高二数学棱柱例题解析人教

高二数学棱柱例题解析一. 本周教学内容： 棱柱 1. 棱柱的概念与性质 2. 直棱柱是特殊的棱柱，具有棱柱的性质且还有自身的特点： （1）侧棱都相等且互相平行，等于棱柱的高； （2）侧面是矩形； （3）两个底面与平行于底面的截面是全等的多边形； （4）过不相邻的两条侧棱的侧面（对角面）是矩形。 长方体对角线的性质：长方体一条对角线的平方等于一个顶点上三条棱长的平方和。 3. 特殊的四棱柱：平行六面体 平行六面体的概念与性质 【典型例题】 例1. 斜三棱柱ABCA1B1C1的底面是边长为a的正三角形，侧棱长等于b，一条侧棱AA1和底面相邻两边AB、AC都成45角，求这个三棱柱的侧面积。 分析：求斜棱柱的侧面积一般有两种方法一是定义法，一是公式法。 解1：AA1和底面AB、AC成等角，且为45角。 A1在底面ABC上的射影在BAC的平分线AG上。 又ABC为正三角形 AGBC。 A1A在底面ABC上的射影在AG上。 BCA1A 又A1AB1B B1BBC，即侧面B1BCC1为矩形 SB1BCC1B1BBCab 又侧面A1ABB1和侧面A1ACC1都是平行四边形，全等。 解2：过点B，在侧面ABB1A1内，作BMA1A，连结CM。 在ABM和ACM中，ABAC，MABMAC45，MA为公共边。 ABMACM AMCAMB90 A1A截面BMC，即截面BMC为斜三棱柱的直截面。 说明：本题是棱柱侧面积公式的正面应用，公式正用的关键是创造公式中的应用条件，比如作直截面，并确定其周长C1就是为了创造这种条件。 例2. 如图所示，在正三棱柱ABCA1B1C1中，EBB1，截面A1EC侧面AC1。 （1）求证：BEEB1。（2）若AA1A1B1，求平面A1EC与平面A1B1C1所成二面角（锐角）的度数。 分析：（1）着眼点：空间线面关系及正三棱柱性质的应用。 证明：在截面A1EC内，过E作EGA1C，G是垂足，如图 面A1EC面AC1， EG侧面AC1。 取AC的中点F，分别连结BF和FC，由ABBC得BFAC。 面ABC侧面AC1，BF侧面AC1， 得BFEG。BF和EG确定一个平面，交侧面AC1于FG。 BE侧面AC1， BEFG，四边形BEGF是 ，BEFG。 BEAA1，FGAA1，AA1CFGC。 分析：（2）着眼点：构造二面角的平面角。关键：确定二面角的棱。 解：如图，分别延长CE和C1B1交于点D，连结A1D。 B1A1C1B1C1A160 DA1C1DA1B1B1A1C190， 即DA1A1C1。CC1面A1C1B1， 即A1C1是A1C在平面A1C1D上的射影，由三垂线定理得DA1A1C，所以CA1C1是所求二面角的平面角。且A1C1C90。 CC1AA1A1B1A1C1， CA1C145，即所求二面角为45。 如果改用面积射影定理，则还有另外的解法。 另解：设ABC的边长为a，截面A1EC和底面所成二面角为， CC1AA1A1B1a 090，45。 即平面A1EC与平面A1B1C1所成角为45。 例3. 如图，正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，底面边长为，侧棱长为4E，F分别为棱AB，BC的中点，EFBDG. （）求证：平面B1EF平面BDD1B1； （）求点D1到平面B1EF的距离d； 本小题主要考查正四棱柱的基本知识，考查空间想象能力、逻辑思维能力和运算能力。 （）证法一：连结AC 正四棱柱ABCDA1B1C1D1的底面是正方形， ACBD，又ACD1D，故AC平面BDD1B1. E，F分别为AB，BC的中点，故EFAC， EF平面BDD1B1， 平面B1EF平面BDD1B1. 证法二： BEBF，EBDFBD45，EFBD. 又 EFD1D EF平面BDD1B1， 平面B1EF平面BDD1B1 （）在对角面BDD1B1中，作D1HB1G，垂足为H 平面B1EF平面BDD1B1，且平面B1EF平面BDD1B1B1G， D1H平面B1EF，且垂足为H，点D1到平面B1EF的距离dD1H. 解法一：在RtD1HB1中，D1HD1B1sinD1B1H. 解法二：D1HB1B1BG， 解法三：连结D1G，则三角形D1GB1的面积等于正方形DBB1D1面积的一半， 即【疑难解析】 1. 棱柱的概念及其与各种特殊的棱柱的包含关系是学习的难点；棱柱有两个本质特征，一个是有两个平面互相平行，一个是其余各面每相邻两个公共边都互相平行。用集合的关系比较容易理解棱柱与特殊棱柱及其之间的关系： 棱柱直棱柱斜棱柱；直棱柱正棱柱 棱柱四棱柱平行六面体直平行六面体长方体正四棱柱正方体。 棱柱概念、性质结构的“纽带”是“化归”方法，无论是定义还是性质，都是把它们转化为已熟悉的直线、平面的位置关系，棱柱主要侧面、对角面、底面和平行底面的截面及侧棱的性质。 2. 正确计算棱柱的侧面积是本节的又一难点，侧面与侧面积是两个不同的概念，侧面积等于所有侧面面积之和。【模拟试题】 1. 设M直平行六面体，N长方体，P正四棱柱，Q直四棱柱，这些集合间的关系是（ ） 2. 如图，长方体ABCDA1B1C1D1中，对角线BD1与面ABCD、面CDD1C1、面ADD1A1成角分别记为，则cos2cos2cos2_。 A. 1 B2 C. 0.5 D. 不是定值，与一个顶点上三条棱的长度有关 3. 正三棱柱ABCA1B1C1中，求证：（1）若AB1BC1，则A1CBC1；（2）若AB1与BC1成角，则A1C与BC1也成角。 4. 如图，已知正棱柱ABCDA1B1C1D1，点E在棱D1D上，截面EACD1B，且面EAC与底面ABCD所成的角为45，AB.。 （）求截面EAC的面积； （）求异面直线A1B1与AC之间的距离。 5. 如图，直三棱柱ABCA1B1C1中，底面是等腰直角三角形，ACB90，侧棱AA12，D、E分别是CC1与A1B的中点，点E在平面ABD上的射影是ABD的垂心G. （）求A1B与平面ABD所成角的大小（结果用反三角函数值表示）；（）求点A1到平面AED的距离。参考答案 1. 解：对于特殊的几类四棱柱之间的区别与联系应熟练掌握。 答案：D。 2. 解：由长方体性质可知DD1平面ABCD，连结BD，可知BD是BD1在平面ABCD上的射影，则角D1BD为BD1与平面ABCD成角。 cos2cos2cos22 答案：B。 3. 解：（1）如图（1），取BC中点D，B1C1中点D1，连结B1D，CD1 ABC，A1B1C1是正三角形， ADBC，A1D1B1C1 又本题棱柱是正棱柱，侧棱与底面垂直， BB1AD，BB1A1D1， AD面BCC1B1，A1D1面BCC1B1， B1D和CD1分别是AB1和CA1在面BCC1B1内的射影 AB1BC1，B1DBC1 D，D1分别是BC，B1C1的中心，BCC1B1是矩形， B1DCD1，CD1BC1， A1CBC1 （2）设E为AC中点，O为BC1中点，F为A1B1的中点，如图（2），连结EB，EO，FO，FC1，则OEAB1，OFA1C，故BOE等于BC1与AB1所成之角，C1OF等于BC1与A1C所成之角。 AB12OE，A1C2OF，而AB1A1C， OEOF，又 BEC1F，OBOC1， BOEC1OF，BOEC1OF， 故BC1与AB1所成之角等于BC1与A1C所成之角，都是 4. （1）解：如图，连结DB交AC于O，连结EO。 底面ABCD是正方形 DOAC。 又ED底面AC， EOAC。 EOD是面EAC与底面AC所成二面角的平面角 EOD45。 DO，AC，Eoasec45/2a. 故 SEACa2/2 （2）解：由题设ABCDA1B1C1D1是正四棱柱，得A1A底面AC， A1AAC。 又A1AA1B1，A1A是异面直线A1B1与AC间的公垂线。 D1B面EAC，且面D1BD与面EAC交线为EO， D1BEO。 又O是DB的中点， E是D1D的中点，D1B2ED2a。 异面直线A1B1与AC间的距离为a。 5.（）解：连结BG，则BG是BE