高二数学第二章第2节抛物线文北师大选修1－1

高二数学 第二章 第2节 抛物线（文） 北师大版选修11【本讲教育信息】一、教学内容选修11 抛物线的标准方程及其几何性质二、教学目标1、掌握抛物线定义、抛物线的标准方程四种形式及其几何性质并能熟练地应用定义、几何性质解决抛物线问题。2、方程的数学思想、函数的数学思想、等价转化的数学思想、数与形结合的思想及待定系数法、定义法等数学思想方法的应用。三、知识要点分析1、抛物线定义：平面内与一个定点F和一条定直线L（L不过F点）的距离相等的点的集合叫抛物线。定点F叫做抛物线的焦点，定直线L叫做抛物线的准线。2、抛物线的标准方程形式： （p0） ，（p0） ，（p0） （p0）P：称为焦准距（焦点到准线的距离）3、抛物线的几何性质：对称性，范围，顶点，离心率，（以为例）4、抛物线的通径：过抛物线焦点F且垂直于对称轴的直线，与抛物线相交于P1、P2两点，则两交点之间的距离就是抛物线的通径，长度是2p。5、有关的重要结论：设过抛物线的焦点的直线的倾斜角是，与抛物线交于A（。则有下列结论（1）|AB|=，|AB|=，（显然当时，|AB|最小。最小值是2p，此时|AB|是抛物线的通径。）（2） （3） （4）（定值）（5）以|AB|为直径的圆与准线相切。【典型例题】考点一：考查求抛物线的标准方程例1：求以原点为顶点，坐标轴为对称轴，并且经过P（2，4）的抛物线的标准方程及其对应的准线、焦点坐标。【思路分析】因顶点在原点，对称轴是坐标轴，且过点P（2，4），故可设抛物线方程是或设解：由已知设抛物线的标准方程是或把P（2，4）代入或得或p=4故所求的抛物线的标准方程是当抛物线方程是时，焦点坐标是F（，准线方程是当抛物线方程是时，焦点坐标是F（2，0），准线方程是x=2【说明】对顶点在原点，对称轴为坐标轴的抛物线方程可设为例2：设过P（2，4），倾斜角为的直线L与抛物线C交于A，B两点，抛物线C的顶点在原点，以x轴为对称轴，若|PA|，|AB|，|PB|成等比数列，求抛物线C的标准方程。【思路分析】由已知得：抛物线的开口方向不定，故可设抛物线方程为直线L的方程为y=x+2.利用|PA|，|AB|，|PB|成等比数列转化为P，A，B三点纵坐标之间的关系。由此关系求a的值。解：设A由已知得L：y=x+2（#），由|PA|，|AB|，|PB|共线且成等比数列得：成等比数列即有：（*）把且满足（#）故：a=1，即所求的抛物线C的标准方程是考点二：考查抛物线定义的应用例3：已知动圆M与直线L：x=1相切，与圆相外切，求动圆的圆心M的轨迹方程【思路分析】如图：定圆的圆心根据平面几何定理知：动圆圆心M到直线L：x=1的距离等于动圆的半径加1，即动圆的圆心到的距离等于它到定直线x=2的距离。解：由已知动圆的圆心M到的距离等于它到定直线x=2的距离。由抛物线的定义知：动圆的圆心M的轨迹是以（2，0）为焦点，x=2为准线的抛物线。故p=4，所求动圆的圆心M的轨迹方程是另解：本题也可利用“定义法”来求轨迹：设M（x，y），动圆的半径是r显然：x0），a取何值时，|PQ|最小？【思路分析】探照灯原理：光源置于抛物线焦点处，反射出一束平行光线，入射光线与反射光线呈平行状态，光线PQ过抛物线的焦点。用a表示|PQ|.由题设知，P点的坐标为（a2，a）又，因此直线PQ的方程为，即4ax(4a21)ya0。解 得 由此可知，点Q的坐标是 。由PQPFFQ得 。当且仅当 ，即 时，PQmin1。因此，入射点为 ，反射点为 时路径PQ最短。【本讲涉及的数学思想、方法】本讲主要讲述抛物线的标准方程及其几何性质的有关知识，在运用这些知识解决问题时，充分体现了方程的数学思想、等价转化的数学思想、数与形结合的数学思想及定义法 、待定系数法等数学思想方法的应用。 预习导学案（双曲线的标准方程及其几何性质）一、预习前知（1）在初中学过的函数中，哪一个函数的图像是双曲线？它的解析式是什么？（2）根据课本提供的实验请你画出双曲线。二、预习导学探究反思：探究反思的任务：双曲线的标准方程及其几何性质：1、双曲线的第一定义是 。双曲线的第二定义是 。【反思】若动点到两定点的距离之差的绝对值等于两定点的距离，则动点的轨迹是什么？若动点到两定点的距离之差的绝对值大于两定点的距离，则动点的轨迹是否存在？为什么？2、双曲线的标准方程有哪两种形式？其标准方程是 ， 。a，b，c的关系是 。【反思】利用轨迹法推导双曲线的标准方程。3、双曲线的几何性质有哪些？（范围，对称性，实轴、虚轴，渐近线，准线方程，离心率） 【反思】（1）根据上述图形分别写出其几何性质（2）双曲线的离心率范围是什么？椭圆、抛物线、双曲线能否统一定义？4、双曲线的焦点半径：设P（是双曲线右支上的任意一点图（1），F1，F2分别是其左右焦点。则【反思】（1）若P点在图（1）中的左支上， ， 若P点在图（2）的上、下支上，结果又如何？（2）利用双曲线的第二定义证明。【模拟试题】（答题时间：100分钟）一、选择题（每题5分，计40分）1、抛物线的焦点坐标是（ ）A. B. （ C. （0， D. 2、若抛物线的顶点在原点，对称轴是x轴，焦点在直线3x4y12=0上，则抛物线的标准方程是（ ）A. B. C. D. 3、动点P到直线x+4=0的距离与它到定点M（2，0）的距离之差是2，则P点的轨迹是（ ）A. 椭圆 B. 直线 C. 双曲线 D. 抛物线*4、过点（0，2）与抛物线只有一个公共点的直线有（ ）条A. 1 B. 2 C. 3 D. 无数*5、已知M是抛物线上的动点，F为抛物线的焦点，定点P（3，1），则|MP|+|MF|的最小值是（ ）A. 3 B. 4 C. 5 D. 6*6、已知A，B是抛物线上两点，O为坐标原点，若|OA|=|OB|，且三角形AOB的垂心是此抛物线的焦点，则直线AB的方程是（ ）A. x=p B. x=3p C. D. 7、倾斜角为的直线过抛物线的焦点且与抛物线交于A，B两点，则|AB|=（ ）A. B. 8 C. 16 D. 8*8、一个正三角形的三个顶点都在抛物线上，其中一个顶点在原点，则这个三角形的面积是（ ）A. B. 24 C. D. 二、填空题：（每题5分，计20分）9、已知抛物线的弦AB垂直于x轴，若|AB|=，则焦点到AB的距离是 10、已知圆与的准线相切，则p=_*11、在抛物线上求一点，使该点到直线y=4x5的距离最短，则该点坐标是 12、椭圆的中心在原点，且有一焦点与抛物线的焦点重合，椭圆的离心率是，则椭圆的标准方程是 三、计算题：（40分）*13、已知抛物线（p0）有一内接直角三角形，直角顶点是原点，一条直角边的方程是，斜边是，求抛物线的标准方程。（12分）*14、某河上有一座抛物线形的拱桥，当水面距拱顶5米时，水面宽8米，一木船宽4米，高2米，载货的木船露在水面上的部分为0.75米，当水面上涨到与拱顶相距多少时，木船开始不能通航？（13分）15、如图，线段AB（AB不与x轴垂直）过x轴正半轴上一点M（m，0）（m0）端点A，B到x轴距离之积为2m，以x轴为对称轴，过A、O、B三点作抛物线.（1）求抛物线方程；（2）若的取值范围.【试题答案】一、选择题：1、A 2、C 3、D 4、C 5、B 6、D 7、D 8、A二、填空题：9、2 10、2 11、（ 12、三、计算题：13、解：设OA的方程为y=2x，则由已知得：直线OB的方程是解得：A 解得：B故所求抛物线的方程是14、解：以桥的拱顶为坐标原点，拱高所在的直线为y轴建立直角坐标系。（如图）设抛