高二数学期末分类整理之立体几何解答人教

高二数学期末试题分类整理之立体几何解答1、如图ABC与DBC所在的平面互相垂直，且AB=BC=BD，ABC=DBC=120.求：（1）直线AD与平面BCD所成的角；（2）直线AD与直线BC所成的角；（3）二面角ABDC的大小.B1BACC1A1D2、如图：已知直三棱柱ABCA1B1C1的底面是等腰直角三角形，连结AB1、AC1，设D为A1B1的中点，（1）证明：平面A1B1BA；（2）求面AC1B1与面A1AB1所成的二面角的值，（3）求点A1到平面ADC1的距离证明：（1）因为A1A面A1B1C1，A1A面A1B1BA，所以面A1B1BA面A1B1C1。又在等腰直角三角形A1B1C1中，D为斜边A1B1的中点，所以C1DA1B1，而面A1B1BA面A1B1C1= A1B1，所以平面A1B1BA；-4分（2）在面A1B1BA中，过D作DEAB1于E，连C1E，由于平面A1B1BA，且DEAB1，所以C1EAB1，故C1ED为二面角C1-AB1-A1的平面角。在Rt中，A1A=，A1B1=，故DB1=，DE=，又C1D=，所以，因此所求的二面角C1-AB1-A1的值为。-8分（3）过A1作AHAD于H，由于平面A1B1BA，C1D平面ADC1，因此平面ADC1平面A1B1BA，AH平面A1B1BA，AD=平面ADC1平面A1B1BA，故AH平面ADC1，由于AA1=，A1D=，AD=，由于|AA1 |A1D| =|AD|A1H|，求得A1H=-12分注：可用空间向量来证明或计算。3、如图，在棱长为2的正方体OABCO1A1B1C1中，E、F分别为棱AB和BC上的动点，且AE=BF，（1）求证：A1FC1E；（2）当O1BEF时，求点B到平面B1EF的距离；（3）在（2）的条件下，若M为棱BB1上的一点，且O1M平面B1EF，试定出点M的位置，并说明理由。解法一：(1)设AE=BF=m,则EB=FC=2- m,延长O1A1至点Q,使A1Q=BF= m,延长O1C1至点P,使C1P=EB=2- m,可证四边形A1QBF为平行四边形,则A1FBQ,同理BPEC1,可求得O1Q=2+ m, O1P=4- m,则PQ=,可求得: BQ=，BP=可知|PQ|2=| BQ |2+| BP |2, 故BQBP,有A1FC1E,-4分(2) 当O1BEF时,由于O1O平面OABC,则有EFOB,由于正方形OABC,ACOB,所以ACEF,可知：EB=BF，则2-m=m,则m=1，E、F分别为AB、BC的中点，求得EF=，B1E=B1F=，设点B到平面B1EF的距离为，则有：，求得-8分（3）由于O1M平面B1EF，则O1MB1E，由于O1A1平面A1B1BA，由三垂线定理逆定理，得A1MB1E，可证得：B1A1M=BB1E，则B1M=BE=1，即点M为棱BB1的中点。证法二：建立如图空间直角坐标系，设AE=BF=m，则E（2，m,0）,F(2-m,2,0),A1(2,02), C1(0,2,2)，则=(-m,2,-2),=(2,m-2,-2),则=2(-m)+2(m-2)+(-2)(-2)=0,则，即A1FC1E，-4分（1） 求得： =(2,2,-2),=(-m,2-m,0) 因为O1BEF，故：=2(-m)+2(2-m)+0=0,则m=1，可用参考方法一体积法求，另法：设平面B1EF的法向量为：=，可求得：=(-1,1,0)，=（0,-1,-2）, 有：=0且=0，可求得：，故：而=(0,1,0), =（1，1，），则点B到平面B1EF的距离为= （3）设点M（2,2,h）,O1=(0,0,2),由于O1M平面B1EF，则O1MB1E，O1MB1F，则且，可求得，则点M为棱BB1的中点。ABCDP4、如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是平行四边形，DAB=60，AB=4，AD=2，侧棱PB=，PD=（1） 求证：BD平面PAD； （2） 若PD与底面ABCD所成的角为60， 试求二面角PBCA的大小解答：（1）证明：由余弦定理得：AB=,ABD为直角三角形，ADBD（2分）由PB2=PD2+BD2 得ABD为直角三角形，PDBD（4分）PD与AD交与D BD面PAD（5分）（2）BD面PAD，BD面ABCD 面PAD面ABCD（6分）作PEAD于E，又PE面PAD，PE面ABCD，作EFBC于F，连PF，则PFBC PFE是二面角PBCA的平面角（9分）计算得（略） tanPFE,二面角PBCA的大小arctan（12分） 5、如图，直三棱柱中，为棱的中点；(1) 求异面直线与所成的角；(2) 求证：平面平面；解一：（1）以AB为轴，以AC为轴，以为轴建立直角坐标系，设，1分则：， 3分 4分 5分所以异面直线与所成的角为 6分 （2） 8分 ， 则， 10分平面，又平面平面平面 12分解二：（1）连结交于点，取中点，连结，则直线与所成的角就是异面直线与所成的角 1分设，则，在中， 3分在直三棱柱中，则， 5分异面直线与所成的角为 6分（2）在直三棱柱中，平面， 8分， 10分 平面，又平面，平面平面 6、如图，已知ABCD是矩形，PA平面ABCD，M，N分别是AB，PC的中点，PA=2，PD=AB，且平面MND平面PCD（1）求证：MNAB；（2）求二面角PCDA的大小；（3）求三棱锥DAMN的体积。解法一：（1）设，又，则，建立直角坐标系如图，则 2分 3分由 5分（2）由平几知识有： 6分 由 8分，又是二面角的平面角在中，所以，故二面角的大小为 （3）N到平面AMD的距离 12分所以 14分解法二：（1）PA面，ABCD是矩形 又N为PC的中点， 而M是AB的中点， MNAB （2）由PD=AB=DC，N是PC的中点得：NDPC，又由面MND面PCD得：PC面MND PCMN MP=MC 即，易知为二面角的平面角二面角的大小为 （3）N到平面AMD的距离 12分所以 14分7、在中，平面外有一点，平面，垂足为已知，点到直线的距离和都为求：() 点到平面的距离；() 与平面所成角的大小解：()连结，平面，且， 2分同理，3分又，为正方形4分，6分又，即点到平面的距离为68分()连结，则为与平面所成的角9分，10分即与平面所成角的为12分8、如图，在直三棱柱中，是的中点，是的中点() 求证：平面；() 求二面角的大小解：()取的中点，连结，则，1分且四边形是平行四边形 3分又平面，平面，平面 5分()三棱柱是直三棱柱，又，平面7分在平面内，作，垂足为，则由三垂线定理得，所以即为二面角的平面角9分， 10分， 11分因此，二面角的大小的大小为12分9、如图，在四棱锥P-ABCD中，PA、AB、AD两两互相垂直，BCAD，且AB=AD=2BC，E，F分别是PB、PD的中点。（）证明：EF平面ABCD；（）若PA=AB，求PC与平面PAD所成的角.（）证明：连结BD在PBD中，E，F分别为PB、PD中点 EFBD-2分 又EF平面ABCDEF平面ABCD-4分（）解：取AD中点G，连接CG、PG 四边行ABCD中，BCAD，AD=2BC CGAB -6分 又ABAD，ABAP，APAD=A AB平面PADCG平面PAD GPC是PC与平面PAD所成的角-9分 设PA=2a，则AB=CG=2 a，BC=AG= a, AC=a PC=3a 在RTPGC中，sinGPC= GPC= arcsin 即PC与平面PAD所成的角是arcsin-12分10、已知平行六面体ABCDA1B1C1D1中,底面ABCD是边长为的正方形,侧棱A A1的长为,A1AB=A1AD=1200.求: (1)对角线A C1的长; (2)直线B D1和AC夹角的余弦值.19. (1)a (2) 11、如图,四棱锥P-ABCD的底面是矩形,侧面PAD是正三角形,且侧面PAD底面ABCD,E为侧棱PD的中点.（1）求证:PB/平面EAC;（2）若AD=AB,试求二面角A-PC-D的正切值; （2）当的值等于多少时,能使PBAC?并给出证明.（1）略（2）（3） 12、如图所示，正四棱锥PABCD中，侧棱PA与底面ABCD所成角的正切值为.（）求侧面PAD与底面ABCD所成二面角的大小；（）若E是PB中点，求异面直线PD与AE所成角的正切值；解：（1）连结AC、BD，设AC与BD交于O点，连结PO由于P-ABCD为正四面体，故PO面ABCD过O作OFAD于F，连结PF，则ADPF，PFO即为面PAD与底面ABCD所成二面角的平面角 （2分）设底面ABCDA的棱长为2,PO=h,则AF=OF=,OA=, （3分）, （4分） （5分） （6分）(2)连结OE.O、E分别为线段DB、PB的中点，OEPD，AEO即为异面直线PD与AE所成的角. （7分）POAO，BDAO，AO面PDB （8分）又OE面PDB，AOOEAO=， （10分）. （12分）13、)如图，四棱锥S-ABCD的底面ABCD是正方形，SA底面ABCD，E是SC上的一点，（1）求证：平面EBD平面SAC；（2）若SA=4，AB=2，求点A到平面SBD的距离；（3）当的值为多少时，二面角B-SC-D的大小为？解：1）略；（2）；（3）114、如图，正三棱柱中，E是AC中点（）求证：平面；（）若 求：点到的距离；（）若，求二面角的大小()证明：是正三棱柱， ABC是正三角形，E是AC中点，, 又平面3分()证明：连是正三棱柱，是矩形，D是的中点E是AC的中点，DE ，平面5分作交延长线于M，可证得AM6分AM的长就是点到的距离，由，可解得AM=点到的距离为8分 (）解：作，于G，连CG平面，9分FG是CG在平面上的射影根据三垂线定理得，CGF是二面角的平面角10分设，则在中，在中，在中，二面角的大小是4512分15、已知SA平面ABC，SA=AB，ABBC，SB=BC，E是SC的中点，DESC交AC于D。（1）求证：SC面BDE；（2）求二面角EBDC的大小。（1）证明：（1）SB=BC E是SC的中点 BESC DESCSC面BDE（2）解：由（1）SCBDSA面ABCSABDBD面SACEDC为二面角E BD C的平面角CDE=600。16、在矩形中，沿对角线将折起，使点移到 点，且在平面上的射影恰好在上。（1）求证：面；（2）求点到平面的距离；（3）求直线与平面的成角的大小解：（1）在平面上的射影在上，面。故斜线在平面上的射影为。 又，又， 面（2）过作，交于。 面，面 故的长就是点到平面的距离， 面 在中，；在中，在中，由面积关系，得（3）连结，面，是在平面的射影为直线与平面所成的角