2x ）= 2 1 sin（ 3 2x 4 ） 。 故由 2k 2 3 2x 4 2k+ 2 。 3k 8 3 x3k+ 8 9 （kZ） ，为单调减区间； 由 2k+ 2 3 2x 4 2k+ 2 3 。 3k+ 8 9 x3k+ 8 21 （kZ） ，为单调增区间。 递减区间为3k 8 3 ，3k+ 8 9 ， 递增区间为3k+ 8 9 ，3k+ 8 21 （kZ） 。 （2）y=|sin（x+ 4 ）|的图象的增区间为k+ 4 ，k+ 4 3 ，减区间为 k 4 ，k+ 4 。 - 5 4 - 3 4 7 4 5 4 3 4 4 - 4 o y x 例 10 （2002 京皖春文，9）函数 y=2sinx的单调增区间是（ ） A 2k 2 ，2k 2 （kZ） B 2k 2 ，2k 2 3 （kZ） C 2k，2k （kZ） D 2k，2k （kZ 用心 爱心 专心 解析：A；函数 y=2x为增函数，因此求函数 y=2sinx的单调增区间即求函数 y=sinx 的单调 增区间 题型 6：三角函数的奇偶性 例 11判断下面函数的奇偶性：f（x）=lg（sinx+x 2 sin1） 。 分析：判断奇偶性首先应看定义域是否关于原点对称，然后再看 f（x）与f（x）的关系。 解析：定义域为 R，又 f（x）+f（x）=lg1=0， 即 f（x）=f（x） ，f（x）为奇函数。 点评：定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要（但不充分）条件。 例 12 （2001 上海春）关于 x 的函数 f（x）=sin（x+）有以下命题： 对任意的，f（x）都是非奇非偶函数； 不存在，使 f（x）既是奇函数，又是偶函数； 存在，使 f（x）是奇函数； 对任意的，f（x）都不是偶函数。 其中一个假命题的序号是_.因为当=_时，该命题的结论不成立 答案：，k（kZ） ；或者， 2 +k（kZ） ；或者， 2 +k（kZ） 解析：当=2k，kZ 时，f（x）=sinx 是奇函数。当=2（k+1），kZ 时 f（x） =sinx 仍是奇函数。当=2k+ 2 ，kZ 时，f（x）=cosx，或当=2k 2 ，kZ 时， f（x）=cosx，f（x）都是偶函数.所以和都是正确的。无论为何值都不能使 f（x）恒 等于零。所以 f（x）不能既是奇函数又是偶函数。和都是假命题。 点评：本题考查三角函数的奇偶性、诱导公式以及分析问题的能力，注意 kZ 不能不写， 否则不给分，本题的答案不惟一，两个空全答对才能得分 题型 7：三角函数的周期性 例 13求函数 y=sin6x+cos6x 的最小正周期，并求 x 为何值时，y 有最大值。 分析：将原函数化成 y=Asin（x+）+B 的形式，即可求解 解析：y=sin6x+cos6x=（sin2x+cos2x） （sin4xsin2xcos2x+cos4x） =13sin2xcos2x=1 4 3 sin22x= 8 3 cos4x+ 8 5 。 T= 2 。 当 cos4x=1，即 x= 2 k （kZ）时，ymax=1。 例 14设)0(cossin)(xbxaxf的周期T，最大值4) 12 ( f， 用心 爱心 专心 （1）求、a、b的值； （2）的值终边不共线，求、的两根，为方程、若)tan(0)(xf。 解析：(1) )sin()( 22 xbaxf， T， 2， 又 )(xf的最大值。 4) 12 ( f， 22 4ba ，且 12 2 cosb 12 2 sina4 由 解出 a=2 , b=3. (2) ) 3 2sin(42cos322sin2)( xxxxf， 0)()(ff， ) 3 2sin(4) 3 2sin(4 ， 3 22 3 2 k， 或 ) 3 2(2 3 2 k， 即 k (、 共线，故舍去) ， 或 6 k， 3 3 ) 6 tan()tan( k )(Zk 。 点评：方程组的思想是解题时常用的基本思想方法；在解题时不要忘记三角函数的 周期性。 题型