高二数学函数的概念与解析式知识精讲苏教

高二数学函数的概念与解析式知识精讲 苏教版一. 本周教学内容：函数的概念与解析式教学目的：通过丰富的实例，进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型，在此基础上学习用集合与对应的语言来刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用；了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域；了解映射的概念。在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法（如图象法、列表法、解析法）表示函数。通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应用。教学重点：函数的概念与解析式教学难点：分段函数与实际应用知识点归纳1. 函数的定义：设A、B是非空的数集，如果按某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f（x）和它对应，那么就称f:AB为从集合A到集合B的一个函数，记作y=f（x），xA，其中x叫做自变量.x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y的值叫做函数值，函数值的集合f（x）|xA叫做函数的值域.2. 两个函数的相等：函数的定义含有三个要素，即定义域A、值域B和对应法则f.当函数的定义域及从定义域到值域的对应法则确定之后，函数的值域也就随之确定.因此，定义域和对应法则为函数的两个基本条件，当且仅当两个函数的定义域和对应法则都分别相同时，这两个函数才是同一个函数.3. 映射的定义：一般地，设A、B是两个集合，如果按照某种对应关系f，使对于集合A中的任何一个元素，在集合B中都有唯一的元素和它对应，那么，这样的对应（包括集合A、B，以及集合A到集合B的对应关系f）叫做集合A到集合B的映射，记作f:AB.由映射和函数的定义可知，函数是一类特殊的映射，它要求A、B非空且皆为数集.4. 映射的概念中象、原象的理解：(1) A中每一个元素都有象;(2)B中每一个元素不一定都有原象，不一定只有一个原象；(3)A中每一个元素的象唯一。5. 分段函数：（举一例）。6. 复合函数：若y=f(u),u=g(x),x(a,b),u(m,n),那么y=fg(x)称为复合函数，u称为中间变量，它的取值范围是g(x)的值域。7. 函数的三种表示法（1）解析法：就是把两个变量的函数关系，用一个等式来表示，这个等式叫做函数的解析表达式，简称解析式.（2）列表法：就是列出表格来表示两个变量的函数关系.（3）图象法：就是用函数图象表示两个变量之间的关系.8. 求函数解析式的题型有：（1）已知函数类型，求函数的解析式：待定系数法；（2）已知求或已知求：换元法、配凑法；（3）已知函数图像，求函数解析式；（4）满足某个等式，这个等式除外还有其他未知量，需构造另个等式解方程组法；（5）应用题求函数解析式常用方法有待定系数法等例1. 设集合，如果从到的映射满足条件：对中的每个元素与它在中的象的和都为奇数，则映射的个数是（ ）A. 8个B. 12个C. 16个D. 18个解：为奇数，当为奇数、时，它们在中的象只能为偶数、或，由分步计数原理和对应方法有种；而当时，它在中的象为奇数或，共有种对应方法故映射的个数是故选D.变式：集合A=3，4，B=5，6，7，那么可建立从A到B的映射个数是_，从B到A的映射个数是_.解：从A到B可分两步进行：第一步A中的元素3可有3种对应方法（可对应5或6或7），第二步A中的元素4也有这3种对应方法.由乘法原理，不同的映射种数N1339.反之从B到A，道理相同，有N22228种不同映射.答案：9 8例2. 试判断以下各组函数是否表示同一函数？（1）f（x）=，g（x）=；（2）f（x）=，g（x）=（3）f（x）=，g（x）=（）2n1（nN*）；（4）f（x）=，g（x）=；（5）f（x）=x22x1，g（t）=t22t1.剖析：对于两个函数y=f（x）和y=g（x），当且仅当它们的定义域、值域、对应法则都相同时，y=f（x）和y=g（x）才表示同一函数.若两个函数表示同一函数，则它们的图象完全相同，反之亦然.解：（1）由于f（x）=|x|，g（x）=x，故它们的值域及对应法则都不相同，所以它们不是同一函数.（2）由于函数f（x）=的定义域为（，0）（0，+），而g（x）=的定义域为R，所以它们不是同一函数.（3）由于当nN*时，2n1为奇数，f（x）=x，g（x）=（）2n1=x，它们的定义域、值域及对应法则都相同，所以它们是同一函数.（4）由于函数f（x）=的定义域为x|x0，而g（x）=的定义域为x|x1或x0，它们的定义域不同，所以它们不是同一函数.（5）函数的定义域、值域和对应法则都相同，所以它们是同一函数.评述：（1）第（5）小题易错判断成它们是不同的函数，原因是对函数的概念理解不透.要知道，在函数的定义域及对应法则f不变的条件下，自变量变换字母，以至变换成其他字母的表达式，这对于函数本身并无影响，比如f（x）=x2+1，f（t）=t2+1，f（u+1）=（u+1）2+1都可视为同一函数.（2）对于两个函数来讲，只要函数的三要素中有一要素不相同，则这两个函数就不可能是同一函数.例3. 某种细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分裂成4个，一直分裂下去（1）用列表表示，1个细胞分裂1、2、3、4、5、6、7、8次后，得到的细胞个数；（2）用图像表示1个细胞分裂的次数n(nN)与得到的细胞个数y之间的关系；解：（1） 利用正整指数幂的运算法则，可以算出1个细胞分裂1、2、3、4、5、6、7、8次后，得到的细胞个数，列表如下分裂次数12345678细胞个数248163264128256（2）细胞个数y与分裂次数n之间的关系式是y2n，nN变式：一种专门占据内存的计算机病毒，开机时占据内存KB，然后每分钟自身复制一次，复制后所占内存是原来的倍，那么开机后经过 _ 分钟，该病毒占据MB内存（MB=KB）.例4. 某厂生产一种仪器，由于受生产能力和技术水平的限制，会产生一些次品根据经验知道，该厂生产这种仪器，次品率与日产量（件）之间大体满足关系： （其中c为小于96的正常数）注：次品率，如表示每生产10件产品，约有1件为次品其余为合格品已知每生产一件合格的仪器可以盈利A元，但每生产一件次品将亏损元，故厂方希望定出合适的日产量（1）试将生产这种仪器每天的盈利额（元）表示为日产量（件）的函数；（2）当日产量为多少时，可获得最大利润？解：（1）当时，所以，每天的盈利额;当时，所以，每日生产的合格仪器约有件，次品约有件故，每天的盈利额综上，日盈利额（元）与日产量（件）的函数关系为：（2）由（1）知，当时，每天的盈利额为0当时，令，则故当且仅当，即时，等号成立所以（i）当时，（等号当且仅当时成立）（ii） 当时，由得，易证函数在上单调递增（证明过程略）所以，所以，即（等号当且仅当时取得）综上，若，则当日产量为84件时，可获得最大利润；若，则当日产量为时，可获得最大利润 点评：分段函数是历年高考的热门话题，常考常新，值得我们在复习时认真对待例5. 矩形的长，宽，动点、分别在、上，且，（1）将的面积表示为的函数，求函数的解析式；（2）求的最大值解：（1），函数的解析式：；（2）在上单调递增，即的最大值为例6. 函数对一切实数，均有成立，且，（1）求的值；（2）对任意的，都有成立时，求的取值范围解：（1）由已知等式，令，得，又，（2）由，令得，由（1）知，在上单调递增，要使任意，都有成立，当时，,显然不成立当时，解得的取值范围是例7. （1）已知，求；（2）已知，求；（3）已知是一次函数，且满足，求；（4）已知满足，求解：（1），（或）（2）令（），则，（3）设，则，（4） ，把中的换成，得 ，得，注：第（1）题用配凑法；第（2）题用换元法；第（3）题已知一次函数，可用待定系数法；第（4）题用方程组法例8. 某市收水费的方法是：水费=基本费+超额费+耗损费，若每月用水量不超过最低限量am3时，只付基本费8元及每户每月的定额耗损费c元，若用水量超过am3时，除了付同上的基本费和耗损费之外，超过部分每m3付b元的超额费，已知耗损费不超过5元。该市一家庭今年一月、二月、三月份的用水量和支付费用如下表所示：月份用水量水费一月9m39元二月15m319元三月22m333元根据上面表格中的数据求a，b，c解：设每月用水量为xm3,支付费用为y元，由收费方法知：依题意：0c5, 8+c13所以该用户第二、三月份的用水量均大于am3,将x=15,x=22代入上面的第二个式子，得：， b=2,2a=c+19若该用户一月份的用水量大于am3,则9=8+2(9-a)+c,2a=c+17与2a=c+19矛盾， a9将y=9代入y=8+c得c=1, a=10, b=2, c=1【模拟试题】1. 设集合A=R，集合B=正实数集，则从集合A到集合B的映射f只可能是 （ ）A. f:xy=|x|B. f:xy=C. f:xy=3xD.f:xy=log2（1+|x|）2. 设M=x|2x2，N=y|0y2，函数f（x）的定义域为M，值域为N，则f（x）的图象可以是 （ ）3. 下列函数中，与函数相同的函数是 （ ）A. B. C. D. 4. 函数y=的定义域是 （ ）A. ，1（1，）B. （，1）（1，）C. 2，1（1，2）D. （2，1）（1，2）5. 某种型号的手机自投放市场以来，经过两次降价，单价由原来的2000元降到1280元，则这种手机平均每次降价的百分率是 （ ）A.10%B.15%C.18%D.20%6. 函数f（x）=|x1|的图象是 （ ）7. 设函数，则_8. 设集合A和B都是自然数集合N，映射f：AB把集合A中的元素n映射到集合B中的元素2nn，则在映射f下，象20的原象是 9. 设函数f（x）=则使得f（x）1的自变量x的取值范围为A. （，2）0，10B. （，2）0，1C. （，2）1，10D. 2，01，1010. 定义“符号函数”f（x）=sgnx=则不等式x+2（x2）sgnx的解集是_.11. 如果ff（x）=2x1，求一次函数f（x）的解析式。12. 如图，在边长为4的正方形ABCD上有一点P，沿着折线BCDA由B点（起点）向A点（终点）移动，设P点移动的路程为x，ABP的面积为y=f（x）. （1）求ABP的面积与P移动的路程间的函数关系式；（2）作出函数的图象，并根据图象求y的最大值.13. 若f :y=3x+1是从集合A=1，2，3，k到集合B=4，7，a4，a2+3a的一个映射，求自然数a、k的值及集合A、B.14. 如果函数f（x）=（x+a）3对任意xR都有f（1+x）=f（1x），试求f（2）+ f（2）的值.15. 假设国家收购某种农产品的价格是元/，其中征税标准为每元征元（叫做税率为个百分点，即），计划可收购，为了减轻农民负担，决定税率降低个百分点，预计收购可增加个百分点。（1）写出税收（元）与的函数关系；（2）要使此项税收在税率调节后不低于原计划的，确定的取值范围.参考答案http:/www.DearEDU.com1. C2. B3. C4. A5. D6. B7. 88. 49. 解析：f（x）是分段函数，故f（x）1应分段求解.当x1时，f（x）1（x+1）21x2或x0，x2或0x1.当x1时，f（x）1413x10，1x10.综上所述，x2或0x10.答案：A10. （，+）11. 解析：设f（x）=kx+b，则ff（x）=kf（x）+b=k（kx+b）+b=k2x+kb+b.由于该函数与y=2x1是同一个函数，k2=2且kb+b=1.k=.当k=时，b=1；当k=时，b=1+.答案：f（x）=x+1或f（x）=x+1+12. 解：（1）这个函数的定义域为（0，12）.当0x4时，S=f（x）=4x=2x；当4x8时，S=f（x）=8；当8x12时，S=f（x）=4（12x）=2（12x）=242x.这个函数的解析式为f（x）= （2）其图形如下， 由图知，f（x）max=8.13. 解：f（1）=31+1=4，f（2）=32+1=7，f（3）=33+1=10，f（k）=3k+1，由映射的定义知（1）或（2） aN，方程组（1）无