高二数学简单的线性规划知识精讲人教

高二数学简单的线性规划知识精讲【同步教育信息】一. 本周教学内容： 简单的线性规划二. 重点、难点： 1. 二元一次不等式的区域 （1）在平面直角坐标系中，所有的点被直线xy10分成三类，即点在直线上，点在直线的上方区域，点在直线的下方区域。 一般地，二元一次不等式AxByC0在平面直角坐标系中表示直线AxByC0某一侧所有点组成的平面区域，我们把直线画成虚线以表示区域不包括边界直线。注意：在坐标系中画不等式AxByC0所表示的平面区域时画成实线。 （4）区域判断方法是：特殊点法。 2. 线性规划： （1）约束条件、线性约束条件：变量x、y满足的一组条件叫做对变量x、y的约束条件，如果约束条件都是关于x、y的一次不等式，则约束条件又称为线性的约束条件。 （2）目标函数、线性目标函数：欲达到最大值或最小值所涉及的变量x、y的解析式，叫做目标函数。如果解析式是x、y的一次解析式，则目标函数又称线性目标函数。 （3）线性规划：求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题。 （4）可行域：满足线性约束条件的解（x、y）叫做可行解，由所有可行解组成的集合叫做可行域。 （5）最优解：分别使目标函数取得最大值和最小值的解，叫做这个问题的最优解。 3. 解线性规划应用问题的一般方法和步骤： （1）理清题意，列出表格。 （2）设好变元并列出不等式组和目标函数、约束条件。 （3）准确作图，准确计算。【典型例题】 例1. 解： 小结：由于对在直线AxByC0的同一侧的所有点（x，y），实数AxByC的符号相同，所以只须在此直线的某侧任取一点（x0，y0），把它的坐标代入AxByC，由其值的符号即可判断AxByC0（或0）表示直线的哪一侧，当C0时，常把原点作为此特殊点。此题也可先把不等式x2y40化为x2y40，因为A0，B0，所以x2y40表示直线x2y40右下方的平面区域。 例2. 解：不等式x3表示直线x3左侧点的集合。 不等式2yx，即x2y0表示直线x2y0上及左上方点的集合。 不等式3x2y6，即3x2y60表示直线3x2y60上及右上方点的集合。 不等式3yx9，即x3y90表示直线x3y90右下方点的集合。 综上可得：不等式组表示的平面区域为如图所示的阴影部分。 小结：不等式组表示的平面区域是各个不等式表示的平面区域的公共部分，在画这一部分区域时应注意其边界的虚实。 例3. 侧的任意两点，M1、M3（x3，y3）为直线l同侧的任意两点，求证： 证明： （2）M3、M1在l同侧，而M1、M2在l异侧，故M3、M2在l异侧，利用（1）得： 小结：此例从理论上证明了二元一次不等式AxByC0，在平面直角坐标系中表示直线AxByC0某一侧所有点组成的平面区域。 例4. 分析：原不等式等价于不等式组 作出以上不等式组所表示的平面区域，求出面积为2。 解：原不等式等价于不等式组 2 例5. 解下列线性规划问题：求z2xy的最大值和最小值，式中的x、y满足约束 分析：（1）画出可行域； （2）在可行域内找到最优解所对应的点； （3）解方程的最优解，求出目标函数的最大值、最小值。 解：先作出可行域，如图中ABC表示的区域，且求得 例6. 值： 分析：同上例，同时应注意到x，y均为整数。 解：（1）先作出可行域，如图中ABC表示的区域，且求得 最优解。 注意：（1）线性目标函数的最大值、最小值一般在可行域的顶点处或边界上取得。 （2）求线性目标函数的最优解，要注意分析线性目标函数所表示的几何意义。 例7. 某工厂生产甲、乙两种产品。已知生产甲种产品1 t需耗A种矿石10 t、B种矿石5 t、煤4 t；生产乙种产品1 t需耗A种矿石4 t、B种矿石4 t、煤9 t。每1 t甲种产品的利润是600元，每1 t乙种产品的利润是1000元。工厂在生产这两种产品的计划中要求消耗A种矿石不超过300 t、B种矿石不超过200 t、煤不超过360 t。甲、乙两种产品应各生产多少（精确到0.1 t），能使利润总额达到最大？ 分析：将已知数据列成下表： 解：设生产甲、乙两种产品分别为x t、y t，利润总额为z元，那么 小结：解线性规划应用问题的一般方法和步骤：（1）理清题意，列出表格；（2）设好变元并列出不等式组和目标函数；（3）准确作图，准确计算。 例8. 要将两种大小不同的钢板截成A、B、C三种规格，每张钢板可同时截得三种规格的小钢板的块数如下表所示： 今需要A、B、C三种规格的成品分别为15、18、27块，问各截这两种钢板多少张可得所需三种规格成品，且使所用钢板张数最少。 解：设需截第一种钢板x张，第二种钢板y张，则 且x，y都是整数，求目标函数zxy取得最小时的x、y的值。 可得x3，y9和x4，y8。 小结：本题寻找整点最优解的方法是利用平移找解。 注意：解本题的关键所在是如何找整点（最优解）。 例9. 某木器厂生产圆桌和衣柜两种木料，第一种有72米3，第二种有56米3，假设生产每种产品都需要用两种木料，生产一张圆桌和一个衣柜分别所需木料如下表所示，每生产一张圆桌可获利润6元，生产一个衣柜可获利润10元，木器厂在现有木料条件下，圆桌和衣柜各生产多少，才使获得的利润最多？ 解：设生产圆桌x只，生产衣柜y个，利润总额为z元，则 而z6x10y 上述不等式组所表示的平面区域如图所示，作直线l0：6x10y0，即3x5y0，平移l0，当l0平移至过可行域内点M时，此时z6x10y取得最大值。 即生产圆桌350只，生产衣柜100个，能使利润最大。 小结：本题考查二元一次不等式平面区域的知识，线性规划是求最优化的常用方法。【模拟试题】 1. 画出不等式表示的平面区域。 2. 画出不等式组表示的平面区域。 3. 不等式表示的平面区域包含点（0，0）和点（），则m的取值范围是_。 4. 不等式表示的区域内的点的横坐标、纵坐标都是整数的有_个。 5. 画出不等式组表示的平面区域，并求其面积。 6. 设，且，求的取值范围。参考答案http:/www.DearEDU.com 1. 分析：（1）先画直线（画成虚线）；（2）判断区域，表示出区域。 解：先画直线（画成虚线） 取原点（0，0），代入 因为，所以原点在表示的平面区域内，不等式表示的区域如图所示。 2. 分析：不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面点集的交集，因而是各个不等式所表示的平面区域的公共部分。 解：不等式表示直线上及右下方的点的集合，表示直线上及右上方的点的集合，表示直线上及左方的点的集合。 所以，不等式组表示的平面区域如图： 3. 解析：表示的平面区域包含点（0，0）和（-1，1） 解得： 4. 13 解析：点、，都在不等式表示的区域内。 5. 解：不等式组表示的平面区域如图所示，为三角形ABC 由得： 由得： 由得： AB边与y轴平行 ，点C到边AB的距离： 6. 解： a、b满足 在直角坐标系aOb中作出上面的不等式组所表示的平面区域（如图所示），即可