高二数学不等式的性质及应用人教知识精讲

用心 爱心 专心 高二数学高二数学不等式的性质及应用不等式的性质及应用人教版人教版 【同步教育信息同步教育信息】 一. 本周教学内容： 不等式的性质及应用 二. 重点、难点： 重点： 1. 理解并记忆不等式的性质及重要定理； 2. 理解并掌握不等式的性质及重要定理的应用。 难点： 准确把握不等式性质及重要定理成立的条件，并能正确灵活地应用。 三. 教学过程 知识梳理： 1000.对于两个实数 ， ，；。ababababababab 2. 不等式的性质： 性质 ：（对称性）1abba 性质 ：，（传递性）2abbcac 性质 ：，3abacbc 性质 ：，40abcacbc abcacbc，。0 性质 ：，5abcdacbd 性质 ：，600abcdacbd 性质 ：70ababnN nn () 性质 ：80ababnN nn () 3. 重要定理： 若，则（当且仅当时取“”号） 若，则当且仅当时取“”号 ab ab abab abab ab ab 00 2 00 2 2 () () 【例题分析】 例若，试比较（）与的大小。10 2222 .()()()xyxyxyxyxy 解析：根据题目的特点，可以考虑作差比较法。 （）xyxyxyxy 2222 ()()() ()() ()xy xyxyxy xy 222 2 ，xyxyxyxy xy00020() 。()()()()xyxyxyxy 2222 例设， 。试比较与的大小。2.a 0baba ba b abba 0 解析：根据题目的特点，考虑作商比较法。 a b a b ab a b ab ba a bb aa b ( ) 用心 爱心 专心 当时，则ab a b ab a b a b 0101( ) 于是。 a b a b a ba ba b ab ba baabba 10() 当时，则ba a b ab a b a b 00101( ) 于是，（） a b a b a ba ba b ab ba baabba 10 综合对于不相等的正数 ， ，都有成立。aba ba b abba 说明：对于正数 ， ，；。ab a b ab a b ab a b ab111 例若 、 为实数，则是的什么条件。（）30 22 .ababab A. 充分不必要条件；B. 必要不充分条件 C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件。 解析：abab0 22 选 A。 例点（ ， ）在直线上移动，则的最小值是（）4.xyxy xy 2324 A. 8B. 6C.3 2D. 4 2 解析：由重要定理知，要求两个正数和的最小值，则要求它们的积为定值，这一点显 然。 ，2040 xy 。24222 222 22 24 2 222223 yyxyxy 当且仅当，即，时，242 3 2 3 2 3 4 xy xyxy 等号成立。此时，。244 2 xy 当且时，。xy xy 3 2 3 4 244 2()min 例求函数，的最大值。5. yxxx()()320 3 2 解析：要求两个正数积的最大值，则要求它们的和是一个定值，这一点现在不行，得 恒等变形。 。0 3 2 320xx yxxxx xx ()()()32 1 2 232 1 2 232 2 9 8 2 当且仅当即时，。232 3 4 9 8 xxxy max 说明：用重要定理求最大（小）值时，一定要审查等号是否成立。 例 6. 已知 x0，y0 且 2x+5y=20。求的最大值。lg x + lg y 解析：要求（）， 的最大值显然存在。lglglg()() maxmaxmax xyxyxyxy ，。xyxy002050 ()()()25 25 2 100 2 xy xy xy10 用心 爱心 专心 两边取以 10 为底的对数。 lglgxy10 lglgxy1 当且仅当，即，时，等式成立。25 20 2 1052xyxy 当且时，的最大值为 。xyxy521lglg 例求函数，（）的最小值。7 1 2 2 2 .y xx x x 解析：此题能否用重要不等式求解呢？表面上显然不行，但是，经过恒等变形我们的 回答是肯定的。 方法一：， 。xx 220 y xx x xx x x x 22 1 2 2323 2 2 3 2 32 33 ()() () 当且仅当时，即时，。x x xy 2 3 2 322 33 min 方法二：我们还可以用判别式法求解： 把整理为：y xx x xy xy 2 2 1 2 11201()( ) ，恒成立，。xxxy20100 2 方程（ ）有实根， 或 114 12032 332 3 2 ()()yyyy ， 只取 ，。yyy02 332 33 min 例求函数的值域。8 1 .yx x 解析：我们知道求值域应先求定义域。 易知：此正数的定义域为 x0， （ ）当时， ，当且仅当时等号成立。10 1 21xyx x x （ ）当时，当且仅当时等号成立。20 11 21xyx x x x x ()() 综上：的值域为，）。yx x y 1 22( 小结： 这节课我们重点为同学们讲解了利用重要不等式求函数的最大值和最小值，或求 函数的值域。在使用重要不等式时要注意三点：两个数是否均为正；要求两数和的最 小值，则它们的积是否为定值；要求两数积的最大值，则它们的和是否为定值。审查不 等式中的“=”是否成立。 【模拟试题模拟试题】 1 24 03 01 23 .设命题甲： ； 命题乙： xy xy x y 那么甲是乙的什么条件_ 2. 60 x 8428 y 33已知，则的整数值为 x y 3. 下列函数中最小值是 4 的是（ ） 用心 爱心 专心 A y x xB y x xx. sin sin() 44 0；， C yeeD yx xx x .loglog 443 3 ； 4. 求函数的最大值。y x xx 2 1 2 。5 5 4 42 1 45 .已知：，求函数的最大值xyx x 用心 爱心 专心 试题答案试题答案 1. 必要不充分条件。2. 2 3. C 解 A 中 x 可能取负值；B 中当时，等号不成立；D 中，当 4 sin sin x x 时，两个数均为负值。选 C。01x 4. 此题与例 7 方法类似，当时，。x 32yma