高二数学椭圆的几何性质知识精讲人教

高二数学椭圆的几何性质知识精讲一. 本周教学内容：椭圆的几何性质二. 本周教学重、难点：1. 重点： 椭圆的几何性质，椭圆的第二定义。2. 难点：焦半径，焦点三角形三. 知识梳理： 例1 设P为椭圆上一点，F1、F2是椭圆的两个焦点，若，求椭圆的离心率为多少？解：方法一： 又 方法二： 又 例2 过点M（1，1）作直线与椭圆交于A、B两点，M恰为AB中点，求直线方程。解：设A（）B（） ： 即例3 椭圆，P为任一点，当最大时，是否存在一直线过点（）交椭圆于A、B两点，且A、B在以P为圆心的圆上。解：设A（），B（），直线AB的斜率为，线段AB中点M（） ： 又 PMAB 又 设， 联立、 这样的直线存在 方程为例4 已知椭圆的对称轴是坐标轴，O为坐标原点，F是一个焦点，A是一个顶点，若椭圆的长轴长是6，且，求椭圆的方程。解： 椭圆的长轴长是6， 点A不是长轴的端点（是短轴的端点） ， ， 椭圆的方程是或例5 已知点A（1，2）在椭圆内，F的坐标为（2，0），在椭圆上求一点P使最小。解： ， ， F为椭圆的右焦点，并且离心率为设P到右准线的距离为，则， 由几何性质可知，当P点的纵坐标（横坐标大于零）与A点的纵坐标相同时，最小。把代入，得（负舍之），即P（）为所求例6 设椭圆的中心是坐标原点，长轴在轴上，离心率，已知点P（0，）到这个椭圆上的点的最远距离是，求这个椭圆的方程，并求椭圆上到点P的距离等于的点的坐标。解法一：设椭圆的参数方程为（其中，）由，得设椭圆上的点（）到点P的距离为则 如果，即那么当时，取得最大值由此得，与矛盾因此必有 此时当时，取得最大值解得，所求椭圆的参数方程是由，求得椭圆上到点P的距离等于的点是（）与（）解法二：设所求椭圆的方程为（）由 解得设椭圆上的点（）到点P的距离为则 其中。如果，则当时，取得最大值解得，与矛盾 故必有当时，取得最大值解得， 所求椭圆方程为由可求得到点P的距离等于的点的坐标为（）例7 已知P点在椭圆上，P点的坐标为（），求的最大值和最小值。解： P点在椭圆上 可设P点的坐标为（） 即， 当时，最大，其最大值为当（）时，最小，其最小值为例8 已知椭圆（1）求斜率为2的平行弦的中点轨迹方程；（2）过A（2，1）的直线与椭圆相交，求被截得的弦的中点轨迹方程；（3）过点P（）且被P点平分的弦所在直线的方程。解：（1）设斜率为2的直线的方程为由 得由得设平行弦的端点坐标为（）、（），设弦的中点坐标为（），则，代入，得为所求轨迹方程（2）设与椭圆的交点为（）、（）弦的中点为（），则，两式相减并整理得又 ， 由题意知代入得=0 化简得 所求轨迹方程为（夹在椭圆内的部分）（注：设的方程为，仿（1）的解法也可）（3）将，代入得。故所求的直线方程为（答题时间：60分钟）一. 选择：1. 椭圆与的关系为（ ）A. 有相等的长、短轴B. 有相等的焦距C. 有相同的焦点D. 有相同的准线2. 中心在原点，焦点在轴上，若长轴长为18，且两个焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的方程是（ ）A. B. C. D. 3. 椭圆的一个顶点与两个焦点构成等边三角形，则此椭圆的离心率是（ ）A. B. C. D. 4. F（）是椭圆的一个焦点，F与椭圆上点的距离的最大值为，最小值为， 则椭圆上与点F距离为的点是（ ） A. B. C. D. 不存在5. 椭圆上有一点P到左准线的距离为，那么P到右焦点的距离为（ ） A. 8 B. C. D. 6. 已知点P在椭圆上，并且P到直线：的距离最小，则P点的坐标是（ ） A. B. C. D. 7. 曲线（为参数）的准线方程是（ ） A. B. C. D. 8. 过椭圆左焦点作弦AB，以AB为直径的圆与椭圆左准线（ ）A. 相切B. 相交C. 相离D. 位置关系不确定二. 填空：1. P是椭圆上的点，F1、F2是两个焦点，则的最大值与最小值之差是 。2. 一广告气球被一束平行光线投射到水平面上，其投影为椭圆，离心率是，则这束光线对于水平平面的入射角为 。3. P点在椭圆上运动，点Q、R分别在圆，上运动，则的最大值是 。4. 椭圆，P为椭圆上一点，且，则点P的坐标为 。三. 解答题：1. 已知点A（）及椭圆，在椭圆上求一点P使的值最大。2. 椭圆的左、右焦点分别为和，过中心O作直线与椭圆交于A、B两点，若的面积为20，求直线AB的方程。3. 是椭圆的长轴，CD是垂直于长轴的弦，求直线和的交点P的轨迹方程。 4. 如下图，A、B是两个定点，动点M到A点的距离是6，线段MB的垂直平分线交MA于点P，直线垂直于AB，且B到的距离是。若以AB所在直线为轴，AB的中垂线为轴建立直角坐标系。（1）求证：点P到点B的距离与直线的距离之比为定值。（2）若P点到A、B两点的距离之积为，当取最大值时，求P点的坐标。（3）设直线与点P所在曲线相交于不同两点C、D，定点G（），则使的正数是否存在？若存在，则求出其取值范围；若不存在，请说明理由。参考答案一. 1. B 2. A 3. D 4. C 5. A 6. A 7. A 8. C二. 1. 1 2. 3. 6 4. 三. 1. 解： 点P在椭圆上 设P的坐标为 当时，最大，此时 P点的坐标为（）2. 解： 设A（） AB过椭圆中心 B的坐标为（） ，即 ，代入椭圆的方程得 直线AB的方程为3. 解：设P（），C（），D（）由、共线得 由D、A、P共线得 由联立求出代入得 整理得4. （1）证明：A（），B（），：由题意，且 点P在椭圆上 ：为椭圆的右准线，且右焦点为B（2，0），若到