高二数学平面例题解析人教

高二数学平面例题解析一. 本周教学内容 平面 1. 平面的画法及表示位置情况画 法图 形记法说 明1、水平放置平面作平四边形，使其锐角为45、一组对边成水平方向且每条长为邻边的两倍。平面平面相当于画出正方体上（或下）表面的正方形来表示平面，所画的平四边形内角（45或135）表示直角2、竖直放置正对观察者作正方形（也可作矩形） 平面相当于画出正方形前（或后）表面的正方形来表示平面侧对观察者作平行四边形，使其锐角为45，一组对边成竖直方向且长为邻边的两倍。 平面ABCD或平面A1C1相当于画出正方形左（或右）表面的正方形来表示平面 2. 平面的性质 公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有点都在这个平面内。 （1）关于公理1可以使用集合的符号把它简明准确地表达。 Al，Bl，A，Bl。 （2）公理1 判定直线在平面内的依据，进一步可判定图形共面。 （3）公理1说明平面具有无限延展性。 公理2：如果两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线。 如图： 强调： 1. “有且只有一条”的含义是：“有”说明直线是存在的，“只有”说明直线是唯一的。 2. 如果两个平面和有一条公共直线，就说平面和相交，交线是a，则可记作a 3. 公理2可表示成如下形式：若A，A，则a，且Aa。 4. 两个平面如果有一个公共点，那么就有无穷多个公共点，所有公共点在公共直线上，即它们的交线上；交线的每一个点都是两个平面的公共点。 5. 公理2是作出两个平面交线的依据。 6. 在公理指导下画出两个相交平面的一般步骤如下： 先画表示两个平面的平行四边形的相交两边，如图（1） 再画出表示两个平面交线的线段，如图（2） 过图（1）中线段的端点分别引线段，使它平行且等于（2）中表示交线的线段，如图（3）。 画图中表示两个平面的平行四边形的第四边（被遮住的线，可以用虚线，也可以不画，如图（4）（1） （2） （3） （4） 公理3：经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面。 强调： 公理3实际上是给出了确定平面的条件。讲解是应突出“不在同一直线上”和“三点”几个字 “有且只有”的理解： “有”说明直线是存在的；“只有”说明直线是唯一的。 公理3推论 推论1 经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面。 推论2 经过两条相交直线，有且只有一个平面 推论3 经过两条平行直线，有且只有一个平面 强调：会用符号表达推论内容（见下表）名称符号表示图形推论1Aa有且只有一个平面，使A，a推论2abP有且只有一个平面，使a，b推论3ab有且只有一个平面，使a，b 会证明三条推论：先证“有”，再证“只有”，即证明存在性和唯一性明确三条推论的作用：同公理3一样是确定平面的依据。【典型例题】 例1、画出经过已知直线AB的三个平面。 已知三条直线a、b、c两两平行但不共面（即不在同一平面内），画出这些平面。 思路与解：如下图 （1） （乙） 甲图设计各平面绕直线AB转动情况；乙图设计整个图形转动。请同学们观察作出相交平面应该注意的问题。 例2. 三个不同平面可能把空间分成几部分？画图说明可能分成4，6，7，8个部分。 引例：三条直线把平面分成4、6、7部分。 （1）四部分（互相平行） （2）六部分（两种情况） （3）七部分 （4）八部分 例3. 已知：延长ABC三边，ABD，BCE，ACF，求证：D、E、F共线。 思路与解：如图分析：只需证明这三点都是某两个平面的公共点。 证明：ABC是一平面图形，所在的平面为 D且DAB D是、的公共点，同理，E、F也是、的公共点 D、E、F都在、的交线上，即这三点共线 例4. 已知：直线a/b，直线c和a、b都相交，直线d也和a、b都相交。求证：c、d可以确定一个平面。 思路与解：如图 设直线c和直线a、b的交点分别为A、B；直线d和直线a、b的交点分别为C、D a/b，a、b可以确定一个平面 A，B，Ac，Bc ，c 同理d d、c在同一平面内。它们只能平行或相交，由推论2、3知c、d可以确定一个平面 例5. 三个平面两两相交有三条直线，求证这三条直线交于一点或互相平行。 已知：平面两两相交且a，b，c 求证：a、b、c相交于一点或互相平行 注：两种情况（1）交线相交（2）交线不相交 证明：（1）设abP则Pa， Pb a，b P，P，P p 而 c pc a.b.c相交于一点P （2）若a.b.c不相交，在内必有ac 同理 bc abc 1. 已知E，F，G，H是空间的四个点 命题甲：点E，F，G，H 不共面 命题乙：点E，F，G，H 中任何三点不共线 那么甲是乙成立的( )条件。 A. 充分非必要 B. 必要非充分C. 充要 D. 非充分非必要 2. 侧面是边长为a的正方形的正三棱柱ABCA1 B1C1中P.R分别是AC和BB1中点，过P. C1.R三点做截面。 （1）画出截面与AB的交点Q. （2）求PQ的长. 3. 已知四点不在一个平面内，证明其中任何三点都不在同一条直线上。 4. 已知几条平行线都与直线l相交，交点分别为A1.A2.A3An 求证：与l共面参考答案 1. 分析：若E，F，G，H 中若三点共线，这四点必共面，但E，F，G，H作为平面四边形四个顶点时也满足任何三点不共线。 选A 2. 分析：Q为截面与底面公共点必在公共直线上由此找M由PM而定Q （1）作法：连C1R并延长C1R交CB的延长线M （M面C1CB， M面ABC） 连PM交AB于Q 则Q为所求点 （2） RtRMBRtRC1B1 BRCC1 BMB1C1BC B是CM中点 又P是AC中点，R为BB1 中点 Q是ACM的重心 PQPM 在PCM中 PM2PC2CM22PCCMCOS60a2 PMa PQa 另解：Q是ACM的重心 AQa， 在AQP中 PQ2PA2AQ22PAAQCOS60 PQa 3. 用反证法。若其中有三点共线，由推论1该直线与其外的第四个点必共面，