高二数学第二章第4－6节用向量讨论垂直与平行；夹角的计算；距离的计算知识精讲理北师大选修2－1

高二数学 选修21 第二章 第46节 用向量讨论垂直与平行；夹角的计算；距离的计算（理） 北师大版【本讲教育信息】一、教学内容：选修21应用空间向量证明平行、垂直，求“角”和“距离”二、教学目标：（1）通过本讲的学习能熟练地掌握利用空间向量证明平行与垂直、求线线角、线面角、面面角，及利用空间向量求点线距离，线线距离，点面距离，线面距离、面面距离的方法。进一步培养学生分析问题、解决问题的能力。（2）在利用空间向量求距离和角的过程中体会函数的数学思想、方程的数学思想、等价转化的数学思想的应用。三、知识要点分析：A：求空间角1、求异面直线所成的角设a，b两直线异面，所成的角是，分别是直线a，b的方向向量，则，由此式求角。2、求线面角：如图所示，设是平面的法向量，AB是平面的一条斜线，则AB与平面所成的角为：图1图23、求面面角：设向量，分别是平面、的法向量，则二面角的平面角为：（图2）；（图3）B：求空间距离1、异面直线之间的距离：方法指导：如图4，作直线a、b的方向向量、，求a、b的法向量，即此异面直线a、b的公垂线的方向向量；在直线a、b上各取一点A、B，作向量；求向量在上的射影d，则异面直线a、b间的距离为，其中2、点到平面的距离：方法指导：如图5，若点B为平面外任一点，点A为平面内任一点，平面的法向量为，则点B到平面的距离公式为3、直线与平面间的距离：方法指导：如图6，直线与平面之间的距离：，其中。是平面的法向量4、平面与平面间的距离：方法指导：如图7，两平行平面之间的距离：，其中。是平面、的法向量。【典型例题】考点一：求异面直线所成的角和距离例1. 已知正三棱柱ABC 中，P，Q是棱上的点且有，AP=1，且PQ与平面，平面所成的角都是30（1）试确定Q点的位置。（2）求PQ与BC所成的角的余弦值。（3）求PQ与AB之间的距离。 【思路分析】（1）首先建立空间坐标系（如图）Q点是动点 ，由已知确定Q点的坐标，就可以确定Q点的位置。（2）求的坐标，利用 （ 是异面直线PQ，BC所成的角）（3）求异面直线PQ，AB的公垂线的方向向量，再利用求距离。解：（1）建立如图所示的坐标系，设底面边长为a，则C（0，0，0），B（0，a，0），A（，P（，设Q点坐标为（0，y，下面确定y的值。由题易知平面的法向量是，取AB的中点D，由三棱柱是正三棱柱知：是平面的法向量。，由PQ与两平面所成的角相等，即Q点与C1点重合。（2）当y=0时，由已知：PQ与平面所成的角是30得：sin30=|cos|=|，设PQ与BC所成的角是，则cos。（3）设异面直线AB，PQ即AB，PC1的公垂线的方向向量是令x=1，则，故d=【说明】利用空间向量求异面直线之间的距离关键是找出异面直线的公垂线的方向向量，可通过方向向量与异面直线垂直，列出方程组求得。考点二：求线面角和面面角例2. 如图ABCDA1B1C1D1是正四棱柱，AA1：AB=2：1，求（1）A1F与平面BCC1B1所成的角的正弦值。（2）求二面角BA1C1C的余弦值【思路分析】建立空间坐标系（1）先找出平面BCC1B1的法向量再求的坐标，（2）分别求出平面A1C1C，平面BA1C1的法向量，再求面面角。解：（1）建立如图所示的坐标系。设AB=2，则AA1=4.则A（2，0，0），B（2，2，0），C（0，2，0），E（1，1，4），F（1，2，2），A1（2，0，4），B1（2，2，4）. ， 平面 的法向量，设 与平面所成的角是（事实上： =（0，2，0），故sin=|cos|即sin =.（也可以求的夹角）（2）设平面由，令z=1，则x=y=2，同理可求：（1，1，0）两平面所成的二面角 的余弦值是cos 【说明】利用空间向量求二面角时，可采用在两个半平面内找到垂直于棱的两条射线所在的向量，这两个向量所成的角也是二面角的平面角。如本题：，故所成的角就是要求的二面角。例3. 已知如图，四棱锥PABCD的底面为直角梯形，ABDC，底面ABCD，且PA=AD=DC=AB=1，M是PB的中点。（）证明：平面PAD平面PCD；（）求AC与PB所成的角的余弦值；（）求平面AMC与平面BMC所成的二面角余弦值的大小。解：以A点为原点,以分别以AD，AB，AP为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系A-xyz如图所示.则,A(0,0,0) P(0,0,1),D(1，0，0),C(1,1,0),B(0,2,0)，（I）设平面PAD的法向量为 ，显然是平面PAD的 法向量，则，设平面PCD的法向量为则取X=1,则，即平面PAD平面PCD。，设平在AMC的法向量为.取x=-1,则y=1,z=-2,设平面BMC的法向量为.,则取x=1,则y=1,z=2,.面AMC与面BMC所成二面角的余弦值大小为.考点三：求空间距离例4. 在棱长为1的正方体中，E，F分别是棱的中点，（1）求点A1到平面BDEF的距离。（2）求直线B1D1到平面BDEF的距离。【思路分析】建立空间直角坐标系，求平面BDEF的法向量，利用下面的公式求A1到平面BDEF的距离d= 对于第二问：由直线B1D1与平面BDEF平行则直线B1D1到平面BDEF的距离就是D1点到平面BDEF的距离.解：（1）建立如图所示的空间直角坐标系，则D（0，0，0），A1（1，0，1），D1（0，0，1），B（1，1，0），E（，F（0，设平面BDEF的法向量是， 故点A1到平面BDEF的距离d=1（2），D1点到平面BDEF的距离d=，即直线B1D1到平面BDEF的距离是。【说明】对于求点到平面的距离、直线到平面的距离、平面与平面之间的距离最后统一归纳到求点到平面的距离。利用空间向量解决这些问题的关键是找出平面的法向量。考点四：证明平行、垂直问题例5. 如图：平面PAC平面ABC，ABC是以AC为斜边的等腰直角三角形，E，F，O分别是PA，PB，AC的中点，AC=16，PA=PC=10（1）设G是OC的中点，证明FG/平面BOE （2）证明在ABO内存在一点M，使FM平面BOE，并求M到OA，OB的距离。【思路分析】（1）要证FG/平面BOE，只要证明垂直于平面BOE的法向量。（2）设M（x，y，0），根据FM平面BOE确定M点的坐标。但要验证M点在三角形ABO内。（）证明：证明（1）建立如图所示的空间坐标系。则O(0,0,0) A(0,-8,0) B(8,0,0) C(0,8,0) P(0,0,6) E(0,-4,3) F(4,0,3) G(0,4,0),设平面OEB的法向量是，则，且FG不在平面BOE内，故FG/平面BOE(2)设M(x,y,0),由FM平面BOE，故M(4,-在平面直角坐标系xoy中，经验证知：M点满足不等式组。故在三角形AOB内存在一点M满足条件。【说明】利用空间向量证明平行、垂直问题应充分利用法向量和直线所在的向量（或直线的方向向量）（1）证明线线平行只要证两直线的方向向量共线，（2）证明线面垂直只要证直线的方向向量与平面的法向量平行（如本题）（3）证明线面平行只要证直线的方向向量与平面的法向量垂直。（如本题），（4）证明面面平行只要证两个平面的法向量共线，（5）证明面面垂直只要证明两个面的法向量垂直。总结：用空间向量解决立体几何的“三步曲”（1）建立空间坐标系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题；（转化为向量问题）（2）通过向量运算，研究点、直线、平面之间的位置关系以及它们之间的距离和夹角等问题；（进行向量运算）（3）把向量的运算结果“翻译”成相应的几何意义。（回到图形问题）【本讲涉及的数学思想、方法】本讲主要讲述利用空间向量证明线面平行与垂直关系、求空间的距离和角。在应用过程中，体现了方程的数学思想（如确定平面的法向量坐标）、函数的数学思想、等价转化的数学思想（如立体几何问题转化为空间向量问题）等。这些数学思想是高考的重点，也是新课标对学生的能力的考查与要求。预习导学案（椭圆，抛物线标准方程及几何性质）（一）预习前知：（1）你见过现实生活中有哪些物体是椭圆的形状？你能画出椭圆吗？（见教材中椭圆的画法）（2）在初中你学过二次函数（a的图像是抛物线，你能画出抛物线的形状吗？二次函数（a的图像与二次函数（a的图像有何区别？有何关系？（二）预习导学【反思探究】反思探究的任务：椭圆、抛物线的标准方程及几何性质。1. 椭圆的定义是 。用数学语言表达是 。【反思】（1）当动点到两定点的距离之和等于两定点之间的距离时，所画出的图形还是椭圆吗？（2）当动点到两定点的距离之和小于两定点之间的距离时，画出的图形是椭圆吗？2. 椭圆的标准方程的形式有 和 。3. 椭圆的几何性质有：（1） ，（2） （3） ，（4） 【反思】（1）椭圆的离心率反映椭圆的扁平程度，在什么情况下，椭圆接近于圆？（2）若已知椭圆经过P（m，n），Q（r，s）两点，如何设计椭圆的标准方程形式以便于确定其标准方程？（3）已知焦点在x轴上的椭圆上任意一点P（，用P点的坐标表示：|PF1|=_，|PF2|=_，若焦点在y轴上，如何表示？（椭圆的焦点半径公式）（4）椭圆上任意一点到焦点距离的最大值是 ，最小值是 。（5）椭圆上任意一点与两焦点连线构成的三角形（焦点三角形），两连线的夹角是，则焦点三角形面积S=_.4. 抛物线的定义是 ，其标准方程形式有（1） ，（2） ，（3） ，（4） 5. 抛物线的几何性质有：（1） （2） （3） 【反思】（1）已知P（是抛物线上任意一点，则|PF1|=_.（2）若过抛物线的焦点F的直线与抛物线交于A（，B（）两点，则 ，（3）在问题（2）中，若直线AB的倾斜角是，当取何值时，|AB|最长？（以上结论要熟练地掌握）【模拟试题】（答题时间：60分钟）一、选择题：（每题5分，计40分）*1. 在正方体ABCDA1B1C1D1中，则所成角的余弦值是（ ）A. B. C. D. 2. 已知，则的夹角是（ ）A. 30 B. 60 C. 90 D. 120*3. 在正方体ABCD中，AB=a，BC=b，AA1=c，则异面直线BD1和B1C所成角的余弦值是（ ） A. B. C. D. 4. 在正方体ABCD中，A1B与平面A1B1CD所成的角是（ ）A. 60 B. 30 C. 45 D. 15*5. 在平行四边形ABCD中，AB=AC=1，将它沿对角线AC折起，使AB与CD成60角，则B，D之间的距离是（ ）A. 2 B. C. 2或 D. 1或2*6. 正方形ABCD边长为2，E、F分别是AB和CD的中点，将正方形沿EF折成直二面角（如图），M为矩形AEFD内一点，如果MBE=MBC，MB和平面BCF所成角的正切值为，那么点M到直线EF的距离为（ ）A. B. 1 C. D. *7. 在三棱柱ABCA1B1C1中，AA1=1，AB=4，BC=3，ABC=90，设平面A1BC1与平面ABC的交线为l，则A1C1与l的距离为（ ）A. B. C. 2.6D. 2.48. 在正方体ABCDA1B1C1D1中，M为DD1的中点，O为底面ABCD的中心，P为棱A1B1上任意一点，则直线OP与直线AM所成的角是（ ）A. B. C. D. 二、填空题：（每题5分，计20分）9. 已知AOB=90，过O点引AOB所在平面的斜线OC，与OA、OB分别成45、60角，则以OC为棱的二面角AOCB的余弦值等于_. *10. 正三棱锥的一个侧面的面积与底面积之比为23，则这个正三棱锥的侧面和底面所成的二面角的度数为_.11. 如图，空间四点A、B、C、D中，每两点所连线段的长都等于a，动点P在线段AB上，动点Q在线段CD上，则P与Q的最短距离为_.12. 如图，ABCD与ABEF均是正方形，如果二面角EABC的度数为30，那么EF与平面ABCD的距离为_. 三、计算题：（共40分）*13. 如图，为60的二面角，等腰直角三角形MPN的直角顶点P在l上，M，N，且MP与所成的角等于NP与所成的角. 求证：MN分别与、所成的角相等。*14. 在棱长为a的正方体ABCDABCD中，E、F分别是BC、AD的中点. （1）求直线AC与DE所成的角的余弦值；（2）求直线AD与平面BEDF所成的角的余弦值；（3）求面BEDF与面ABCD所成的角的余弦值。15. 已知四边形ABCD，EADM，MDCF都是边长为a的正方形点P，Q分别是ED，AC的中点，（1）求P点到平面EFB的距离。（2）求异面直线PM与FQ的距离。【试题答案】一、选择题：1. B 2. D 3. A 4. B 5. C 6. A 7. C 8. D二、填空题：9. 10. 60 11. 12. 三、计算题：13. 证明：如图设的法向量为，的法向量为，模均为1，由题意，90，设，则，且所以或所以