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文档简介
高二数学椭圆的几何性质知识精讲一. 本周教学内容:椭圆的几何性质二. 本周教学重、难点:1. 重点: 椭圆的几何性质,椭圆的第二定义。2. 难点:焦半径,焦点三角形三. 知识梳理: 例1 设P为椭圆上一点,F1、F2是椭圆的两个焦点,若,求椭圆的离心率为多少?解:方法一: 又 方法二: 又 例2 过点M(1,1)作直线与椭圆交于A、B两点,M恰为AB中点,求直线方程。解:设A()B() : 即例3 椭圆,P为任一点,当最大时,是否存在一直线过点()交椭圆于A、B两点,且A、B在以P为圆心的圆上。解:设A(),B(),直线AB的斜率为,线段AB中点M() : 又 PMAB 又 设, 联立、 这样的直线存在 方程为例4 已知椭圆的对称轴是坐标轴,O为坐标原点,F是一个焦点,A是一个顶点,若椭圆的长轴长是6,且,求椭圆的方程。解: 椭圆的长轴长是6, 点A不是长轴的端点(是短轴的端点) , , 椭圆的方程是或例5 已知点A(1,2)在椭圆内,F的坐标为(2,0),在椭圆上求一点P使最小。解: , , F为椭圆的右焦点,并且离心率为设P到右准线的距离为,则, 由几何性质可知,当P点的纵坐标(横坐标大于零)与A点的纵坐标相同时,最小。把代入,得(负舍之),即P()为所求例6 设椭圆的中心是坐标原点,长轴在轴上,离心率,已知点P(0,)到这个椭圆上的点的最远距离是,求这个椭圆的方程,并求椭圆上到点P的距离等于的点的坐标。解法一:设椭圆的参数方程为(其中,)由,得设椭圆上的点()到点P的距离为则 如果,即那么当时,取得最大值由此得,与矛盾因此必有 此时当时,取得最大值解得,所求椭圆的参数方程是由,求得椭圆上到点P的距离等于的点是()与()解法二:设所求椭圆的方程为()由 解得设椭圆上的点()到点P的距离为则 其中。如果,则当时,取得最大值解得,与矛盾 故必有当时,取得最大值解得, 所求椭圆方程为由可求得到点P的距离等于的点的坐标为()例7 已知P点在椭圆上,P点的坐标为(),求的最大值和最小值。解: P点在椭圆上 可设P点的坐标为() 即, 当时,最大,其最大值为当()时,最小,其最小值为例8 已知椭圆(1)求斜率为2的平行弦的中点轨迹方程;(2)过A(2,1)的直线与椭圆相交,求被截得的弦的中点轨迹方程;(3)过点P()且被P点平分的弦所在直线的方程。解:(1)设斜率为2的直线的方程为由 得由得设平行弦的端点坐标为()、(),设弦的中点坐标为(),则,代入,得为所求轨迹方程(2)设与椭圆的交点为()、()弦的中点为(),则,两式相减并整理得又 , 由题意知代入得=0 化简得 所求轨迹方程为(夹在椭圆内的部分)(注:设的方程为,仿(1)的解法也可)(3)将,代入得。故所求的直线方程为(答题时间:60分钟)一. 选择:1. 椭圆与的关系为( )A. 有相等的长、短轴B. 有相等的焦距C. 有相同的焦点D. 有相同的准线2. 中心在原点,焦点在轴上,若长轴长为18,且两个焦点恰好将长轴三等分,则此椭圆的方程是( )A. B. C. D. 3. 椭圆的一个顶点与两个焦点构成等边三角形,则此椭圆的离心率是( )A. B. C. D. 4. F()是椭圆的一个焦点,F与椭圆上点的距离的最大值为,最小值为, 则椭圆上与点F距离为的点是( ) A. B. C. D. 不存在5. 椭圆上有一点P到左准线的距离为,那么P到右焦点的距离为( ) A. 8 B. C. D. 6. 已知点P在椭圆上,并且P到直线:的距离最小,则P点的坐标是( ) A. B. C. D. 7. 曲线(为参数)的准线方程是( ) A. B. C. D. 8. 过椭圆左焦点作弦AB,以AB为直径的圆与椭圆左准线( )A. 相切B. 相交C. 相离D. 位置关系不确定二. 填空:1. P是椭圆上的点,F1、F2是两个焦点,则的最大值与最小值之差是 。2. 一广告气球被一束平行光线投射到水平面上,其投影为椭圆,离心率是,则这束光线对于水平平面的入射角为 。3. P点在椭圆上运动,点Q、R分别在圆,上运动,则的最大值是 。4. 椭圆,P为椭圆上一点,且,则点P的坐标为 。三. 解答题:1. 已知点A()及椭圆,在椭圆上求一点P使的值最大。2. 椭圆的左、右焦点分别为和,过中心O作直线与椭圆交于A、B两点,若的面积为20,求直线AB的方程。3. 是椭圆的长轴,CD是垂直于长轴的弦,求直线和的交点P的轨迹方程。 4. 如下图,A、B是两个定点,动点M到A点的距离是6,线段MB的垂直平分线交MA于点P,直线垂直于AB,且B到的距离是。若以AB所在直线为轴,AB的中垂线为轴建立直角坐标系。(1)求证:点P到点B的距离与直线的距离之比为定值。(2)若P点到A、B两点的距离之积为,当取最大值时,求P点的坐标。(3)设直线与点P所在曲线相交于不同两点C、D,定点G(),则使的正数是否存在?若存在,则求出其取值范围;若不存在,请说明理由。参考答案一. 1. B 2. A 3. D 4. C 5. A 6. A 7. A 8. C二. 1. 1 2. 3. 6 4. 三. 1. 解: 点P在椭圆上 设P的坐标为 当时,最大,此时 P点的坐标为()2. 解: 设A() AB过椭圆中心 B的坐标为() ,即 ,代入椭圆的方程得 直线AB的方程为3. 解:设P(),C(),D()由、共线得 由D、A、P共线得 由联立求出代入得 整理得4. (1)证明:A(),B(),:由题意,且 点P在椭圆上 :为椭圆的右准线,且右焦点为B(2,0),若到
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