高二数学第二章第1－3节向量的坐标表示及空间向量的基本定理知识精讲北师大理选修2－1

高二数学 第二章 第13节 从平面向量到空间向量；空间向量的基本计算；向量的坐标表示及空间向量的基本定理北师大版（理）选修21【本讲教育信息】一、教学内容：选修21 空间向量的运算及空间向量的基本定理二、教学目标：1. 理解并掌握空间两个向量的夹角、直线的方向向量、平面的法向量、共面向量等基本概念。2. 熟练地掌握空间向量的加减运算、数乘运算、空间向量坐标运算的运算法则、运算律及空间向量的数量积的几何意义及性质。3. 熟练地掌握共线向量定理、空间向量的基本定理，并能利用它们讨论证明空间的线面关系。4. 体会用类比的数学思想、方程的数学思想、等价转化的数学思想解决问题。三、知识要点分析：（一）平面向量与空间向量的相同点：1. 向量夹角：过空间一点O作是向量与向量的夹角。范围：0， 2. 加减运算：加减运算法则：向量的平行四边形法则（三角形法则） 运算律：结合律：，交换律：3. 数乘运算法则：向量a与实数的乘积是一个向量，记作：，满足（i），（ii）当时，与方向相同，反之，相反。运算律：（i） （ii）.（iii） 4. 空间向量的数量积：。运算律：交换律： 分配律：，=性质：（1），（2），（3）注：向量的数量积运算不满足乘法的结合律。即5. 共线向量定理：共线6. 直线的方向向量：空间直线L上有A，B两点，则向量称为L的方向向量（二）平面向量与空间向量相似知识点：平平面向量空间向量相相似知识点1. 坐标运算：，），2. 向量积性质的坐标表示：（1）（2）（3）cos=3. 共线向量定理坐标表示：共线4. 平面向量基本定理：平面内不共线，平面内任意向量，有且只有一对实数使5. 相关的结论：（1）重心坐标：的重心G的坐标是：（2）定比分点坐标：有向线段，A（，P（x，y）分所成的比是。则1. 坐标运算：，2. 向量积性质的坐标表示（1）（2）=0（3）cos =3. 共线向量定理坐标表示：共线4. 空间向量基本定理：空间向量不共面，空间内任意向量有且只有一组实数使5. 相关的结论（1）重心坐标：重心G的坐标是：（2）定比分点坐标：有向线段，A（，P（x，y，z）分所成的比是。则【典型例题】考点一：空间向量的基本计算例1. 已知空间四边形OABC，对角线OB、AC，M、N分别是对边OA、BC的中点。点G在线段MN上。且使：MG=2GN，若，求X，Y，Z的值。【思路分析】由已知M，N分别是对边OA、BC的中点，可以找出的关系。再根据G是MN的三等分点，找出的关系 由上面的两个关系，可以用 解：。由M是OA的中点，N是BC的中点得：，又故由MG=2GN又所求X，Y，Z的值是。考点二：空间共线向量定理及空间向量基本定理的应用例2. 在棱长为1的正四面体OABC中，对于在空间一点P，是否存在三个唯一的实数，当这三个实数的和为1时，使最小，若存在，求出最小值，并指出P点的位置。若不存在，说明理由。【思路分析】这是一道探索性的命题，假设存在三个实数X，Y，Z满足题设条件，再利用空间向量基本定理用X，Y，Z表示，当X+Y+Z=1时，采用空间向量的数量积的运算及不等式的知识解决。解：由已知：不共线，故由空间向量基本定理得：（其中，X，Y，Z且X，Y，Z唯一），=1XYXZYZ而1=X+Y+Z又，故.P点在平面ABC内。【另解】由，P点在平面ABC内。最小时即是正四面体OABC的高。故【说明】共面向量定理：若空间两个向量不共线，则向量共面的充要条件是：存在唯一的一对实数x，y，使推论：空间一点P位于平面ABC内的充要条件是：存在有序实数对使例3 已知（1，2，3），（2，1，2），（1，1，2），O为原点，点Q在直线OP上运动，当取得最小值时，求点Q的坐标。【思路分析】由已知得O，P，Q共线，可由共线向量定理表示的坐标，进而表示的坐标。然后利用函数方法解决。解：由O，P，Q共线，故当取得最小值是，此时，即Q点坐标为考点三：利用空间向量研究平行、垂直问题例4. 在空间四面体ABCD中，（如图）（1）AB，AC，AD两两垂直，求证：A点在平面BCD内的射影O是的垂心。（2）三对对棱中点的连线相交于一点且在该点互相平分。【思路分析】要证O是三角形BCD的垂心，如图；只要证明BO与CD垂直，CO与BD 垂直。，当然也可不利用向量来证明。（1）证明：，AO垂直于平面BCDAB与AC，AB与AD垂直平面ACD同理可证：CO，故O是三角形BCD的垂心。（2）设分别是三对对棱中点连线EF，MN，GH的中点，设则同理：即点重合。命题得证。注：空间四面体的重要性质要熟练地掌握，它是高考的考查重点。有如下的性质：（1）空间四面体有3对异面直线（相对棱互为异面）（2）空间四面体的三对对棱中，若有两对对棱垂直，则第三对对棱也垂直。（3）空间四面体对棱中点的连线相交于一点且在该点互相平分。（4）空间四面体一个顶点发出的三条棱两两垂直，此点在所对的面上的射影是三角形的垂心（空间四边形的三对对棱有两对对棱垂直，则任意一顶点在所对面上的射影都是三角形的垂心）（5）空间四面体三条侧棱与底面所成的角相等，则顶点在底面上的射影是三角形的外心。（6）空间四面体的三个侧面与底面所成的角相等，则顶点在底面上的射影是三角形的内心例5. 如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，已知ABAA1a，BCa，M是AD的中点。()求证：AD平面A1BC；()求证：平面A1MC平面A1BD1；()求点A到平面A1MC的距离。解：以D点为原点,分别以DA,DC,DD1为x轴,y轴,z轴,建立空间直角坐标系D-xyz如图所示.则D(0,0,0),B(,C(0,a,0),A1(,A(,M(，D1(0,0,a)证明：,设平面A1BC的法向量为则取z=1,则又,即AD/平面A1BC.证明：,设平面A1MC的法向量为:,取X=,则Y=1,Z=-1,故又,设平面A1BD1的法向量为: 取y=1,则x=0,z=1,故,即平面A1MC平面A1BD1.设点A到平面A1MC的距离为d,由第（II）问知：平面A1MC的法向量, ，A点到平面A1MC的距离为:.【本讲涉及的数学思想、方法】本讲主要讲述空间向量的基本运算及空间向量的基本定理，在应用这些知识时充分运用了类比的数学思想、（如空间向量知识与平面向量知识的类比）函数与方程的数学思想、等价转化的数学思想（把立体几何问题转化为空间向量问题）等。预习导学案（利用空间向量求距离、角）（一）预习前知1. 互为异面直线所成的角是如何定义的，该角取值范围如何？2. 直线与平面所成的角的定义是什么？该角取值范围如何？3. 两个平面所成的角的定义是什么？4. 互为异面的两直线的公垂线是如何定义的？它们的距离是如何定义的？5. 点到平面的距离是如何定义的？直线与平面的距离是如何定义的？平面与平面的距离如何定义的？线面距离、面面距离的求法最终可以转化为点面距离来求吗？（二）预习导学反思与探究反思与探究的内容：利用空间向量求距离和角1. 空间两个向量夹角的定义是 。范围是 。2. 互为异面直线所成的角的定义是 。范围是 。求互为异面直线所成的角的方法有 、 、 、 。（定义法、平移法、补形法、空间向量法）【反思】利用空间向量法求异面直线所成的角的方法是什么？要注意什么问题？如：设互为异面直线上的两个向量（或方向向量），若cos=m，当m0）若m0，如何表示？4. 两个平面所成的二面角是如何定义的？利用空间向量求二面角的方法是 。【反思】假设二面角的平面角是，分别是平面的法向量。则，在什么情况下为锐角？在什么情况下为钝角？图（1） 图（2）5. 利用空间向量求点到平面的距离、点到直线的距离的方法是 。【反思】（1）设是直线L上的方向向量，线段AB在直线L上的投影是，利用求点到直线的距离，点到平面的距离。请举例说明。（2）设P是平面外的一点，PA是平面的斜线段，A为斜足。P点在平面上的射影是O，设PO=d（P点到平面的距离），是平面的法向量。则d=，你能推出这个公式吗？ 6. 利用空间向量如何求异面直线之间的距离？ 【反思】如图，设CD是异面直线a，b的公垂线，A，B分别是直线a，b上的两点，令则d=|CD|=，请你根据图形推导这一公式。 【模拟试题】（答题时间：60分钟）一、选择题：（每题只有一个正确答案，每题5分，计40分）1. 在平行六面体ABCD中M为AC和BD的交点，若，则下列向量中与相等的是（ ）A. B. C. D. *2. 在平行六面体中，则x+y+z=（ ）A. 1 B. C. D. *3. 设为空间任意向量，下列命题为真命题的是（ ）A. 若 B. 若则C. D. 4. 已知（ ）A. 4 B. 9 C. 9 D. 5. 从P（1，2，3）出发沿着向量 的方向取点Q，使|PQ|=18，则Q点的坐标是（ ）A. （7，0，19） B. （9，4，13） C. （7，0，19）或（9，4，13）D. （1，2，3）或（ 1，2，3） *6. 设A，B，C，D是空间不共面的四点，且满足：，则三角形BCD是（ ）A. 钝角三角形 B. 直角三角形 C. 锐角三角形 D. 不确定 7. 设空间四边形OABC中，G， H 分别是的重心。设，则（ ）A. B. C. D. *8. 已知A，B，C三点不共线，点O是平面ABC外的一点，在下列条件中能说明M与A，B，C四点共面的是（ ）A. B. C. D. 二、填空题：（每题5分，计25分）9. 已知 。10. 已知空间四边形OABC中， ，则OC和AB的关系是 。*11. 在平行四边形ABCD中，AB=AC=1，将它沿对角线AC折起，使AB和CD成60角，则B、D之间的距离是 。*12. 已知正方体中，则与AC之间的距离是 。*13. 与=（3，4，12）平行的单位向量是 。三、计算题：（共35分）14. 已知空间四边形OABC中，对角线为OB，AC，M、N分别是对边OA、BC的中点。点G在MN上，且使MG=2GN，用基本向量表示. *15. 已知AB，CD是异面直线，CD在平面内，AB/，M，N分别是AC，BD的中点，求证：MN与平面 平行。*16. 在四棱锥PABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD与底面ABCD垂直，PD=DC，E是PC的中点，作EF于点F（1）证明PA平面EBD. （2）证明PB平面EFD 【试题答案】一、.1 A 2. B 3. D 4. B 5. C 6. C 7. B 8. B二、9. 10. 垂直 11. 2或 12. 13. 三、14. 解： 又MG=2GN，故有： 15. 证明：由CD在平面内，且