高二数学高三新课：函数的单调性与极值文人教知识精讲

高二数学高三新课：函数的单调性与极值（文）人教版【本讲教育信息】一. 教学内容：高三新课：函数的单调性与极值二. 知识讲解：1. 函数的单调性 一般地，设函数在某个区间内有导数，如果在这个区间内，那么为这个区间内的增函数；如果在这个区间内，那么为这个区间内的减函数。2. 极值一般地，设函数在及其附近有定义，如果的值比附近所有各点的函数值都大，就称是函数的一个极大值；如果的值比附近所有各点的函数值都小，就称是函数的一个极小值。如果函数在某个区间有导数，就采用以下方法求它的极值：（1）求导数；（2）求方程的根；（3）检查在方程=0的根的左右符号，如果在根的左侧附近为正，右侧附近为负，那么函数在这个根处取得极大值；如果在根的左侧附近为负，在根的右侧附近为正，那么函数在这个根处取得极小值。要注意在求函数的极值时，除了=0的条件外，还要考虑在附近两侧的正负情况。【典型例题】例1 已知函数在处有极小值，试确定的值，并求出的单调区间。分析：此题是2001年文史类考试题，主要考查函数和函数极值概念，考查运用导数研究函数性质的方法，以及分析和解决数学问题的能力。解：由已知，可得 又 则 由、可得故函数的解析式为由此得根据二次函数的性质，当或时，；当时，因此，在区间和上，函数为增函数；在区间内，函数为减函数。例2 设函数在处取得极值，试用表示和，并求的单调区间。分析：此题为2006年高考湖北文科试题，主要考查导数的概念和计算，考查应用导数研究函数性质的方法和运算能力。解题思路：由导数公式和已知条件利用待定系数法求出，然后由的符号判断单调区间，最后单调区间要分开写不能用并集符号。解：由已知，有，而故解得从而令，得或由于在处取极值，故，即（1）若即，则当时，；当时，；当时，（2）若，即同上可得的单调递增区间为（），（，）；单调递减区间为（1，）例3 已知函数（1）讨论函数的单调性；（2）若曲线上两点A、B处的切线都与轴垂直，且线段AB与轴有公共点，求实数的取值范围。分析：此题为2006年高考湖南省文科试题，主题考查利用导数方法研究函数的单调性，同时考查学生分类讨论的思想。解：（1）由题设知，令，则 当时，若，则，所以在区间（）上是增函数若，则，所以在区间上是减函数；若，则，所以在区间上是增函数 当时，若，则，所以在区间（）上是减函数若，则，所以在区间上是增函数；若，则，所以在区间上是减函数（2）由（1）的讨论及题设知，曲线上的两点A、B的纵坐标均为函数的极值，且函数在，处分别取得极值，因为线段AB与轴有公共点，所以，即所以故且解得或即所求实数的取值范围是【模拟试题】一. 选择题：1. 设为的极值点，则（ ）A. B. 不存在C. =0或不存在D. 存在但可能不为02. 下列命题正确的是（ ）A. 极大值比极小值大B. 极小值不一定比极大值小C. 极大值比极小值小D. 极小值不大于极大值3. 一元三次函数当时有极大值4，当时有极小值为0且函数过原点，则此函数是（ ）A. B. C. D. 二. 填空题：4. 函数的极大值为正数，极小值为负数，则的取