高中数学：数学：在解析几何中求参数范围的9种方法

从高考解题看参数取值范围的九大背景解析几何中某些参数的取值范围是一种探索性的问题，并转化为一种常见的问题，这种问题多年来经常出现在高考试题中。由于许多考生没有办法处理这类问题，也不知道决定参数范围的函数关系或不等关系是从哪里来的，本文通过一些例子介绍了这类问题的几种背景和相应的解决方法，希望对考生准备考试有所帮助。背景之一：主题给出的条件问题解决条件可用于传达所需参数与曲线上的点的坐标或曲线的特征参数之间的关系，并建立不等式或不等式组来解决。这是寻找范围最明显的背景。例1:椭圆的焦点是F1和F2，点P(x，y)是椭圆上的移动点。当F1PF2为钝角时，点P的横坐标的取值范围为_ _。解：设P(x1，y)，F1PF2为钝角，cosF1PF2=。说明：用F1PF2作为钝角，得到一个不等式是解决问题的关键。专攻这一课题将导致2000年第14届全国理科高考：椭圆的焦点是F1和F2，点P是椭圆上的移动点。当F1PF2为钝角时，点P的横坐标的取值范围为_ _ _ _ _ _。(答案是x，)例2:(2000年高考理科第22题)如图所示，已知在梯形ABCD中，=2时，点E与有向线段AC、双曲线的比值与点C、D、E相交，并集中于点A和点B。此时，双曲线偏心率E的取值范围被找到。解决方法：如图所示，以线段AB的垂直平分线为Y轴。因为双曲线穿过点c和d，并与a和b聚焦，双曲线的对称性告诉我们c和d关于y轴对称。根据问题的意思，写下a，c(，h)，E(x0，y0)，其中c=双曲线的半焦距，h是梯形的高度。从坐标公式的固定得分点：x0=，y0=。如果双曲线方程是-=1，偏心率e=0。点c、e和e=的坐标从双曲线上的点c和e代入双曲线方程(3)来自公式(1)将等式(3)代入等式(2)进行排序：注：E的范围可以通过与E建立函数关系并使用已知的范围来获得。背景2:曲线范围圆、椭圆、双曲线和抛物线都有自己的范围，如椭圆b0)在x中，使用这些范围是确定参数范围的方法之一。例3: (2002年全国高考试题)设p点到m点(-1，0)，n (1，0)距离差为2m，到x轴、y轴距离比为2，求m的取值范围解决方案：将点p的坐标设置为(x，y)，这是由问题设置的，即y=1由于x，点P(x，y)、m (-1，0)和n (1，0)不共线，导致因此，点p位于以m和n为焦点的双曲线上，并且实际轴长为2。因此=1将方程代入方程，得到解到，到，到，到(0，注意：从P到X轴和Y轴的距离之比是2，所以P不能在X轴上，因此得到M，这是一个容易忽略的隐含条件。例4:2004年，国家三级考试中有21个理科科目和22个文科科目。椭圆的两个焦点是F1 (-C，0)和F2(c，0) (c 0)，并且在椭圆上有一个点P，使得直线PF1垂直于PF2。(1)现实数m的取值范围；(2)让L对应于焦点F2的准线，直线PF2和L在Q处相交。如果是这样，找到直线PF2的方程。解决方法：(1)根据问题，有m 11，即m 0，c=，点p的坐标为(x0，y0)，这是PFPF2得到的(1)同时，解x从这里所以m，)(2)答案是y=() (x-)(略)背景3:二次方程有解的条件直线与圆锥的关系是解析几何中最常见的关系。通过同时消去得到的非负判别式是直线和圆锥有公共点的一个充要条件。如果有限制，也应该考虑根的分布，这是确定的共同背景例6:直线和双曲线的右分支相交于两个不同的点a和b。(1)现实数k的取值范围；(2)是否存在实数K，使得线段AB直径的圆通过曲线C的右焦点F？如果是，k的值被找到；如果没有，解释原因。解：(1)将直线代入双曲方程并排序根据主题，直线l的右分支和双曲线c相交于两个不同的点，所以(2)答案是有一个令人满意的问题。注意：问题(1)涉及一条直线和一条双曲线的右分支的交点，它被转化为一个不等式方程对于的两个正根，不等式系统可以通过方程根分布的充要条件来建立。背景4:已知变量的范围使用问题中给定的已知变量的范围，或者从已知条件中找出变量的范围，然后找出该变量与所需参数之间的关系，然后求解。1.了解两个参数之一的范围；例7: (2004浙江省高考试题科学21题文科22题)已知双曲线的中心在原点，右顶点为A(1，0)，点p，q在双曲线的右分支上，点M(m，0)到直线AP的距离为1。(1)如果直线AP的斜率是k，并且现实数m的值范围；(2)那时，心脏恰好是点M，双曲方程就解了。解：(1)直线方程的接入点是已知的条件，因为点从m到直线AP的距离是1，所以。因此.(2)答案是(稍微)例8:给定抛物线，F是C的焦点，穿过点F的直线L在点A和点b与C相交(1)将L的斜率设置为1，并计算夹角；(2)假设计算了L在Y轴上的截距m的变化范围。解决方法：(1)答案是(稍微)。(2)F(1，0)，设置A(x1，y1)，B(x2，y2)，由主题设置，获取,也就是说，由(2)(1)和(3)同时解决，根据问题的含义有的直线l方程是：当时，方程l在y轴上的截距。由此，我们可以看到，在世界上它正在减少。因此，直线l在y轴上的截距m的变化范围是。说明：例7和例8都知道一个变量的范围，从而找到另一个变量的范围。您可以首先通过使用假设条件建立变量的关系表达式，将所需变量与另一个已知变量分开以获得函数关系，然后从已知变量的范围(即所需变量的范围)中找到函数的范围。这种背景也可以概括为背景之一。2.这两个参数的范围未知例9: (2004年国家论文一，第2条，原则21)设定双曲线和直线在不同点a和b相交。(1)找出双曲线c的偏心率e的取值范围；(2)让直线L和Y轴的交点为P，求出a的值解：(1)由于C和L相交于两个不同的点，已知方程有两个不同的实数解，Y被消去并排序：经过双曲线的偏心率因此.(2)轻微注：E的范围可以通过首先找到A的范围，然后建立E和A之间的函数关系来找到例10:直线和双曲线的左分支在点A和点B相交，直线L穿过点和点B的中点，找到直线L在Y轴上的截距B的取值范围。解决方法：从方程组中去掉y:集，AB中点，有：假设直线的方程为，那么它在上方向单调递减。注意：对于这样的问题，首先可以找到一个变量的范围，然后可以相应地找到另一个变量的范围。背景五：点在圆锥曲线的内域或外域的充要条件如果我们指定二次曲线包含焦点的区域称为二次曲线的内部区域，而坐标平面被二次曲线分割的另一部分称为二次曲线的外部区域，则位于椭圆内(外)域的充要条件是：点在双曲线内(外)域的充要条件是：点在双曲线内(外)域的充要条件是椭圆或双曲线上的一个点和它们的两个焦点形成一个三角形。对于具有这种背景的问题，参数的范围通常可以通过使用由大于第三条边的三角形的两条边的和产生的不等式来确定。例12:已知双曲线的左右焦点分别为F1和F1。F2，左准线是l，在双曲线的左分支上有一点p，因此|PF1|是从p到l的距离d与|PF2|的等比中值，并且找到偏心率e的取值范围。解决方案：By |PF1|2=d |PF2|和| pf2 |=2a | pf1 | 3来自(1)、(3) |PF1|PF2在PF1F2中，| pf1 | | pf2 | | f1f2 |，即。注意：| PF1 | | PF2 | | F1F2 |，因为点P也可能在双曲线的顶点上。背景7:参数的几何意义解析几何是一门结合了数字和形式的学科，其中许多都有非常明显的几何意义。只要掌握了参数的几何意义，就可以解决基于这种背景的距离问题。例13:椭圆C的上准线是抛物线的准线，C穿过这条抛物线直线的焦点、椭圆的偏心率以及椭圆长半轴的范围。解决方法：让椭圆的上焦点为F(x，y)，定义已知。因此，焦点f在椭圆上的轨道变化是半径为1且中心为a (0，-1)的圆。因此很容易知道从焦点f到准线y=1的距离p的范围是。又背景8:平均值不平等解析几何的本质是用代数方法研究图形的几何性质。使用基本的代数不等式是另一种寻找范围的方法。例14:已知直线L穿过固定点A(3，0)，并且倾斜角在试验范围内，因此曲线的所有弦不能被直线L垂直平分解决方法：当直线的斜率为0或不存在时，它会遇到问题。假设直线L的方程为，由直线L垂直平分的弦的两个端点为，然后是BC的中点P。当线段BC被L垂直平分时，有。直线的斜率符合问题的含义。注意：这个问题通过使用互补集方法来解决，即首先计算弦可以被L垂直平分的直线L的斜率，并且互补集是满足这个问题的斜率，然后可以通过使用斜率和倾斜角之间的关系来获得范围。背景9:目标函数的范围为了确定变量k的取值范围，可以先建立以k为函数的目标函数，这样就可以解决这个有函数背景的取值范围问题。例15:它是椭圆上的任意一点，F1和F2是两个焦点，所以求|PF1|PF2|。解决方案：| pf1 | | pf2 |=2a|pf1|pf2|=| pf1 |(2a-| pf1 |)=-(| pf1 |-a)2+a2又当时有一个最小值B2；当时，|PF1|PF2|具有最大值a2。因此，|PF1|PF2|的值范围为。例16: (2004福建省高考试题22理科科目)如图所示，p是抛物线上的点，直线l与点p相交，与抛物线c相交于另一点q(1)如果直线l垂直于交点p的切线，则得到线段PQ中点m的轨道变化方程；(2)如果直线L不通过原点，并且X轴与点S相交，而Y轴与点T相交，则确定待测值的范围。(1)根据问题的含义设置。经过交点p的切线斜率是*不切题直线l的斜率线l的方程式是联立线性l和抛物方程，消除y