高二数学椭圆标准方程知识精讲苏教

高二数学椭圆标准方程知识精讲一. 本周教学内容：椭圆标准方程二. 重点、难点：教学重点：1、使学生理解椭圆的定义，掌握椭圆的标准方程的推导及标准方程2、通过对椭圆概念的引入与标准方程的推导，培养学生分析探索能力，增强运用坐标法解决几何问题的能力3、通过对椭圆标准方程的推导的教学，可以提高对各种知识的综合运用能力教学难点：坐标系的建立与椭圆标准方程的推导二. 主要知识点1、椭圆的定义：平面内到两定点F1、F2的距离之和等于常数（大于|F1F2|）的点的轨迹叫做椭圆这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做焦距说明：（1）需加限制条件：“在平面内”（2）若常数|F1F2|，则是线段F1F2；若常数|F1F2|，则轨迹不存在2、标准方程的推导（1）建系设点建立坐标系应遵循简单和优化的原则，如使关键点的坐标、关键几何量（距离、直线斜率等）的表达式简单化，注意充分利用图形的对称性，使学生认识到下列选取方法是恰当的以两定点F1、F2的直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系（如图）设| F1F2|2c（c0），M（x，y）为椭圆上任意一点，则有F1（c，0），F2（c，0）（2）点的集合由定义不难得出椭圆集合为：PM|MF1|+|MF2|2a（3）代数方程（4）化简方程（其中a2b2+c2）3. 两种标准方程的比较【典型例题】例1、平面内两定点的距离是8，写出到这两定点的距离的和是10的点的轨迹的方程分析：先根据题意判断轨迹，再建立直角坐标系，采用待定系数法得出轨迹方程解：这个轨迹是一个椭圆，两个定点是焦点，用F1、F2表示取过点F1和F2的直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系2a10，2c8a5，c4，b2a2c225169b3因此，这个椭圆的标准方程是，即请大家再想一想，焦点F1、F2放在y轴上，线段F1F2的垂直平分线为x轴，轨迹方程是什么形式呢？变式1、已知B、C是两个定点，BC6，且ABC的周长等于16，求顶点A的轨迹方程分析：在解析几何里，求符合某种条件的点的轨迹方程，要建立适当的坐标系，而选择坐标系的原则，通常欲使得到的曲线方程形式简单在图中，由ABC的周长等于16，BC6可知，点A到B、C两点的距离之和是常数，即AB+AC16610，因此，点A的轨迹是以B、C为焦点的椭圆，据此可建立坐标系并画出草图（如图）说明：求出曲线后，要注意检查一下方程的曲线上的点是否都符合题意，如果有不符合题意的点，应在所得方程后注明限制条件；例2要求学生对椭圆的定义比较熟悉，这样可以在求曲线轨迹方程时，简化求解步骤，快速准确地得到所求的轨迹方程，并且在课堂练习中对这点予以强调.变式2、过椭圆4x2+y21的一个焦点F1的直线与椭圆交于A、B两点，则A、B与椭圆的另一个焦点F2构成ABF2的周长是多少？解：根据题意画出图形|AF1|+|AF2|2|BF1|+|BF2|2|AF1|+|BF1|+|AF2|+|BF2|4即|AB|+|AF2|+|BF2|4变式3、如果椭圆上一点M到此椭圆一个焦点F1的距离为2，N是MF1的中点，O是椭圆的中心，那么线段ON的长为多少？解：根据题意画出图形，其中F2是椭圆的另一个焦点，由椭圆定义得：|MF2|+|MF1|2510又|MF1|2，|MF2|8ON是MF1F2的中位线|ON|4评述：对于例1可以通过分别求出A、B两点的坐标从而求出ABF2的周长对于例2可以通过求M点坐标，再求N点坐标，从而求ON的长度但通过利用定义求出结果的这种方法可以使我们去繁就简，其巧妙之处大家也深有感触可见寻求简捷的解法应成为我们不断探索的动力例2. 如图，已知一个圆的圆心为坐标原点，半径为2，从这个圆上任意一点P向x轴作垂线段PP，求线段PP中点M的轨迹解：设点M的坐标为（x，y），点P的坐标为（x0，y0），则xx0，y因为P（x0，y0）在圆x2+y24上，所以x02+y024 将x0x， y02y代入方程，得 x2+4y24 即 + y21所以点M的轨迹是一个椭圆（如图）说明：本题在求点M（x，y）的轨迹方程时，不是直接建立关于x，y之间关系的方程，而是先寻找x，y与中间变量x0，y0之间的关系，利用已知关于x0，y0之间关系的方程，得到关于x，y之间关系的方程这种利用中间变量求点的轨迹方程的方法是解析几何中常用的方法如果求得点的轨迹的方程形式与椭圆的标准方程相同，那么这个轨迹是椭圆由本题结论可以看到，将圆按照某个方向均匀地压缩（拉长），可以得到椭圆变式1、已知F是椭圆25x2+16y2400在x轴上方的焦点，Q是此椭圆上任意一点，点P分所成的比为2，求动点P的轨迹方程.解：把已知椭圆方程变为从而焦点F的坐标为（0，3）设点P坐标为（x，y），Q点的坐标为（x1，y1），则 25x12+16y12400 由P分所成比为2，得x13x，y13y6 代入得：225x2+144y2576y+1760.说明：例4在求解曲线轨迹的过程当中，也使用到了利用中间变量求轨迹的方法变式2、在椭圆内，内接三角形ABC，它的一边BC与长轴重合，A在椭圆上运动，试求ABC的重心轨迹分析：直接寻找三角形ABC的重心P的轨迹较为困难，而A在椭圆上运动，可将点P转移到A来讨论解：设重心P（x，y）及A（x1，y1），则AO是三角形ABC的中线，根据三角形重心公式与定比分点定义，有，则有：x1 y1 A点在椭圆上 是所求点的轨迹方程，且所求点的轨迹方程是一个中心在原点，焦点在x轴上的椭圆例3、已知F1、F2是椭圆的两个焦点，P是椭圆上任一点（1）若F1PF2，求F1PF2的面积.（2）求|PF1|PF2|的最大值分析：（1）如果设P（x，y），由P点在已知椭圆上且F1PF2，利用这两个条件，列出关于x，y的两个方程，解出x，y，再求F1PF2的面积，这种思路虽简单清晰，但运算量大，过程繁琐，须另寻捷径，不妨利用椭圆定义去求，如果考虑到F1PF2，和三角形面积公式SabsinC，只要求得|PF1|PF2|，问题就可以解决了（2）继续利用椭圆定义及均值不等式定理即可求出|PF1|PF2|的最大值解：（1）设|PF1|m，|PF2|n，根据椭圆定义，有m+n20，在F1PF2中，由余弦定理可得：m2+n22mncos122m2+n2mn144（m+n）23mn1442023mn144mn|PF1|PF2|sinF1PF2（2）a10，根据椭圆定义有：|PF1|+|PF2|20|PF1|+|PF2|2 |PF1|PF2|（当且仅当|PF1|PF2|时“”号成立|PF1|PF2|的最大值是100评述：对解题方法的灵活选择，运用自如，是建立在扎实的基本功和基本技能的基础上形成的一种能力，教学中应引起我们的重视【模拟试题】一、选择题： 1. 方程10，化简的结果是 A. B. C. D. 2. 若点P到两定点F1（4，0），F2（4，0）的距离和是8，则动点P的轨迹为 A. 椭圆B. 线段F1F2 C. 直线F1F2 D. 不能确定 3. 下列说法正确的个数是 平面内与两个定点F1、F2的距离和等于常数的点的轨迹是椭圆与两个定点F1、F2的距离的和等于常数（大于| F1F2|）的点的轨迹是椭圆方程（ac0）表示焦点在x轴上的椭圆方程（a0，b0）表示焦点在y轴上的椭圆A. 1B. 2C. 3D. 44. 椭圆的焦距为2，则m的值等于 A. 5或3B. 8C. 5D. 165. 若椭圆2kx2+ky21的一个焦点是（0，4），则k的值为 A. 32B. 8C. D. 6. 过点（3，2）且与有相同焦点的椭圆是 A. B. C. D. 7. ，方程sinx2+cosy21表示焦点在x轴上的椭圆，则的取值范围为 A. （0，）B. （0，）C. （，）D. ，8. 椭圆ax2+by2+ab0（abb0）F1，F2是它的两个焦点，AB是过点F1的直线AB被椭圆截得的线段长，则ABF2的周长为三、解答题：13. 椭圆的两个顶点坐标分别为（3，0），（3，0），且短轴长是长轴长的，求椭圆方程14. 已知方程（2k）x2+ky22kk2表示椭圆，求实数k的取值范围15. 已知ABC的三边a，b，c成等差数列，且abc，点A（1，0），点C的坐标为（1，0），求顶点B的轨迹方程参考答案一、选择题题号12345678答案CBBADCAD二、填空题 9. 14；10. （3，2）；11. ；12. 4a三、解答题13. 解：当焦点在x轴