高中数学：双曲线第一定义的应用_第1页
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文档简介

双曲线第一定义的应用双曲线第一定义，是双曲线的重要概念，对它的准确理解与正确运用，是学好双曲线的关键，本文举例说明双曲线第一定义的应用。 1、焦半径例1、设是双曲线的左、右焦点，点在双曲线上，若点到焦点的距离等于，求点到焦点的距离。分析：已知双曲线上的点到一个焦点的距离，求该点到另一个焦点的距离是双曲线第一定义的直接利用形式。解析：由及，得 或。由， 知右支的顶点到的距离为，而已知，说明点在左支上，此时，所以，点到焦点的距离为。点评：此类问题可以是一解，也可以是两解，如：当时，有两解；当时，有一解，因此，对运算结果必须做合理性分析。2、焦点三角形例2、如图，双曲线其焦点为，过作直线交双曲线的左支于两点，且，则的周长为 。分析：本题中，都是焦半径，而的周长恰好是这四条焦半径之和，应用第一定义便可得。解析：由；由，； 故的周长为。点评：本题结合定义，求出，再求周长，简便易行；假如本题未给图形及条件“过作直线交双曲线的左支于两点”中“左支”两字，情况又会怎样呢？例4、已知双曲线的左、右两焦点分别为，为双曲线上一点，若，且，求的面积。分析：欲求面积，首先要确定的值，由第一定义及可以构成方程组，通过方程组求得及的值。解析：由，又或，由于，得，又，即，从而得，因为且，得或；若，则，此时，不合题意；若，则，此时，符合题意；那么，从而故的面积为点评：本题考查的是双曲线的定义及常规的运算能力；运算过程既要用要方程思想又要注重分类讨论思想，体现了重思维、轻运算量这一大纲要求。例5、设是双曲线左右两个焦点，P是双曲线左支上的点，已知成等差数列，且公差大于0，则=_.，点P的横坐标为_.提示：由 ，得 ，又，由余弦定理可得，。由即，得 。3、类比与联想例6、解方程分析：对第一个式子配方，得。联想两点间的距离公式，可设，此时变为，问题即可解决。解析：原方程可变为，令，则方程以变为，显然，点在以，为焦点，实轴长为的双曲线上，易得其方程为。由，得。点评：本题假设，使问题很巧妙的转化为几何问题，再结合双曲线的第一定义使问题获解，这种方法体现了类比、联想思想。双曲线的第
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