高二数学集合的概念与运算知识精讲苏教

高二数学集合的概念与运算知识精讲 苏教版一. 本周教学内容：集合的概念与运算二. 教学目的：1、了解集合的含义，体会元素与集合的“属于”关系。2、能选择自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用。3、理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集（不要求证明集合的相等关系、包含关系）。4、了解全集与空集的含义。5、理解两个集合的并集与交集的含义；会求两个简单集合的并集与交集。6、理解给定集合的一个子集的补集的含义；会求给定子集的补集。7、会用Venn图表示集合的关系及运算。三教学重、难点：教学重点：集合的概念与运算教学难点：集合的语言的抽象性知识梳理（一）基本运算（填表）运算类型交 集并 集补 集定义由所有属于A且属于B的元素所组成的集合，叫做A，B的交集记作AB（读作A交B），即ABx|xA，且xB由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，叫做A，B的并集记作：AB（读作A并B），即ABx|xA，或xB）设S是一个集合，A是S的一个子集，由S中所有不属于A的元素组成的集合，叫做S中子集A的补集（或余集）SA记作，即CSA韦恩图示性质AAAAABBAABAABBAAAAAABBAABABB（CuA）（CuB）Cu（AB）（CuA）（CuB）Cu（AB）A（CuA）UA（CuA）容斥原理有限集A的元素个数记作card（A）。对于两个有限集A，B，有card（AB）card（A）card（B）card（AB）（二）集合的有关概念：由一些数、一些点、一些图形、一些整式、一些物体、一些人组成的。我们说，每一组对象的全体形成一个集合，或者说，某些指定的对象集在一起就成为一个集合，也简称集。集合中的每个对象叫做这个集合的元素。定义：一般地，某些指定的对象集在一起就成为一个集合1、集合的概念（1）集合：某些指定的对象集在一起就形成一个集合（简称集）（2）元素：集合中每个对象叫做这个集合的元素2、常用数集及记法（1）非负整数集（自然数集）：全体非负整数的集合。记作N，（2）正整数集：非负整数集内排除0的集。记作N*或N（3）整数集：全体整数的集合。记作Z，（4）有理数集：全体有理数的集合。记作Q， （5）实数集：全体实数的集合。记作R，注：（1）自然数集与非负整数集是相同的，也就是说，自然数集包括数0。（2）非负整数集内排除0的集。记作N*或N。Q、Z、R等其它数集内排除0的集，也是这样表示，例如，整数集内排除0的集，表示成Z*3、元素对于集合的隶属关系（1）属于：如果a是集合A的元素，就说a属于A，记作aA（2）不属于：如果a不是集合A的元素，就说a不属于A，记作4、集合中元素的特性（1）确定性：按照明确的判断标准给定一个元素或者在这个集合里，或者不在，不能模棱两可。（2）互异性：集合中的元素没有重复。（3）无序性：集合中的元素没有一定的顺序（通常用正常的顺序写出）5、集合通常用大写的拉丁字母表示，如A、B、C、P、Q元素通常用小写的拉丁字母表示，如a、b、c、p、q“”的开口方向不可改变，不能把aA颠倒过来写。（三）集合的表示方法1、列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合例如，由方程的所有解组成的集合，可以表示为1，1注：（1）有些集合亦可如下表示：从51到100的所有整数组成的集合：51，52，53，100所有正奇数组成的集合：1，3，5，7，（2）a与a不同：a表示一个元素，a表示一个集合，该集合只有一个元素2、描述法：用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合，并把这个条件写在大括号内表示集合的方法格式：xA| P（x） 含义：在集合A中满足条件P（x）的x的集合例如，不等式的解集可以表示为：或所有直角三角形的集合可以表示为：注：（1）在不致混淆的情况下，可以省去竖线及左边部分如：直角三角形；大于104的实数（2）错误表示法：实数集；全体实数3、文氏图：用一条封闭的曲线的内部来表示一个集合的方法4、何时用列举法？何时用描述法？有些集合的公共属性不明显，难以概括，不便用描述法表示，只能用列举法如：集合有些集合的元素不能无遗漏地一一列举出来，或者不便于、不需要一一列举出来，常用描述法如：集合；集合1000以内的质数例：集合与集合是同一个集合吗？答：不是因为集合是抛物线上所有的点构成的集合，集合 是函数的所有函数值构成的数集（四）有限集与无限集1、有限集：含有有限个元素的集合2、无限集：含有无限个元素的集合空集：不含任何元素的集合记作，如： （五）子集1、定义：（1）子集：一般地，对于两个集合A与B，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，我们就说集合A包含于集合B，或集合B包含集合A记作：，AB或BA 读作：A包含于B或B包含A当集合A不包含于集合B，或集合B不包含集合A时，则记作AB或BA注：有两种可能（1）A是B的一部分，；（2）A与B是同一集合（2）集合相等：一般地，对于两个集合A与B，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素，我们就说集合A等于集合B，记作AB（3）真子集：对于两个集合A与B，如果，并且，我们就说集合A是集合B的真子集，记作：AB或BA，读作A真包含于B或B真包含A（4）子集与真子集符号的方向（5）空集是任何集合的子集A空集是任何非空集合的真子集A 若A，则A任何一个集合是它本身的子集（6）易混符号“”与“”：元素与集合之间是属于关系；集合与集合之间是包含关系如R，11，2，30与：0是含有一个元素0的集合，是不含任何元素的集合如0不能写成0，0（六）全集与补集1、补集：一般地，设S是一个集合，A是S的一个子集（即），由S中所有不属于A的元素组成的集合，叫做S中子集A的补集（或余集），记作，即CSA 2、性质：CS（CSA）A，CSS，CSS 3、全集：如果集合S含有我们所要研究的各个集合的全部元素，这个集合就可以看作一个全集，全集通常用U表示（七）交集的定义一般地，由所有属于A且属于B的元素所组成的集合，叫做A，B的交集记作AB（读作A交B），即ABx|xA，且xB如：1，2，3，61，2，5，101，2又如：a，b，c，d，e，Bc，d，e，f。则ABc，d，e（八）并集的定义一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，叫做A，B的并集记作：AB（读作A并B），即ABx|xA，或xB如：1，2，3，61，2，5，101，2，3，5，6，10【典型例题】例1. 已知集合，则（ ）A. B. C. D. 解法要点：弄清集合中的元素是什么，能化简的集合要化简例2. 设集合，若，求的值及集合、解：且，（1）若或，则，从而，与集合中元素的互异性矛盾，且；（2）若，则或当时，与集合中元素的互异性矛盾，；当时，由得 或 由得，由得，或，此时例3. 设集合，则（ ）A. B. C. D. 解法一：通分； 解法二：从开始，在数轴上表示例4. 若集合，集合，且，求实数的取值范围解：（1）若，则，解得；（2）若，则，解得，此时，适合题意；（3）若，则，解得，此时，不合题意；综上所述，实数a的取值范围为例5. 设全集，若，则，解法要点：利用文氏图例6. 已知集合，若，求实数、的值解：由得，或，又，且，和是方程的根，由韦达定理得：，说明：区间的交、并、补问题，要重视数轴的运用例7. 已知集合，若，求实数的取值范围分析：本题的几何背景是：抛物线与线段有公共点，求实数的取值范围解法一：由得 ，方程在区间上至少有一个实数解，首先，由，解得：或设方程的两个根为、，（1）当时，由及知、都是负数，不合题意；（2）当时，由及知、是互为倒数的两个正数，故、必有一个在区间内，从而知方程在区间上至少有一个实数解，综上所述，实数的取值范围为解法二：问题等价于方程组在上有解，即在上有解，令，则由知抛物线过点，抛物线在上与轴有交点等价于 或 由得，由得，实数的取值范围为例8. 设集合A4，2m1，m2，B9，m5，1m，又AB9，求实数m的值。解：AB9，A4，2m1，m2，B9，m5，1m，2m19或m29，解得m5或m3或m3。若m5，则A4，9，25，B9，0，4与AB9矛盾；若m3，则B中元素m51m2，与B中元素互异矛盾；若m3，则A4，7，9，B9，8，4满足AB9。m3【模拟试题】一、选择题1、下列六个关系式： 其中正确的个数为（ ）A. 6个 B. 5个 C. 4个 D. 少于4个2、下列各对象可以组成集合的是（ ）A. 与1非常接近的全体实数B. 某校20022003学年度第一学期全体高一学生C. 高一年级视力比较好的同学D. 与无理数相差很小的全体实数3、已知集合满足，则一定有（ ）A. B. C. D. 4、集合A含有10个元素，集合B含有8个元素，集合AB含有3个元素，则集合AB的元素个数为（ ）A. 10个B. 8个 C. 18个 D. 15个5、设全集UR，Mx|x1， Nx|0x5，则（CM）（CN）为（ ）A. x|x0 B. x|x1 或x5C. x|x1或x5 D. x|x0或x56、设集合，且，则满足条件的实数的个数是（ ）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个7、已知集合M4，7，8，且M中至多有一个偶数，则这样的集合共有（ ）A. 3个 B. 4个C. 5个 D. 6个8、已知全集U非零整数，集合Ax|x2|4，xU， 则CA（ ）A. 6，5，4，3，2，1，0，1，2B. 6，5，4，3，2，1，1，2C. 5，4，3，2，0，1，1D. 5，4，3，2，1，19、已知集合，则等于A. 0，1，2，6 B. 3，7，8，C. 1，3，7，8 D. 1，3，6，7，810、满足条件的所有集合A的个数是（）A. 1个 B. 2个C. 3个 D. 4个11、如下图，那么阴影部分所表示的集合是（）A. B. C. D. 12、定义ABx|xA且xB，若A1，2，3，4，5，B2，3，6，则A（AB）等于（ ）A. B B. C. D. 二、填空题13、集合P，Q，则AB 14、不等式|x1|3的解集是 15、已知集合用列举法表示集合A 16、已知U 则集合A 三、解答题17、已知集合A（1）若A是空集，求a的取值范围；（2）若A中只有一个元素，求a的值，并把这个元素写出来；（3）若A中至多只有一个元素，求a的取值范围18、已知全集UR，集合A，试用列举法表示集合A19、已知全集Ux|x3x20，Ax|x2|1，B，求CA，CB，AB，A（CB），（C