江苏姜堰溱潼中学高三数学基础知识梳理第5章平面向量

第五章 平面向量基础知识梳理一、向量的概念：有向线段： 叫做有向线段.向量： 叫做向量. 向量通常用有向线段或表示.向量的模：向量的 又叫做向量的模，记作 .两个重要概念： 零向量： 叫做零向量.记作 . 注意：零向量没有规定它的方向，因此零向量的方向是任意的. 单位向量： 叫做单位向量.注意：单位向量的方向与它所在向量的方向相同.相等向量： 叫做相等向量. 向量与相等记作 .平行向量： 叫做平行向量. 向量与平行可记作 . 规定：与任一向量平行.即，.共线向量： 叫做共线向量. 注意：若与是共线向量，则与的方向 ，它们所在的直线 它们的夹角是 .相反向量： 叫做相反向量. 的相反向量是 ，的相反向量是 ，的相反向量是 .两个非零向量和的夹角： .二、向量的运算：向量的加法： 向量与的和的定义： 向量加法法则：三角形法则（请画图于右）+（首尾相连） 平行四边形法则（请画图于右）+（起点相同） 向量加法运算律：交换律： 结合律：特例：= ，= ，= .向量加法的坐标运算：设=（x1，y1），=（x2，y2），则= .向量的减法： 向量与的差的定义：向量加上的相反向量叫做与的差，记作+()=.OAB 是怎样的一个向量?答： .向量减法法则：设=，=，ABD则=-= .（请画图于右）.重要结论：设，是两个不共线向量，则以AB、AD为邻边的平行四边形的两条对角线的长分别是这两个向量和与差的模.特例：= ，= ，= .向量减法的坐标运算：设=（x1，y1），=（x2，y2），则= .实数与向量的积： 定义：实数与向量的积是一个向量，记作，它的长度与方向规定如下： |= ； 当0时，的方向与的方向 ，当0时，的方向与的 方向 ；当=0时，= . 运算律：（）= ；（+）= ；（）= . 实数与向量的积的坐标运算： 特例：若R，则= .向量的数量积（或内积）： 定义：已知非零向量和，它们的夹角为，则= .运算律：= ；（）= = ；（+）= . 注意：向量的数量积没有结合律！ 特别地，= ，或|= .向量的数量积的坐标运算： 设=（x1，y1），=（x2，y2），则= .特例：= ，= .三、重要定理、公式及方法：平面向量基本定理： 如果和是同一平面内的两个不共线向量，那么对该平面内的任一向量有且只有一对实数1、2，使=1+2. 向量模的计算公式：设=（x，y），则|= .如何证明A（x1，y1）、B（x2，y2）、C（x3，y3）三点共线？两个向量平行、垂直的充要条件：大 前 提充 要 条 件向 量 表 示坐 标 表 示平 行=(x1，y1), =(x2，y2),且垂 直=(x1，y1), =(x2，y2),且、注意：若不考虑上面的大前提，则向量=(x1，y1),和=(x2，y2)平行的充要条件是x1y2-x2y1=0.向量=(x1，y1),和=(x2，y2)垂直的必要不充分条件是x1x2+y1y2=0.已知向量=(x1，y1),和=(x2，y2)，它们的夹角为，则cos= .线段的中点坐标公式：已知P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则线段P1P2的中点坐标是 .三角形的重心