高中数学“反客为主”巧解题学法指导

高中数学“反客为主”巧解题有一些数学题，题中涉及到若干个量，其中有常量、也有变量，同学们在解答时，由于思维定势，不太习惯把其中的常量暂视为变量、而把其中的变量暂视为常量的做法，结果求解过程异常复杂甚至难以解出。其实，常量与变量是相对的，是辩证统一的关系，如果根据需要，将它们的地位调换，即“反客为主”，常常使许多难题巧妙获解，下面举例说明：一. “反客为主”解高次方程【例1】解方程简析：这是一个关于x的一元三次方程，若采取因式分解法求解，一时真不知道如何分解；若利用三次方程的求根公式来求解，显然十分繁琐，况且考纲也没有要求中学生掌握三次方程的求根公式。怎么办？我们仔细观察原方程的系数，发现与2累次出现，如果把用a表示，则原方程就是x32ax2a2xa10由于x不为0，此方程可整理成关于a的一元二次方程：xa2（2x21）a（x31）0。利用二次方程求根公式不难解得ax1或ax1，于是有x1或x1，从而可求出原方程的根为：，。（解答略）注：将一个高次方程中累次出现的系数与k分别用a与a2来表示，再转化为解关于a的一元二次方程，这种“反客为主”的求解法，体现了化归的数学思想，也说明了常量与变量的辩证统一的关系，同学们要细心领会并掌握它。请同学们仿例，解方程。二. “反客为主”解方程组【例2】解关于x、y、z、的方程组简析：本题若采取常规消元法求解，无疑十分麻烦。仔细观察原方程，不难发现这四个方程形式一致，即可视a、b、c、d是关于t的一元四次方程t4t3zt2ytx0的四个根。由韦达定理：abcd，abacadbcbdcdz，abcabdacdbcdy，abcdx。从而可得原方程组的解为（x，y，z，）（abcd,abcabdacdbcd，abacadbcbdcd，abcd）。（解答略）注：本题告诉我们，未知数与已知数在一定条件下是可相互转化的，这就是辩证法。由本题的简析可知，本题可推广到一般情形，请同学们自己完成。三. “反客为主”求值域【例3】设aR，f（x）ax2xa（1x1），若1，求函数f（x）的值域。简析：将f（x）视为x的二次函数来求解，难度较大，若将f（x）视为a的一次函数，即令g（a）（x21）ax，则问题转化为求函数g（a）在1，1上的值域。这样处理也许容易一些，不妨一试。解：当x1时，显然，下设1x1。因为，关于a 的一次函数g（a）（x21）ax在a1,1上单调递减，所以g（1） g（a） g（1）。又g（1）（x）2，g（1）（x）2，即，故所求的函数f（x）的值域为。注：本题变更主元，将一个难处理的二次函数f（x）视为一次函数g（a），根据这个一次函数g（a）在1，1上单调递减性，很容易地解决了问题，足见“反客为主”这一数学方法的威力。四. “反客为主”定参数【例4】设a为正整数，且关于x的二次方程ax22（2a1）x4（a3）0至少有一个整数根，试确定参数a的值。简析：若针对x的二次方程用求根公式，再对判别式讨论，异常复杂。如果变更主元，从原方程解出参数a，再由a1,这样处理可以一试。解：设x0是原方程的一个整数根，若视a为主元，则原方程可化为a。由a为正整数知，解得：4x02且x02。从而x0只可能取4、3、1、0、1、2，逐一代入a的表达式中，可得a的取值为1、6、10、3、1。故满足条件的所有整数a的值共四个：1、3、6、10。注：设a为整数，且关于x的二次方程ax22（a3）x（a2）0至少有一个整数根，试确定参数a的值。（答案：2，4，10）五. “反客为主”证不等式【例5】已知aR且0a1，求证；对任意的x0，都有不等式2lg恒成立。简析：若令2xt（t0，t1），则问题转化为证明，即证明（a23a）t42at3（2a2）t22t20（*）上述（*）是关于变量t的四次不等式，再证下去，思维受阻，怎么办？我们重新审视（*），（*）中有两个变元，主元是t，参元是a,t的最高次数是4，而a的最高次数是2，何不把这个关于t的四次式视为关于a的二次式呢？即令g（a）t4a2（3t42t32t2）a2（t2t1），a（0，1），从而转证g（a） 0，也许能柳暗花明，不妨一试。证明：因为，关于a的二次函数g（a）t4a2（3t42t32t2）a2（t2t1）是开口向上的抛物线，又g（0）2（t2t1）0，且g（1）2（t1）2（t2t1）0，故g（a）在（0，1）上恒为负，即g（a） 0在（0，1）上恒成立，这就证明了（*）成立，故原不等式成立。注：本题变更（*