高二数学分类计数原理与分步计数原理教案人教

高二数学分类计数原理和分步计数原理教学计划教学目标：掌握分类计数和分步计数的原理，并利用这两个原理分析和解决一些简单的问题。教具的准备：投影电影(两个原则)。教学过程：背景首先看看以下问题：共有32支球队参加了2002年夏天在韩国和日本举行的第17届世界杯足球赛。他们被分成8组进行循环赛，并决定进入前16名。16支队伍按照既定程序进行淘汰赛后，最终决定了第一名和第二名。此外，他们还决定了第三和第四名。安排了多少场比赛？要回答上述问题，必须运用排列组合的知识。排列组合是一种重要的数学方法。粗略地说，排列组合就是研究按照一定的规则有多少种不同的方法去做某事。在使用排列组合方法时，通常使用分类计数原则和逐步计数原则。让我们举几个例子来说明这两个原则。探索性研究向学生展示下列问题。从a地到b地，你可以乘火车或公共汽车。一天有3辆火车和2辆公共汽车。用这些交通工具一天从a地到b地有多少种不同的旅行方式？因为一天有三种火车旅行方式和两种公共汽车旅行方式，每种方式都可以从a地去b地，所以总共有3+2=5有不同的行走方法，如图所示。一般来说，有以下原则：(显示投影)分类和计数的原理可以用来完成一件事。有类方法，第一类方法中有不同的方法，第二类方法中有不同的方法，并且在第一类方法中有不同的方法。那么总共有：有不同的方法。再看下面的问题。(显示投影)从a地到b地，你必须选择从a地到c地的火车，然后第二天从c地乘公共汽车到b地。一天有3辆火车和2辆公共汽车。两天内你从a地到b地有多少种不同的旅行方式(如图所示)？这个问题与前一个不同。在前者中，火车或公共汽车都可以用来从甲地到乙地旅行；然而，在这种情况下，有必要先乘火车，然后乘公共汽车从a地到b地。在这里，因为有3种乘火车旅行的方式和2种乘公共汽车旅行的方式，从a地到b地总共有32=6乘一辆火车和一辆公共汽车。有6种不同的行走方式。(请学生列出6种不同的行走方式)获得以下原则：(显示投影)分步计数的原理需要分成三个步骤来完成一件事。第一步有不同的方法，第二步有不同的方法，第一步。有不同的方法。老师问了一个问题：分类计数原则和步数计数原则有什么区别？学生回答后，老师展示了投影：分类计数原理和分步计数原理都与完成一件事情的不同方法的数量有关。它们的区别在于分类和计数的原则与“分类”相关，各种方法是相互独立的。他们中的任何一个都能完成这件事。逐步计数的原理与“逐步”有关。每一步都相互依赖。只有当每一步都完成时，这才算完成。(显示投影)书架的一楼有4种不同的电脑书籍，二楼有3种不同的文学和艺术书籍，三楼有2种不同的体育书籍。(1)从书架上拿一本书有多少种不同的方法？(2)从书架的一楼、二楼和三楼各拿一本书。有多少种不同的方法？(答案省略)教师点评：注意区分“分类”和“循序渐进”。示例2数字锁有4个拨号盘，每个拨号盘有10个数字，从0到9。这4个拨号盘可以组成多少个4位数的数字？(答案省略)例3必须选择三个工人中的两个分别上白班和夜班。有多少种不同的方法？(答案省略)练习反馈1.有9种不同的中文书籍，7种不同的英文书籍和5种不同的(学生表演后，老师评论)2.准备。从和中各取一个元素作为点的坐标。(1)可以获得多少不同的点？(2)这些点中有多少位于第一象限？(学生表演后，老师评论)3.在一所中学的五层教学楼里有三个楼梯。从一楼到五楼有多少种不同的步行方式？4.一个艺术团有9个人，每个人至少会弹一首钢琴和小号。其中，7人会弹钢琴，3人会吹小号。有多少种不同的方式来选择一个会弹钢琴和参加小号的人？参考答案1.解决方法：拿出两本不同国家的书。它们可以分为三类：汉语、英语、日语和英日语言。每个类别可以分两步走。因此，有有不同的方法来接受它。注：一些更复杂的问题往往不能通过简单的“分类”和“逐步解决”。相反，“分类”和“逐步”应该结合起来。一般来说，每一类都是先“分类”后“分步”，分类计数原则和分步计数原则综合运用。2.解决方法：(1)点的坐标由两个元素决定，其中一个元素不同，表示不同的点。它可以分为两种类型：is中的元素，is或is中的元素，以及is中的元素，结果是34 43=24一个不同的观点。(2)第一象限中的点，即和，都是正数，因此只能取和中的正数，这是常见的22+22=8一个不同的观点。3.解决方案：由于1楼、2楼、3楼和4楼每层都有3个楼梯通往前一层，所以按照逐步计数的原则4.解决方法：根据问题的意思，在艺术团的9个人中，只有一个人既会弹钢琴又会吹小号(这个人被称为“多面手”)。有6个人只会弹钢琴，2个人只会吹小号。一个会弹钢琴的人和一个会吹小号的人的选择方法分为两类：类型1:全才被选中，另一个只需要从另外8个中选择一个，所以有8种选择方法。第二类：如果没有选择多面手，只能从只会弹钢琴的6个人中选择会弹钢琴的人，只能从只会吹小号的2个人中选择会吹小号的人。有62=12种这样的选择方法，所以有1种。因此，有20种不同的选举方法。注：由于本主题中的“通才”可以称为特殊的“对象”，所以在本主题的解决方案中根据特殊的“对象”进行“二分法分类”是一种常见的方法。总结和提炼分类计数原理和分步计数原理体现了两种常用的解决问题的方法，即分步求解法或分类求解法。它不仅是推导排列数和组合数计算公式的基础，而且其基本思想贯穿于本章解决应用问题的全过程。应该注意“类”之间的相互独立性和“步骤”之间的相互联系。作业：课本P87练习10.1 2，3，4，5黑板上写着设计：10.1分类计数原则和分步计数原则(1)图10-1图10-2两个原则(2)实例分析示例1示例2示例3(3)实践(4)摘要典型例1在所有的两位数中，有多少两位数大于十位？分析和解决方案：对单个数字的分析可以分为以下几类。如果位数是9，那么10位可以是1、2、3之一.8，所以有8；如果位数是8，那么10位可以是1、2、3之一.7，所以有7；同上：7位中有6位；6位中的5位；只有一位2。根据分类计数原则，满足条件的两位数字为(a)。注意：这个问题是通过分类和计数的原理解决的。结合这个话题，我们可以加深对“做一件事并完成它的方法有N种”的理解。所谓“做一件事并完成它的方法可以有N种”，是指完成这件事的所有方法的分类。在分类时，我们必须首先根据问题的特点确定一个适合它的分类标准，并且例2在由键组A和B组成的并联电路中，如图所示，有多少种方法可以打开电源并使灯发光？解决方法：只要图中的任何一个键关闭，灯就会发光。由于键组A有2个键，键组B有3个键，所以采用分类计数的原则，所以有：2 3=5种打开电源使灯发光的方法。例3二年级一班有56名学生，包括38名男生。一名男生和一名女生被选为代表参加学校组织的调查小组，并询问如何选择代表。分析和解决方案：38名男性和18名女性，根据步数原理，有(种)是相同的。答：选择代表的方式有684种。注意：本主题通过使用逐步计数的原理来解决。结合这个话题，我们可以加深对“做一件事需要分成N步”的理解。所谓的“做一件事需要分成N步”。在分析中，我们必须首先根据问题的特点确定一个逐步可行的标准。第二，要注意满足一步一步完成这件事的要求，只有连续完成这两步，这件事才算圆满完成。这时，可以使用应用方法的原理。例4在由键组A和B组成的串联电路中，如图所示，有多少种方法可以打开电源使灯发光？解决方案：只要A组中的两个键关闭，B组中的三个键中的任何一个键关闭，电灯的电源就可以接通，电灯就可以发光。根据分步计数原则，有：23=6种不同的方法打开电源，使灯发光。有10本不同的数学书，9本不同的语文书和8本不同的英语书。在两种不同的书之间有多少种不同的选择？分析：拿两本不同类型的书，包括三种类型：一本数学书和一本中文书。2.中英文各一份；3.拿一份数学和一份英语。然后找出每一种方法，并利用分类计数的原理得到解决方案。解决方法：拿出两本书，一本是数学，一本是语文，一本是英语，一本是数学，一本是英语。根据分类和计数的原理，有几种不同的方法。注：本例是综合运用分步计数原理和分类计数原理的课题。在处理这类问题时，有必要搞清楚分类在哪里，分步计数在哪里，以便决定是采用加法还是分步计数的原则。例6(1993年全国高考)同一个房间里的四个人每人写一张新年贺卡。首先，他们聚在一起，然后每人从别人那里拿一张新年贺卡。这四张卡以不同的方式分发()a6 b . 9 c . 11d . 23分析：本主题中完成的具体任务是四个人，每人画一张贺卡。问题是根据一定的要求，抽牌结果有多少种不同的情况。我们可以将抽牌过程分为四个步骤，第一个人抽牌，然后第二个人抽牌，依此类推。然而，问题是我们依次把四个人记为、和他们的卡片记为、和。如果第一步画，那么你可以画，而且，有三种方法，而且只有两种画方法，所以这两个步骤之间有影响。因此，得出的结果必须分类。解决方案1:假设四个人写的贺卡分别是A、B、C和D。当甲拿走贺卡乙，乙可以拿走甲、丙、丁中的任何一种，即乙拿走甲，丙拿走丁，丁拿走丙，丁拿走甲，丙拿走丁或乙拿走丁，丙拿走甲，丁拿走丙。同样，当A取C和D时，有三种不同的分配方法。根据分类和计数的原则，有四种问候语。解决方案2:让四个人A、B、C、D轮流拿一张别人发的贺卡。如果甲先取三种，那么写甲取的人也有三种不同的取法。接下来，剩下的两个人每个人只有一种方法。根据逐步计数的原则，有不同的方式分发四张贺卡。应该选择 b。注：(1)本主题从不同角度考虑，因此获得如果完成一个事件的各种方法彼此独立，则在计算完成该事件的方法的数量时使用分类和计数的原则。如果完成一个事件的步骤是相互关联的，即每一步都必须在事件完成之前完成，则使用逐步计数原则来计算完成该事件的方法的数量。(2)分类计数原理和逼近原理是推导排列组合数公式的理论基础，也是解决排列组合问题的基本思想方法。这两个原则非常重要，必须认真学习，正确灵活地运用。(3)如果四次连续提取的结果显示在图表中，将会更清楚。有9种不同的结果。我们称这个图为“树形图”。在解决这样的问题时，它通常是非常有效的。通过它，可以直观地显示各种结果。精选练习一、选择题1.将5封信放入3个邮箱，有()种不同的方法。A.物种b物种c物种d。2.将4个不同的球放入3个不同的盒子中，每个盒子都不是空的()。A.b. c. 18 d. 363.给定集合，将两个集合中的每个集合中的一个元素作为点的坐标，这样的坐标可以指示直角坐标系中第一和第二象限中不同点的数量为()。A.18B.10C.16D.144.如果在任何时候取四个数字1、2、3和4的和(不重复)，这些数字的不同和将被取掉()。A8 b . 9 c . 10d . 5第二，填空1.数字2、3、4、5可以组成_ _ _ _ _ _ _ _ _三位数、_ _ _ _ _ _ _四位数、_ _ _ _ _ _ _五位数。2.使用1，2，3.9个九位数，它可以形成_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _个四位数和_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _个六位数。商店里有15种夹克衫和18种裤子。有人想买一件夹克或一条裤子，总共有_ _ _ _ _ _种不同的选择。买一件夹克和一条裤子，总共有_ _ _ _ _ _种不同的选择。4.如果两个不同尺寸的立方体玩具在每一面分别标有数字1、2、3、4、5、6，则有_ _ _ _ _ _种情况，在上面标有两个数字的乘积不小于20。三。回答问题1.将1，2，3，4