高二数学函数的定义域与值域、单调性与奇偶性苏教知识精讲

用心 爱心 专心 高二数学高二数学函数的定义域与值域、单调性与奇偶性函数的定义域与值域、单调性与奇偶性苏教版苏教版 【本讲教育信息本讲教育信息】 一. 教学内容： 函数的定义域与值域、单调性与奇偶性 二. 教学目标： 理解函数的性质，能够运用函数的性质解决问题。 三. 教学重点：函数性质的运用 四. 教学难点：函数性质的理解。 学习过程 一、知识归纳： 1. 求函数的解析式 （1）求函数解析式的常用方法： 换元法（ 注意新元的取值范围） 待定系数法（已知函数类型如：一次、二次函数、反比例函数等） 整体代换（配凑法） 构造方程组（如自变量互为倒数、已知f（x）为奇函数且g（x）为偶函数等） （2）求函数的解析式应指明函数的定义域，函数的定义域是使式子有意义的自变量的 取值范围，同时也要注意变量的实际意义。 （3）理解轨迹思想在求对称曲线中的应用。 2. 求函数的定义域 求用解析式yf（x）表示的函数的定义域时，常有以下几种情况： 若f（x）是整式，则函数的定义域是实数集R； 若f（x）是分式，则函数的定义域是使分母不等于 0 的实数集； 若f（x）是二次根式，则函数的定义域是使根号内的式子大于或等于 0 的实数集合； 若f（x）是由几个部分的数学式子构成的，则函数的定义域是使各部分式子都有意 义的实数集合； 若f（x）是由实际问题抽象出来的函数，则函数的定义域应符合实际问题. 3. 求函数值域（最值）的一般方法： （1）利用基本初等函数的值域； （2）配方法（二次函数或可转化为二次函数的函数） ； （3）不等式法（利用基本不等式，尤其注意形如型的函数） )0(k x k xy （4）函数的单调性：特别关注的图象及性质 )0(k x k xy （5）部分分式法、判别式法（分式函数） （6）换元法（无理函数） （7）导数法（高次函数） （8）反函数法 用心 爱心 专心 （9）数形结合法 4. 求函数的单调性 （1）定义法： （2）导数法： （3）利用复合函数的单调性： （4）关于函数单调性还有以下一些常见结论： 两个增（减）函数的和为_；一个增（减）函数与一个减（增）函数的差是 _； 奇函数在对称的两个区间上有_的单调性；偶函数在对称的两个区间上有_ 的单调性； 互为反函数的两个函数在各自定义域上有_的单调性； （5）求函数单调区间的常用方法：定义法、图象法、复合函数法、导数法等 （6）应用：比较大小，证明不等式，解不等式。 5. 函数的奇偶性 奇偶性：定义：注意区间是否关于原点对称，比较f（x） 与f（x）的关系。f（x） f（x）0 f（x） f（x） f（x）为偶函数； f（x）+f（x）0 f（x） f（x） f（x）为奇函数。 判别方法：定义法，图象法，复合函数法 应用：把函数值进行转化求解。 6. 周期性：定义：若函数f（x）对定义域内的任意x满足：f（x+T）f（x） ，则T为函数 f（x）的周期。 其他：若函数f（x）对定义域内的任意x满足：f（x+a）f（xa） ，则 2a为函数 f（x）的周期. 应用：求函数值和某个区间上的函数解析式。 二、典型例题分析 例 1. 若集合 Aa1，a2，a3，Bb1，b2 求从集合 A 到集合 B 的映射的个数。 分析：分析：解决这类问题，关键是要掌握映射的概念：设A、B是两个集合，对于集合A中 的任何一个元素，按照某种对应法则f，若集合B中都有唯一确定的元素和它对应，这时对 应法则f叫做从集合A到集合B的映射。这里要掌握关键的两个词“任何” 、 “唯一” 。对于本 例，集合Aa1，a2，a3中的每一个元素的象都有b1或b2这两种情形，由乘法原理可知， A到B的映射的个数共有N2228 个。 例 2. 线段|BC|4，BC 的中点为 M，点 A 与 B、C 两点的距离之和为 6，设 |AM|y，|AB|x，求 yf（x）的函数表达式及这函数的定义域。 解：解：1若A、B、C三点不共线，如图所示，由余弦定理可知， x222+y24ycosAMB （6x）222+y24ycos（180AMB） + x2+（6x）22y2+8 y2x26x+14 用心 爱心 专心 又 x26x+14（x3）2+5 恒正， 146 2 xxy 又三点A、B、C能构成三角形 xx xx xx )6(4 64 4)6( 1x5 2若三点A、B、C共线，由题意可知， x+46x，x1 或 4+6xx x5 综上所述： 146 2 xxy)51 ( x 说明：说明：第一，首先要分析三点A、B、C是否在同一条直线上，因为由题意，A、B、C 不一定能构成三角形，它们也可在同一条直线上，所以要分两种情形来讨论。第二，实际 问题在求解析式时要特别注意函数的定义域。 例 3. 设 f（x）为定义在 R 上的偶函数，当 x1 时，yf（x）的图象是经过点 （2，0） ，斜率为 1 的射线，又在 yf（x）的图象中有一部分是顶点在（0，2） ，且过 点（1，1）的一段抛物线，试写出函数 f（x）的表达式，并在图中作出其图象。 解：解：（1）当x1 时，设f（x）x+b 射线过点（2，0） 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 02+b即b2，f（x）x+2 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 （2）当1x0）是奇函数，当 x0 时， cbx ax 1 2 f（x）有最小值 2，其中 bN 且 f（1）0，b0，x0，f（x）2， bx x b a bx ax11 2 2 b a 当且仅当x时等号成立，于是 22，ab2， a 1 2 b a 由f（1）得即，2b25b+20，解得b2，又 2 5 b a1 2 5 b b1 2 2 5 2 1 bN，b1，a1，f（x）x+ 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 x 1 （2）设存在一点（x0，y0）在yf（x）的图象上，并且关于（1，0）的对称点 （2x0，y0）也在yf（x）的图象上，则 0 0 2 0 0 0 2 0 2 1)2( 1 y x x y x x 消去y0得x022x010，x01 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 2 yf（x）的图象上存在两点（1+，2） ， （1，2）关于（1，0） 2222 对称 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 例 10. 已知奇函数 f（x）的定义域为 R，且 f（x）在0，+）上是增函数，是否存在 实数 m，使 f（cos23）+f（4m2mcos）f（0）对所有 0，都成立？若 2 存在，求出符合条件的所有实数 m 的范围，若不存在，说明理由 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 解：解：f（x）是R上的奇函数，且在0，+）上是增函数，f（x）是R上的增函数 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 于是不等式可等价地转化为f（cos23）f（2mcos4m） ， 即cos232mcos4m，即cos2mcos+2m20 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 设tcos，则问题等价地转化为函数 g（t）t2mt+2m2（t）2+2m2 在0，1上的值恒为正，又转 2 m 4 2 m 化为函数g（t）在0，1上的最小值为正 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 用心 爱心 专心 当1 与m0 2 m 4 2 m 42m2 时，g（1）m10m1 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 m2 2 m 综上，符合题目要求的m的值存在，其取值范围是m42 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 2 另法（仅限当m能够解出的情况）cos2mcos+2m20 对于0，恒成 2 立， 等价于m（2cos2）/（2cos） 对于0，恒成立 2 当0，时， （2cos2）/（2cos） 42， 2 2 m42 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 2 例 11. 设 a 为实数，记函数 f（x）a的最大值为 g（a） 。 2 111xxx （1）设t，求t的取值范围并把f（x）表示为t的函数m（t） ； 11xx （2）求g（a） ； （3）求满足g（a）g（）的所有实数a. 1 a 解：解：（1）t 11xx 要使t有意义，必须有 1+x0 且 1x0，即1x1. t22+22，4，t0 2 1x t的取值范围是，2由得x21 2 2 1x 1 2 m（t）a（t2）tat2+ta， t，2 1 2 1 22 （2）由题意知g（a）即为函数m（t）at2+ta， t，2的最大值. 1 22 注意到直线t是抛物线m（t）at2+ta的对称轴，分下列情况讨论. 1 a 1 2 当a0 时，函数ym（t） ， t，2的图像是开口向上的抛物线的一段，由 2 t， 1 2 3 22 当时，a，所以， 21 22 a 12 , 22 1 2a 2 ,1 2 1 2 a a g（a）2.因此当a时，g（a） . 1 2 a a ) 2 1 ()( a a 2 2 22 当a0 时，0，由g（a）g（）知a+2+2 解得a1. 1 a 1 a 1 a 当a0）是奇函数，当x0 时， cbx ax 1 2 f（x）有最小值 2，其中bN且f（1）0，b0，x0，f（x）2， bx x b a bx ax11 2 2 b a 当且仅当x时等号成立，于是 22，ab2， a 1 2 b a 由f（1）得即，2b25b+20，解得b2，又 2 5 b a1 2 5 b b1 2 2 5 2 1 bN，b1，a1，f（x）x+。 x 1 （2）设存在一点（x0，y0）在yf（x）的图象上，并且关于（1，0）的对称点 （2x0，y0）也在yf（x）图象上，则 0 0 2 0 0 0 2 0 2 1)2( 1 y x x y x x 消去y0得x022x010，x01。 2 yf（x）图象上存在两点（1+，2） ， （1，2）关于（1，0）对。 2222 14. （1）证明：yf（x）是以 5 为周期的周期函数， 用心 爱心 专心 f（4）f（45）f（1） ， 又yf（x） （1x1）是奇函数，f（1）f（1）f（4） ，f（1） +f（4）0 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 （2）解：当x1，4时，由题意，可设 f（x）a（x2）25（a0） ，由f（1）+f（4）0 得a（12）25+a（42）250， 解得a2，f（x）2（x2）25（1x4） 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 （3）解：yf（x） （1x1）是奇函数， f（0）f（0） ，f（0）0， 又