高三数学复习02 导数的概念及应用

导数的概念及应用（教师版）高考在考什么【考题回放】1文函数是减函数的区间为(D). . . .1（理）函数y=xcosx-sinx在下面哪个区间内是增函数（B ） A () B (,2) C () D (2,3)2若曲线的一条切线与直线垂直，则的方程为A A BC D3. 函数，已知在时取得极值，则=（B）A.2B.3C.4D.54. 在函数的图象上，其切线的倾斜角小于的点中，坐标为整数的点的个数是（ D ）A3B2C1D05曲线y=x3在点(1,1)处的切线与x轴、直线x=2所围成的三角形的面积为_8/3_6. 设a为实数,函数 ()求的极值.()当a在什么范围内取值时,曲线轴仅有一个交点.【专家解答】：(I)=321若=0，则=，=1当变化时，变化情况如下表：(，)(，1)1(1，+)+00+极大值极小值的极大值是，极小值是(II)函数由此可知，取足够大的正数时，有0，取足够小的负数时有0，所以曲线=与轴至少有一个交点结合的单调性可知：当的极大值0即(1，+)时，它的极大值也大于0，因此曲线=与轴仅有一个交点，它在(，)上。当(1，+)时，曲线=与轴仅有一个交点高考要考什么【考点透视】（理科）1了解导数概念的实际背景,掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义；理解导函数的概念。2熟记基本导数公式；掌握两个函数和、差、积、商的求导法则.了解复合函数的求导法则.会求某些简单函数的导数。3理解可导函数的单调性与其导数的关系；了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件。4会求一些实际问题的最值。（文科）1了解导数概念的某些实际背景。2理解导数的几何意义。3掌握函数，y=c(c为常数)、y=xn(nN+)的导数公式，会求多项式函数的导数。4理解极大值、极小值、最大值、最小值的概念.并会用导数求多项式函数的单调区间、极大值、极小值及闭区间上的最大值和最小值。5会利用导数求某些简单实际问题的最值。【热点透析】1.考查导数的概念和某些实际背景，求导公式和求导法则。2.导数的简单应用，利用导数研究函数的单调性和极值，复现率较高。3.综合考查，包括解决应用问题，将导数内容和传统内容中有关不等式和函数的单调性、方程根的分布、解析几何中的切线问题等有机的结合在一起，设计综合试题。高考将考什么【范例1】已知函数在处取得极值. （1）讨论和是函数的极大值还是极小值；（2）过点作曲线的切线，求此切线方程. （1）解：，依题意，即 解得. . 令，得.若，则，故在上是增函数，在上是增函数.若，则，故在上是减函数.所以，是极大值；是极小值.（2）解：曲线方程为，点不在曲线上.设切点为，则点M的坐标满足.因，故切线的方程为注意到点A（0，16）在切线上，有 化简得，解得.所以，切点为，切线方程为.【点晴】过已知点求切线，当点不在曲线上时，求切点的坐标成了解题的关键.【文】已知函数f（x）x3ax2bxc在x与x1时都取得极值（1）求a、b的值与函数f（x）的单调区间（2）若对x1，2，不等式f（x）c2恒成立，求c的取值范围。解：（1）f（x）x3ax2bxc，f（x）3x22axb由f（），f（1）32ab0得a，b2f（x）3x2x2（3x2）（x1），函数f（x）的单调区间如下表：x（，）（，1）1（1，）f（x）00f（x）极大值极小值所以函数f（x）的递增区间是（，）与（1，），递减区间是（，1）（2）f（x）x3x22xc，x1，2，当x时，f（x）c为极大值，而f（2）2c，则f（2）2c为最大值。要使f（x）f（2）2c，解得c2【范例2】设函数，求a的取值范围，使函数f(x)在区间上是单调函数。解：(1)当时，恒成立， f(x)在区间上是减函数。（2）当时，解不等式得上f(x)是单调递减速函数得上f(x)是单调递增函数综合得：当且仅当a时，f(x)在区间上是单调函数。【点晴】由导数研究函数的单调性在学习中要引起足够的重视【文】设，点P（，0）是函数的图象的一个公共点，两函数的图象在点P处有相同的切线.（）用表示a，b，c；（）若函数在（1，3）上单调递减，求的取值范围.解：（I）因为函数，的图象都过点（，0），所以， 即.因为所以.又因为，在点（，0）处有相同的切线，所以而将代入上式得 因此故，（II）解法一.当时，函数单调递减.由，若；若由题意，函数在（1，3）上单调递减，则所以又当时，函数在（1，3）上单调递减.所以的取值范围为解法二：因为函数在（1，3）上单调递减，且是（1，3）上的抛物线，所以 即解得所以的取值范围为【范例3】设定义在R上的函数f(x)a0x4+a1x3+a2x2a3x(其中aiR，i0，1，2，3)，当时，f(x)取得极大值，并且函数yf(x)的图象关于y轴对称。求f(x)的表达式；试在函数f (x)的图象上求两点，使以这两点为切点的切线互相垂直，且切点的横坐标都在区间1，1上；求证：|f(sinx)f(cosx)|)(xR)解：f(x)4a0x33a1x22a2x+a3为偶函数。a0a20，f(x)a1x3a3x又当x时，f(x)取得极大值 解得f(x)x3x，f(x)2x21 解：设所求两点的横坐标为x1、x2，则(2x121)(2x221)1又x1，x21，1，2x1211，1，2x2211，12x121，2x221中有一个为1，一个为1， x10，x21，所求的两点为(0，0)与(1，)或(0，0)与(1，)。证明：易知sinx1，1，cosx1，1。当0x时，f(x)0；当x0。f(x)在0，为减函数，在，1上为增函数，又f(0)0，f() ，f(1)，而f(x)在1，1上为奇函数，f(x)在1，1上最大值为，最小值为，f(sinx)，f(cosx)， |f(sinx)f(cosx)|f(sinx)|f(cosx)|【点晴】本题证明不等式的关键是转化为求最值问题【文】已知是二次函数，不等式的解集是且在区间上的最大值是12。（I）求的解析式；（II）是否存在实数使得方程在区间内有且只有两个不等的实数根？若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由。解：（I）是二次函数，且的解集是可设在区间上的最大值是由已知，得（II）方程等价于方程设则当时，是减函数；当时，是增函数。方程在区间内分别有惟一实数根，而在区间内没有实数根，所以存在惟一的自然数使得方程在区间内有且只有两个不同的实数根。【范例4】已知函数. （1）求函数的反函数的导数 （2）假设对任意成立，求实数m的取值范围.解：（1）；（2）令：所以都是增函数.因此当时，的最大值为的最小值为而不等式成立当且仅当即，于是得 解法二：由得设于是原不等式对于恒成立等价于 7分由，注意到故有，从而可均在上单调递增，因此不等式成立当且仅当即 【点晴】求参数的取值范围，凡涉及函数的单调性、最值问题时，用导数的知识解决较简单.【文】如图所示，曲线段OMB ： 在点（即点M）处的切线PQ交x轴于点P，交线段AB于点Q，且BA轴于A，oBoQMAPxyo(I)试用t表示切线PQ的方程；(II)求QAP的面积g（t）的最大值. 同时指出g（t）在（m ，n）上单调递减时的最小值。