高三数学等比数列人教实验B文知识精讲

高三数学等比数列高三数学等比数列人教实验人教实验 B B 版（文）版（文） 【本讲教育信息本讲教育信息】 一. 教学内容： 等比数列 二. 教学内容： 等比数列的定义、通项、前 n 项和及其应用 三. 教学重点： 等比数列 四. 课标要求 1. 通过实例，理解等比数列的概念； 2. 探索并掌握等比数列的通项公式与前 n 项和的公式； 3. 能在具体的问题情境中，发现数列的等比关系，并能用有关知识解决相应的问题。体 会等比数列与指数函数的关系。 五. 命题走向 等比数列与等差数列同样在高考中占有重要的地位，是高考出题的重点。客观性的试 题考查等比数列的概念、性质、通项公式、求和公式等基础知识和基本性质的灵活应用， 对基本的运算要求比较高，解答题大多以数列知识为工具。 预测 08 年高考对本讲的考查为： （1）题型以等比数列的公式、性质的灵活应用为主的 12 道客观题目； （2）关于等比数列的实际应用问题或知识交汇题的解答题也是重点； （3）解决问题时注意数学思想的应用，像通过逆推思想、函数与方程、归纳猜想、等 价转化、分类讨论等，它将能灵活考查考生运用数学知识分析问题和解决问题的能力。 【教学过程】 一、基本知识回顾 1. 等比数列定义 一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么 这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比；公比通常用字母表示，q(0)q 即：。 （注意：“从第二项起” 、 “常数”、等比数列的公比和项都 1n a (0) n aq qq 不为零） 2. 等比数列通项公式为：。)0( 1 1 1 qaqaa n n 说明：（1）由等比数列的通项公式可以知道：当公比 q=1 时该数列既是等比数列也是 等差数列；（2）由等比数列的通项公式知：若为等比数列，则。 n a m n m n a q a 3. 等比中项 如果在中间插入一个数，使成等比数列，那么叫做的等比中ba与GbGa,Gba与 项（两个符号相同的非零实数，都有两个等比中项） 。 4. 等比数列前 n 项和公式 一般地，设等比数列的前 n 项和是，当 123 , n a a aa n S 123n aaaa 时， 或；当 q=1 时，（错位相减法） 。1q q qa S n n 1 )1 ( 11 1 n n aa q S q 1 naSn 说明：（1）和各已知三个可求第四个；（2）注意求和公式中 n Snqa, 1nn Sqaa, 1 是，通项公式中是，不要混淆；（3）应用求和公式时，必要时应讨论 n q 1n q1q 的情况。1q 【典型例题典型例题】 例 1. “公差为 0 的等差数列是等比数列” ；“公比为的等比数列一定是递减数列” ； 2 1 “a,b,c 三数成等比数列的充要条件是 b2=ac” ；“a,b,c 三数成等差数列的充要条件是 2b=a+c” ，以上四个命题中，正确的有（ ） A. 1 个B. 2 个C. 3 个D. 4 个 解解：四个命题中只有最后一个是真命题。选 A 命题 1 中未考虑各项都为 0 的等差数列不是等比数列； 命题 2 中可知 an+1=an，an+1an未必成立，当首项 a1an，此时该数列为递增数列； 命题 3 中，若 a=b=0，cR，此时有，但数列 a,b,c 不是等比数列，所以应是acb 2 必要而不充分条件，若将条件改为 b=，则成为不必要也不充分条件。ac 点评点评：该题通过选择题的形式考查了有关等比数列的一些重要结论，为此我们要注意 一些有关等差数列、等比数列的重要结论。 例 2. 命题 1：若数列an的前 n 项和 Sn=an+b(a1)，则数列an是等比数列； 命题 2：若数列an的前 n 项和 Sn=an2+bn+c(a0)，则数列an是等差数列； 命题 3：若数列an的前 n 项和 Sn=nan，则数列an既是等差数列，又是等比数列； 上述三个命题中，真命题有（ ） A. 0 个B. 1 个C. 2 个D. 3 个 解解： 由命题 1 得，a1=a+b，当 n2 时，an=SnSn1=(a1)an1。若an是等比数 列，则=a，即=a，所以只有当 b=1 且 a0 时，此数列才是等比数列。 1 2 a a ba aa ) 1( 由命题 2 得，a1=a+b+c，当 n2 时，an=SnSn1=2na+ba，若an是等差数列，则 a2a1=2a，即 2ac=2a，所以只有当 c=0 时，数列an才是等差数列。 由命题 3 得，a1=a1，当 n2 时，an=SnSn1=a1，显然an是一个常数列，即公 差为 0 的等差数列，因此只有当 a10；即 a1 时数列an才又是等比数列。 点评点评：等比数列中通项与求和公式间有很大的联系，上述三个命题均涉及到 Sn与 an的 关系，它们是 an=，正确判断数列an是等差数列或等比数列，都必 , 1 1 nn SS a 时当 时当 2 1 n n 须用上述关系式，尤其注意首项与其他各项的关系。上述三个命题都不是真命题，选择 A。 例 3. （2000 全国理，20） （）已知数列cn ，其中 cn2n3n，且数列cn1pcn 为等比数列，求常数 p；（）设an 、 bn是公比不相等的两个等比数列，cn=an+bn， 证明数列cn不是等比数列。 解：（）解：因为cn1pcn是等比数列， 故有：（cn1pcn）2（cn2pcn1） （cnpcn1） ， 将 cn2n3n代入上式，得： 2n13n1p（2n3n） 22n23n2p（2n13n1） 2n3np（2n13n1） ， 即（2p）2n（3p）3n2 （2p）2n1（3p）3n1 （2p）2n1（3p）3n1 ， 整理得（2p） （3p）2n3n0，解得 p=2 或 p=3。 6 1 （）证明：设an 、 bn的公比分别为 p、q，pq，cn=an+bn。 为证cn不是等比数列只需证 c22c1c3。 事实上，c22（a1pb1q）2a12p2b12q22a1b1pq， c1c3（a1b1） （a1p2b1q2）a12p2b12q2a1b1（p2q2） ， 由于 pq，p2q22pq，又 a1、b1不为零， 因此 c22c1c3，故cn不是等比数列。 点评点评：本题主要考查等比数列的概念和基本性质，推理和运算能力。 例 4. （2003 京春，21）如图 1，在边长为 l 的等边ABC 中，圆 O1为ABC 的内切圆， 圆 O2与圆 O1外切，且与 AB，BC 相切，圆 On+1与圆 On外切，且与 AB、BC 相切， 如此无限继续下去.记圆 On的面积为 an（nN*） ，证明an是等比数列； 图 1 证明：记 rn为圆 On的半径，则 r1=tan30=。=sin30=，所以 2 l l 6 3 nn nn rr rr 1 1 2 1 rn=rn1（n2） ， 3 1 于是 a1=r12=，故an成等比数列。 9 1 )(, 12 2 11 2 n n n n r r a al 点评点评：该题考查实际问题的判定，需要对实际问题情景进行分析，最终根据对应数值 关系建立模型加以解析。 例 5. 一个等比数列有三项，如果把第二项加上 4，那么所得的三项就成为等差数列，如 果再把这个等差数列的第三项加上 32，那么所得的三项又成为等比数列，求原来的等比数 列。 解解：设所求的等比数列为 a，aq，aq2； 则 2(aq+4)=a+aq2，且(aq+4)2=a(aq2+32)； 解得 a=2，q=3 或 a=，q=5； 9 2 故所求的等比数列为 2，6,18 或，。 9 2 9 10 9 50 点评点评：利用等比数列的基本量，先求公比，后求其它量，这是解等差数列、等比qa , 1 数列的常用方法，其优点是思路简单、实用，缺点是有时计算较繁。 例 6. （2006 年陕西卷）已知正项数列，其前项和满足 n an n S 且成等比数列，求数列的通项 2 1056, nnn Saa 1531 ,aaa n a. n a 解解：10Sn=an2+5an+6， 10a1=a12+5a1+6，解之得 a1=2 或 a1=3。 又 10Sn1=an12+5an1+6(n2)， 由得 10an=(an2an12)+6(anan1)，即(an+an1)(anan15)=0 an+an10 , anan1=5 (n2)。 当 a1=3 时，a3=13，a15=73，a1, a3,a15不成等比数列 a13； 当 a1=2 时,，a3=12， a15=72，有 a32=a1a15 , a1=2, an=5n3。 点评点评：该题涉及等比数列的求和公式与等比数列通项之间的关系，最终求得结果。 例 7. （1） （2006 年辽宁卷）在等比数列中,前项和为,若数列 n a 1 2a n n S 也是等比数列，则等于（ ）1 n a n S A. B. C. D. 1 22 n 3n2n31 n （2） （2006 年北京卷）设，则等于 4710310 ( )22222() n f nnN ( )f n （ ） A. B. C. D. 2 (81) 7 n 1 2 (81) 7 n 3 2 (81) 7 n 4 2 (81) 7 n （3） （1996 全国文，21）设等比数列an的前 n 项和为 Sn，若 S3S62S9，求数列 的公比 q； 解解：（1）因数列为等比，则，因数列也是等比数列，则 n a 1 2 n n aq 1 n a 22 12112221 2 (1)(1)(1)22 (12 )01 nnnnnnnnnnnn n aaaaaa aaaaaa aqqq 即，所以，故选择答案 C。2 n a 2 n Sn （2）D； （3）解：若 q=1，则有 S3=3a1，S6=6a1，S9=9a1。 因 a10，得 S3+S62S9，显然 q=1 与题设矛盾，故 q1。 由 S3+S6=2S9，得，整理得 q3（2q6q31） q qa q qa q qa 1 )1 (2 1 )1 ( 1 )1 ( 9 1 6 1 3 1 =0，由 q0，得 2q6q31=0，从而（2q31） （q31）=0，因 q31，故 q3=，所以 2 1 q=。 2 4 3 点评点评：对于等比数列的求和问题要先分清数列的通项公式，对应好首项和公比求出最 终结果即可。 例 8. （2007 全国文 17）设等比数列的公比，前项和为. 已知 n a1q n n S ，求的通项公式. 342 25aSS， n a 解解：由题设知， 1 1 (1) 0 1 n n aq aS q ， 则 由得， 42 15(1)qq 22 (4)(1)0qq(2)(2)(1)(1)0qqqq 因为，解得或. 1q 1q 2q 当时，代入得，通项公式；1q 1 2a 1 2 ( 1)n n a 当时，代入得，通项公式. 2q 1 1 2 a 1 1 ( 2) 2 n n a 点评点评：本题考查等比数列的前 n 项和公式和通项公式，其中包含了方程和分类讨论的 思想。 例 9. （1） （2005 江苏 3）在各项都为正数的等比数列an中，首项 a13，前三项和为 21，则 a3a4a5（ ） A. 33B. 72C. 84 D. 189 （2） （2000 上海，12）在等差数列an中，若 a100，则有等式 a1+a2+an=a1+a2+a19n（n19，nN 成立.类比上述性质，相应地：在等比数列) bn中，若 b91，则有等式 成立。 解解：（1）答案：C；解：设等比数列an的公比为 q(q0)，由题意得:a1+a2+a3=21,即 3+3q+3q2=21,q2+q-6=0，求得 q=2(q=3 舍去)，所以 a3+a4+a5=q2(a1+a2+a3)=4故,8421 选 C。 （2）答案：b1b2bnb1b2b17n（n17，nN*； 解：在等差数列an中，由 a100，得 a1a19a2a18ana20nan1a19n2a100， 所以 a1a2ana190，即 a1a2ana19a18an1， 又a1a19，a2a18，a19nan1 a1a2ana19a18an1a1a2a19n， 若 a90，同理可得 a1a2ana1a2a17n， 相应地等比数列bn中，则可得：b1b2bnb1b2b17n（n17，nN*。 点评点评：本题考查了等比数列的相关概念及其有关计算能力。 例 10. （1）设首项为正数的等比数列，它的前 n 项和为 80，前 2n 项和为 6560，且前 n 项中数值最大的项为 54，求此数列的首项和公比 q。 解解：设等比数列an的前 n 项和为 Sn，依题意设：a10，Sn=80 ，S2n=6560。 S2n2Sn ，q1； 从而 =80，且=6560。 1 1 1 n aq q 2 1(1 ) 1 n aq q 两式相除得 1+qn=82 ，即 qn=81。 a1=q10 即 q1,从而等比数列an为递增数列，故前 n 项中数值最大的项为 第 n 项。 a1qn-1=54,从而(q1)qn-1=qn-qn-1=54。 qn-1=8154=27 q=3。 1n n q q 27 81 a1=q1=2 故此数列的首项为 2，公比为 3。 （2）在和之间插入 n 个正数，使这个数依次成等比数列，求所插入的 n n 1 1n2n 个数之积。 解一解一：设插入的 n 个数为，且公比为 q， n xxx, 21 则, 2 , 1, 1 ),1(, 1 1 11 nkq n xnnqq n n k k nn 。 22 ) 1( 212 21 ) 1 ( 11111 nnn n n n n nn n n q n q n q n q n q n xxxT 解二解二：设插入的 n 个数为， n xxx, 21 1, 1 10 nx n x n n n xxxxxx nnn 1 12110 nn xxxT 21 n nnnn n n xxxxxxT) 1 ()()()( 1121 2 。 2 ) 1 ( n n n n T 点评点评：第一种解法利用等比数列的基本量，先求公比，后求其它量，这是解等差qa , 1 数列、等比数列的常用方法，其优点是思路简单、实用，缺点是有时计算较繁；第二种解 法利用等比数列的性质，与“首末项等距”的两项积相等，这在解题中常用到。 例 11. （2007 高考天津文）在数列中，. n a 1 2a 1 431 nn aan n * N （）证明数列是等比数列； n an （）求数列的前项和； n an n S （）证明不等式，对任意皆成立. 1 4 nn SS n * N 解解：（）证明：由题设，得 1 431 nn aan ，. 1 (1)4() nn anan n * N 又，所以数列是首项为 ，且公比为的等比数列. 1 11a n an14 （）解：由（）可知，于是数列的通项公式为 1 4n n an n a . 1 4n n an 所以数列的前项和. n an 41(1) 32 n n n n S （）证明：对任意的，n * N 1 1 41(1)(2)41(1) 44 3232 nn nn nnn n SS . 2 1 (34)0 2 nn 所以不等式，对任意皆成立. 1 4 nn SS n * N 点评点评：本小题以数列的递推关系式为载体，主要考查等比数列的概念、等比数列的通 项公式及前项和公式、不等式的证明等基础知识，考查运算能力和推理论证能力. n 例 12. （2007 山东文）设是公比大于 1 的等比数列，为数列的前项和. n a n S n an 已知，且构成等差数列. 3 7S 123 334aaa， （1）求数列的通项。 n a n a （2）令求数列的前项和 Tn. 31 ln12 nn ban ， n bn 解解：（1）由已知得 123 13 2 7 : (3)(4) 3. 2 aaa aa a ， 解得. 2 2a 设数列的公比为，由，可得. n aq 2 2a 13 2 2aaq q ， 又，可知， 3 7S 2 227q q 即， 2 2520qq 解得. 12 1 2 2 qq， 由题意得. 12qq， . 1 1a 故数列的通项为. n a 1 2n n a （2）由于 31 ln12 nn ban ， 由（1）得 3 31 2 n n a 3 ln23 ln2 n n bn 2ln3bb n1n 是等差数列. n b 12nn Tbbb = 2 bbn n1 2ln 2 1nn3 2 2lnn32ln3n 1 () 2 (3ln23ln2) 2 3 (1) ln2. 2 n n bb n n n 故. 3 (1) ln2 2 n n n T 点评点评：对于出现等差、等比数列的综合问题，一定要区分开各自的公式，不要混淆。 二、思维总结 1. 等比数列的知识要点（可类比等差数列学习） （1）掌握等比数列定义q（常数） （nN） ，同样是证明一个数列是等比数列的 n n a a 1 依据，也可由 anan2来判断； 2 1n a （2）等比数列的通项公式为 ana1qn1； （3）对于 G 是 a、b 的等比中项，则 G2ab，G；ab （4）特别要注意等比数列前 n 项和公式应分为 q1 与 q1 两类，当 q1 时， Snna1，当 q1 时，Sn，Sn。 q qa n 1 )1 ( 1 q qaa n 1 1 2. 等比数列的判定方法 定义法：对于数列，若，则数列是等比数列； n a)0( 1 qq a a n n n a 等比中项：对于数列，若，则数列是等比数列。 n a 2 12 nnn aaa n a 3. 等比数列的性质 等比数列任意两项间的关系：如果是等比数列的第项，是等比数列的第 n an m a 项，且，公比为，则有；mnm q mn mn qaa 对于等比数列，若，则，也就是： n avumn vumn aaaa ，如图所示：。 23121nnn aaaaaa n n aa n aa nn aaaaaa 1 12 , 12321 若数列是等比数列，是其前 n 项的和，那么， n a n S * Nk k S kk SS 2 成等比数列。 kk SS 23 如下图所示： k kkkk S SS kk SS kkk aaaaaaaa 3 232k 31221 S 321 【模拟试题模拟试题】 （答题时间：50 分钟） 1. 等比数列中, 则的前项和为（ ） n a,243, 9 52 aa n a4 A. B. C. D. 81120168192 2. 与，两数的等比中项是（ ）12 12 A. B. C. D. 111 2 1 3. 已知一等比数列的前三项依次为，那么是此数列的第（ ）33 , 22 ,xxx 2 1 13 项 A. 2 B. 4C. 6D. 8 4. 在公比为整数的等比数列中，如果那么该数列的前项 n a,12,18 3241 aaaa8 之和为（ ） A. B. C. D. 513512510 8 225 5. 在等比数列中, 若则=_ 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 n a,75, 3 93 aa 10 a 6. 在等比数列中, 若是方程的两根，则- n a 101,a a0623 2 xx 47